剖析全等三角形證明題常見的解題誤區

數學習題是驗證學生知識掌握情況的關鍵途徑，若學生知識掌握不扎實、應用能力與邏輯思維能力較差，則極易出現解題錯誤.所以在初中全等三角形相關習題糾錯教學中，先分析學生出現解題錯誤的原因、借助課堂教學指導以回應學生解題錯誤這一教學問題，然后通過精選典型、常見的解題錯誤積極開展指導性的習題糾錯教學，從而使學生通過學習，內化全等三角形相關知識.

1歸總題型

在學習全等三角形知識的過程中涉及證明類問題，需要學生基于所掌握的圖形研究經驗、全等三角形基礎知識推理和演繹兩個三角形全等，若解題錯誤則說明學生對全等三角形的知識掌握不理想.所以，在全等三角形證明題解題教學中，筆者通過歸總常見題型，以此實現解題教學內容的精選，為學生日后學習幾何知識奠定良好的基礎.全等三角形證明題常見題型歸總如圖1所示.

由圖1所示，全等三角形證明題常見題型共分為六類，在六類題型中學生均有可能存在解題錯誤，所以我們可以將圖1作為基礎框架精選每一類題型的常見解題錯誤，作為全等三角形證明題解題教學內容.

2精選習題

在精選習題的過程中，需要基于學生的日常檢測、課后作業完成情況，記錄班內學生在某一題型解答中存在的錯誤，并探究學生解題錯誤的原因，而后將某一題型的習題精選為課程教學內容.

例1如圖 2，BD 與 CE 交于點O ，且 AE=AD ，若添加一個條件仍不能使 ΔABD?ΔACE 的是（ ）.

圖2

本題主要考查學生對全等三角形判定方法的掌握情況，在選擇添加條件的過程中學生極易受AAA與SSA兩種條件的誤導，致使出現解題錯誤.而本題解題的關鍵在于學生是否能夠基于題目所給出的已知條件正確選擇全等三角形的判定方法，依次證明各個選項的添加是否能夠推出 ΔABD?ΔACE 結合題目所給條件，若使 ΔABD?ΔACE ，那么由圖可知ΔABD 中的 ∠A 與 ΔACE 中的 ∠A 相等，且 AE= AD ，即兩個三角形的一組邊對應相等、一組角對應相等，目前仍缺少邊或角對應相等的條件，由此可引導學生逐步證明：

師：我們已知了哪兩個條件？

生： ∠A=∠A . AE=AD

師：現在要對每個選項逐一證明.先考慮選項A，添加的條件為 BE=CD ，那么基于這一條件可以知道什么？

生： AB=AC

師：我們依據哪一個全等判定方法可以證明ΔABD?ΔACE

生：SAS.

師：再來看選項B，該選項添加條件為 CE=BD ，此時△ABD和 ΔACE 具備的條件是SSA，是否能證明 ΔABD?ΔACE ？

生：不能.

師：再看選項C，該選項添加條件為 ∠1=∠2 ，基于這一條件可以推出哪些條件？

生：結合 ∠EOB=∠DOC ，可得 ∠ABD=∠ACE

師：此時可以根據哪一個全等判定方法去證明ΔABE?ΔACD： 0

生：ASA.

師：最后再看選項D，添加條件為 ∠ABC= ∠ACB ，基于這一條件可以得知什么？

生： AB=AC

師：此時可以根據哪一個全等判定方法去證明ΔABE?ΔACD^* 2

生：SAS.

至此可確定本題正確答案為選項B.

3變式訓練

對于全等三角形證明題常見的解題錯誤，筆者在糾錯教學中還整合了不同題型開展變式訓練，以規避單一例題糾錯教學對學生邏輯思維的限固，從而幫助學生實現觸類旁通.教學實踐中筆者曾取“平移”共同點，設計了變式訓練.

