數形結合思想在初中數學解題中的應用

在教育改革的浪潮中，學生自學能力培養及數形結合解題能力培養已經成為教育領域關注的焦點.在初中數學教學中，數形結合的教學策略顯得尤為重要.通過將抽象的數學概念與直觀的圖形相結合，幫助學生在腦海中構建起數學知識的生動畫面，從而加深對概念的理解.

1在題目解析中創設情境，全面滲透數形結 合解題思想

在初中數學的解題過程中，數形結合的方法得到了廣泛的運用.隨著課程改革的推進，學生對數學的興趣也日益濃厚[.在解題時可以通過結合數學與圖形的概念來繪制問題的初步草圖，并利用假設或反推等策略來深入分析和應用問題的條件.

例1在平面直角坐標系中，拋物線 y=-x²+ 5x-4 與直線 相交于點 A 和點 B ，拋物線與 x 軸的另一個交點為 C 已知點 A 位于 x 軸上，求ΔABC 的面積.

解析 本題綜合了幾何與函數知識，需通過以下步驟解決.

數形結合定位關鍵點：拋物線與 x 軸的交點可通過解方程 -x²+5x-4=0 得到，即 x=1 和 x=

4，對應點 A（1，0） 和 C（4，0） .聯立拋物線 y=-x²+ 5x-4 與直線 y=x-1 ，求交點 A 和 B 的坐標.通過代數運算可得交點 B（3，2） ：

幾何分析計算面積：確定三角形頂點坐標A（1，0）， B（3，2） ？ C（4，0） 后，利用坐標計算面積

求拋物線與 x 軸的交點：解方程 -x²+5x-4 =0 ，因式分解得一 ，故交點為A（1，0） 和 C（4，0） ·

求拋物線與直線的交點：聯立 y=-x²+5x- 4與 _y=x-1 ，得方程： x-1=-x²+5x-4?x²- 4x+3=0?（x-1） （x-3）=0 解得 x=1 或 x= 3，對應點 A（1，0） 和 B（3，2） ·

使用三角形的面積公式：由于 AC 在 x 軸上，因此 ΔABC 的面積可以用底乘以高再乘以二分之一來求解.通過繪制拋物線、直線及它們的交點草圖，可以直觀地理解三角形的位置關系，從而避免了純代數計算所帶來的抽象性.通過代數運算可以精確地求出點的坐標，而通過幾何圖形則可以驗證這些結果的合理性.將數值與圖形相結合，不僅提高了學生解題的效率，還加深了學生對函數與幾何之間關系的理解.

2充分融合數形結合思想，全面豐富解題方法

圖形輔助解題在處理復雜數學問題時尤其重要，特別是在初中數學中.利用圖形輔助思考，結合數形結合的思維方法，以數解形，以形助數，可以直觀分析問題，找出關鍵要素和內在聯系，從而提高解題效率和準確性.

例2如圖1所示，在平面直角坐標系 xOy 中，已知四邊形ODCB為矩形.已知點 B 和點 D 的坐標分別是（6，0）和（0，4），設 k且xgt;0的函數圖象過線段 OC 的中點 A ，并且與線段 DC 和 BC 分別在點 E 和點 F 相交.假設直線 EF 為 y=k₂x+b 元（1）求出直線 EF 與反比例函數的解析式.

（2）計算 ΔOEF 的面積.

解析分析問題（1）時，明確點 A 坐標尤為關鍵，基于函數圖象可知， ΔOEF 的面積可以通過用矩形ODCB的面積減 ΔODE ， ΔOBF ， ΔCEF 的面積得出，已知點 B 和點 D 的坐標分別是（6，0）和（0，4），可知點 C 是（6，4），由線段 OC 中點為點 A 可以得出 A 的坐標是 A（3，2） ，所以 k₁=6 .故反比例函數解析為 .將 x=6 代人，可得 y=1 ，所以點 F 坐標為（6，1）.同理點 E 的坐標是 .隨后，將點 E 和點 F 代入直線解析式可得 =5 .基于此，問題（2）中 ΔOEF 面積是： S_ΔOEF=

3綜合歸納，使數形結合思想應用更為完善

提升數學學習能力需要持續的邏輯推理和歸納總結，同時教師要為學生創造自主探索的學習環境.數形結合思想是解決復雜問題的有效方式，學生應學會概括數學概念，反思并提出解決策略.通過建立完整知識結構，深人理解數形結合概念，發掘高效應用策略，從而提高數學學習能力.

例3觀察圖2，圓 O 的直徑為MN，點 P 在MN上且弦 AB 與弦 CD 相交于點 P .已知 ∠APM 等于 ∠CPM 問 AB 與 CD 之間的數量關系，并解釋其原因.

解析解題需要使用圓、三角形等知識，這道題是對學生基本知識、理解能力及反應能力的考查，需要學生將所學知識與已知條件相結合.基于數形結合思想，經過圓心 O 作 OE，OF 分別與 AB，CD 垂直，垂足分別是點 E，F ，因 ∠APM=∠CPM ，所以∠OPF=∠OPE ，根據角平分線性質可得出 OE 等于 OF ，連接 _OD，OB ，則 OD=OB ，所以 RtΔOFD 則 DF=BE 以此得出 AB=CD

學生在回答問題后，應深入融合和內化所學知識，提煉和總結以真正掌握知識點.教師應引導學生運用多種方法探索和思考，培養解決問題的能力.教師可鼓勵學生多角度分析問題，通過實踐、討論、反思等方式深化理解.利用數形結合思想整理問題，從而直觀理解抽象概念，全面系統思考.這有助于構建全面深入的數學知識體系，為后續學習打基礎.

4結語

數形結合思想能夠顯著提高學生的邏輯思維能力和空間想象能力，將數形結合思想融人初中數學教學，可以更直觀地揭示數量之間的深層聯系，這是一種極為有效的解題策略.教師應引導學生利用圖形等多種方式來解答題目，幫助其形成良好的思維習慣.這種方法不僅能激發學生的學習熱情，還有助于培養其邏輯思維技巧，全面提升學生的學習成效，為學生提供更加豐富的學習體驗.

參考文獻：

[1]陳玉萍.數形結合思想在初中數學課堂教學中滲透的有效策略[J].甘肅教育研究，2024（17）：61-63.