模型觀念素養(yǎng)角度的中美初中數(shù)學(xué)教材例習(xí)題比較研究及教學(xué)啟示

作為依據(jù)課程標(biāo)準(zhǔn)和學(xué)生接受能力編寫(xiě)的教學(xué)用書(shū)，教材是課程自標(biāo)和教學(xué)內(nèi)容的具體體現(xiàn)，是教師和學(xué)生開(kāi)展教學(xué)活動(dòng)的主要工具，是一個(gè)國(guó)家教育思想和教育理念的重要依托。數(shù)學(xué)教材中的例習(xí)題設(shè)計(jì)直接反映了教育體系對(duì)學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的培養(yǎng)目標(biāo)。中美兩國(guó)因文化傳統(tǒng)與教育理念的差異，在教材編寫(xiě)上呈現(xiàn)出不同的側(cè)重點(diǎn)：中國(guó)以邏輯嚴(yán)謹(jǐn)、知識(shí)系統(tǒng)性強(qiáng)著稱，注重基礎(chǔ)技能訓(xùn)練；美國(guó)則更強(qiáng)調(diào)問(wèn)題解決能力與創(chuàng)新思維的培養(yǎng)[2]。《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱“《義教數(shù)學(xué)課標(biāo)》”在闡述“核心素養(yǎng)的主要表現(xiàn)及其內(nèi)涵”時(shí)指出：“模型觀念主要是指對(duì)運(yùn)用數(shù)學(xué)模型解決實(shí)際問(wèn)題有清晰的認(rèn)識(shí)。知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑；初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程，從現(xiàn)實(shí)生活或具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，用數(shù)學(xué)符號(hào)建立方程、不等式、函數(shù)等表示數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，求出結(jié)果并討論結(jié)果的意義。模型觀念有助于開(kāi)展跨學(xué)科主題學(xué)習(xí)，感悟數(shù)學(xué)應(yīng)用的普遍性。”二元一次方程組作為初中數(shù)學(xué)教學(xué)中銜接算術(shù)與代數(shù)的關(guān)鍵內(nèi)容，其例習(xí)題的設(shè)計(jì)模式是觀察兩國(guó)數(shù)學(xué)教育在模型觀念素養(yǎng)培育上的差異的重要窗口。因此，筆者選取中國(guó)人教2024年版、浙教2024年版及美國(guó)GMH版初中數(shù)學(xué)教材（以下分別簡(jiǎn)稱“人教版教材”“浙教版教材\"和\"GMH版教材”，合稱“三版教材”）中的“二元一次方程組”章節(jié)，從模型觀念素養(yǎng)的角度，探討兩國(guó)教材例習(xí)題在問(wèn)題情境選擇與體現(xiàn)模型觀念素養(yǎng)水平上的差異，通過(guò)對(duì)比研究，揭示不同教育理念下的教材設(shè)計(jì)邏輯，從而為優(yōu)化我國(guó)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)、提升學(xué)生的模型觀念素養(yǎng)提供參考依據(jù)。

一、中美初中數(shù)學(xué)教材例習(xí)題問(wèn)題情境選擇的比較及相應(yīng)分析

模型觀念需要通過(guò)具體的問(wèn)題情境來(lái)體現(xiàn)。筆者借鑒PISA2021及李保臻等學(xué)者對(duì)問(wèn)題情境類型的分類[3-4]，結(jié)合三版教材“二元一次方程組\"章節(jié)例習(xí)題的實(shí)際設(shè)置，將問(wèn)題情境類型分為無(wú)情境、個(gè)人情境、職業(yè)情境、社會(huì)情境、科學(xué)情境五類，對(duì)其中的情境進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，并對(duì)其特征進(jìn)行分析。三版教材“二元一次方程組\"章節(jié)例習(xí)題的問(wèn)題情境類型及題自數(shù)量分布具體如表1所示

三版教材的問(wèn)題情境設(shè)計(jì)深刻體現(xiàn)了模型觀念素養(yǎng)的不同發(fā)展路徑。

無(wú)情境題目作為基礎(chǔ)訓(xùn)練載體，在三版教材中均占有一定的比例，其聚焦消元法、代入法等純數(shù)學(xué)技能，雖能強(qiáng)化抽象運(yùn)算能力，卻帶來(lái)脫離現(xiàn)實(shí)的隱憂一—過(guò)度訓(xùn)練易弱化數(shù)學(xué)模型與現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的聯(lián)結(jié)。在教學(xué)中，教師需警惕這一風(fēng)險(xiǎn)，及時(shí)輔以情境化解題實(shí)踐。