例2如圖 3（1），A，B，C，D 四點均位于同一直線上且 AB=CD，DE 平行于 AF ，且 DE=AF ，求證：ΔAFC?ΔDEB ；如果將 BD 沿著 AD 邊的方向平行移動，如圖3（2）、圖3（3），若現有條件不變則結論是否成立？

圖3

本題屬全等三角形判定——SAS題型，筆者引導學生根據已知條件基于SAS方法判定 ΔAFC? ΔDEB ，然后要求學生在后續的解題中結合平移的性質與全等三角形的判定方法進行驗證.具體的解題指導過程見下述內容：

師：先自主讀題，分析題目所給出的已知條件.由已知條件 AB=CD ，可以推出什么條件？

生： AB+BC=CD+BC ，即 AC=BD

師：題目給出了 AF=DE ，結合平行的性質，當DE//AF 時，可以推出什么？

生： ∠A=∠D

師：結合上述信息，基于哪個方法可以證明ΔAFC?ΔDEB^′ 0

根據SAS判定方法.

師：如果在（2）（3）中結論依然成立呢，是否可以繼續應用SAS方法去證明？

生：可以繼續應用SAS方法證明 ΔACF? ΔDBE ：

師：試著自己證明一下.

生：由 AB=CD ，得 AB-BC=CD-BC ，則 AC= BD.由 AF//DE ，得 ∠A=∠D ，又 AF=DE ，所以ΔACF?ΔDBE（SAS）

變式如圖4所示，點 A，B ，C，D 在同一直線上，其中 AB= CD，CE⊥AD 于點 C，BF⊥AD 于點 B ，且 AE=DF ：

圖4

（1）求證： EF 平分線段 BC ：（2）如果圖4中的△BFD沿

AD方向平移（如圖5）時，在現有條件不變的情況下原結論是否仍成立？

圖5

本題屬全等三角形判定一—HL題型，與上述例題2存在相同之處，即平移.所以筆者仍引導學生根據已知條件，基于HL方法去證明 RtΔACE 與 RtΔDBF 全等，而后基于這一結論結合“全等三角形對應邊相等”的性質得到 EC= BF.但在解題中若想實現第（1）問的證明，還要基于AAS判定方法證明出 ΔECG 與△FBG全等并基于全等三角形性質獲得 BG=CG ，即可得證，才能夠完整地證明 EF 平分線段 BC .一般地，學生證明過程的完整性決定了學生解題錯誤發生的概率，對此在第（1）問解題中引導學生周密思考，并保證自己證明過程的完整性.對此在學生自主證明之后，筆者幫學生梳理了完整的思維過程：根據已知條件 CE⊥AD，BF⊥ AD 可以寫出 ∠ACE=∠DBF=90^° ；根據 AB=CD ，可寫出 AB+BC=BC+CD ，即 AC=DB .然后結合已知條件 AE=DF ，可以推出 RtΔACE 與 RtΔDBF 全等.再基于兩個直角三角形全等的性質推出兩條對應邊相等，即 CE=FB .在 ΔCEG 和 ΔBFG 中， ∠ECG= ∠FBG=90^° ， ∠EGC=∠BGF ， EC=FB ，所以ΔCEG?ΔBFG ，則 CG=BG ，即 EF 平分線段 BC

若想實現第（2）問的求解，筆者引導學生利用已有的解題經驗，基于平移的性質和上述例題的解題思路完成求解.具體的解題指導過程見下述內容：

師：我們可以先假定原結論成立，可以推出什么條件？生： AC=DB AE=DF 師：由此可以推出什么？生： RtΔACE 與 RtΔDBF 全等.師：基于三角形全等的性質可以得到什么？生： CE=FB 師：根據 EC=FB，∠ECG=∠FBG=90^°，∠EGC= ∠BGF ，得到 ΔCEG?ΔBFG ，可以推出什么？

生： CG=BG ，即 EF 平分線段BC.原結論成立.

在糾錯教學中開展變式訓練有利于理清學生證明思路，幫助學生熟絡證明方法，使學生掌握同一類型習題中不同全等三角形判定方法的應用經驗.

綜上所述，本文從歸總題型、精選習題、變式訓練三個維度分析了初中數學全等三角形習題糾錯教學方法，進而強化學生的邏輯推理能力，幫助學生構建完整的知識體系，由此促使學生靈活地應用所學知識，為全面發展奠定良好的基礎.