分段函數(shù)的常見題型及解題方法

1引言

在高中階段，分段函數(shù)是一類較為特殊的函數(shù)，也是高考中的?？?這類問題常常與方程、不等式等知識相結(jié)合，且滲透著多種數(shù)學(xué)思想方法，例如數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想等.本文結(jié)合例題談?wù)劮侄魏瘮?shù)的?？碱}型及其解題方法.

2 求值問題

分段函數(shù)中的求值問題是分段函數(shù)的基礎(chǔ)題型，解決這類問題，只需根據(jù)自變量所在的區(qū)間確定對應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式，再代入計(jì)算即可.這類題型主要考查學(xué)生對分段函數(shù)定義的理解，

例1設(shè) f（x） 是定義在 R 上的周期為2的函數(shù)，當(dāng) 1≤xlt;0，x∈[-1，1） 時 則（20號

解析 因?yàn)楹瘮?shù) f（x） 的周期為2，則

點(diǎn)評 本題融合了分段函數(shù)和周期函數(shù)的知識，先根據(jù)周期函數(shù)的定義，將 轉(zhuǎn)化為 然后再根據(jù)分段函數(shù)的定義，確定 所在的區(qū)間，代入相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式進(jìn)行計(jì)算即可.

3參數(shù)范圍問題

分段函數(shù)中的參數(shù)范圍問題相對復(fù)雜，需要綜合考慮不同區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式及它們之間的關(guān)系，此類問題可以有效考查學(xué)生對分段函數(shù)的理解和運(yùn)用，以及解不等式的能力.解決這類問題，要根據(jù)不同區(qū)間上的函數(shù)表達(dá)式，列出與參數(shù)相關(guān)的方程或不等式并求解.

. 例2 設(shè)函數(shù) 若 f（f（a））?2 ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是

解析 作出函數(shù) （ x ） =" 2 ， x lt; 0 的圖象，如圖1所示.

因?yàn)?f（f（a））?2 ，根據(jù)圖象可得 f（a）≥-2

由 f（x）=-2 ，

可得 -x²=-2，x?0 ，

解得 ，

故當(dāng) f（f（a））?2 時，則 ，故答案為

4 不等式問題

分段函數(shù)中的不等式問題也可以采用“分段處理”的策略，先對自變量的取值進(jìn)行分類，再根據(jù)相應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式列出不等式進(jìn)行求解，這是一種分類討論思想.也可以采用數(shù)形結(jié)合法，畫出函數(shù)圖象，再根據(jù)圖象進(jìn)行求解，

例3設(shè)函數(shù) 則滿足 的 x 的取值范圍是

解法1 設(shè)

因此

當(dāng) 時，

當(dāng) 時，

當(dāng) x?0 時，由

可解得

綜上可知滿足 的 x 的

直范圍是

解法2 由 得 由圖象變換可畫出 與 f（x） ）的圖象，如圖2所示.

由圖象可知，滿足 的 x 的取值范圍為

點(diǎn)評 解法1是先寫出函數(shù) f（x）+ 的表達(dá)式，再根據(jù)不同區(qū)間上的表達(dá)式列出不等式分別求解，最后取解集的并集即可.解法2是采用數(shù)形結(jié)合法，先畫出 和 f（x） 的圖象，觀察圖象即可求出 x 的取值范圍.

5 結(jié)語

總之，分段函數(shù)由于其“分段”的特點(diǎn)，可同時融入多種不同的函數(shù)類型，例如一次函數(shù)、二次函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)等；也可以考查函數(shù)的各種性質(zhì)，例如周期性、奇偶性、單調(diào)性等；還滲透了多種重要的數(shù)學(xué)思想方法，例如分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想、函數(shù)與方程思想等.因此，分段函數(shù)問題綜合性較強(qiáng)，是高考的熱點(diǎn)題型，在日常的教學(xué)中，教師要引導(dǎo)學(xué)生歸納總結(jié)解題方法，提高解題效率.

參考文獻(xiàn)：

[1]靳寶.分段函數(shù)常見題型及解題思路的分析[J].數(shù)理天地（高中版），2024（9）：12—13.

[2]岳坤.分段函數(shù)的七種題型剖析[J].中學(xué)生數(shù)理化（高一數(shù)學(xué)），2024（10）：29—30.

[3]林國紅，例析分段函數(shù)的常見考點(diǎn)[J].高中數(shù)理化，2024（3）：40-43.