個(gè)人情境題目在三版教材中均占據(jù)核心地位，其通過(guò)購(gòu)物、行程等生活場(chǎng)景，有效降低建模門(mén)檻，使學(xué)生直觀體會(huì)數(shù)學(xué)在解決實(shí)際問(wèn)題中的價(jià)值。然而，這類題目多停留于簡(jiǎn)單應(yīng)用層面，對(duì)復(fù)雜系統(tǒng)建模的引導(dǎo)不足，制約了學(xué)生高階建模能力的發(fā)展

職業(yè)情境的應(yīng)用呈現(xiàn)出明顯的教材版本差異：人教版教材與浙教版教材均占比較高，重視生產(chǎn)調(diào)度、工程分配等傳統(tǒng)職業(yè)場(chǎng)景；GMH版教材雖占比僅約 11.11% ，卻打開(kāi)了職業(yè)應(yīng)用的視野，讓學(xué)生初步認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)在職業(yè)領(lǐng)域的工具性作用。三版教材的共同局限在于職業(yè)類型單一，未能充分展現(xiàn)現(xiàn)代多元職業(yè)生態(tài)中的數(shù)學(xué)建模需求。

社會(huì)情境薄弱是三版教材的共同短板社會(huì)情境題目可以通過(guò)資源分配等議題培養(yǎng)學(xué)生社會(huì)責(zé)任導(dǎo)向的建模能力，但其稀缺導(dǎo)致學(xué)生在這一維度的發(fā)展空間受限

科學(xué)情境的設(shè)置則突出版本理念區(qū)別：浙教版教材與GMH版教材設(shè)置物理速度、化學(xué)配比等題目，注重在跨學(xué)科建模中錘煉學(xué)生的抽象與遷移能力；而人教版教材則缺失這類題目，使學(xué)生錯(cuò)失了將數(shù)學(xué)模型與自然科學(xué)深度整合的關(guān)鍵訓(xùn)練，導(dǎo)致模型觀念素養(yǎng)的科學(xué)維度存在裂隙。

總體來(lái)看，問(wèn)題情境類型的選擇實(shí)質(zhì)是模型觀念素養(yǎng)培育的價(jià)值取舍。人教版教材通過(guò)個(gè)人情境與職業(yè)情境雙高占比凸顯實(shí)用導(dǎo)向，但科學(xué)情境的空白與社會(huì)情境的匱乏，窄化了模型觀念素養(yǎng)的廣度；浙教版教材雖基礎(chǔ)扎實(shí)，卻在職業(yè)情境與科學(xué)情境中缺乏建模深度反思，社會(huì)情境更幾近消失；GMH版教材中個(gè)人情境與科學(xué)情境均較多，展現(xiàn)了平衡視野，但職業(yè)情境與社會(huì)情境的薄弱限制了應(yīng)用場(chǎng)域的拓展。教材問(wèn)題情境設(shè)計(jì)的藝術(shù)，正在于如何在現(xiàn)實(shí)聯(lián)結(jié)的廣度與建模能力的深度之間，找到支撐素養(yǎng)全面生長(zhǎng)的精準(zhǔn)支點(diǎn)。未來(lái)，教材的優(yōu)化需著力填補(bǔ)問(wèn)題情境類型缺口，深化建模過(guò)程完整性，從而真正培養(yǎng)并提升學(xué)生的模型觀念素養(yǎng)。

二、中美初中數(shù)學(xué)教材例習(xí)題體現(xiàn)的模型觀念素養(yǎng)水平的比較及相應(yīng)分析

筆者借鑒喻平提出的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)評(píng)價(jià)框架5和《義教數(shù)學(xué)課標(biāo)》中的相關(guān)表述，將模型觀念素養(yǎng)分為知識(shí)理解、知識(shí)遷移、知識(shí)創(chuàng)新三個(gè)水平，其中：知識(shí)理解是指對(duì)問(wèn)題有初步的認(rèn)識(shí)，知道數(shù)學(xué)建模是數(shù)學(xué)與現(xiàn)實(shí)聯(lián)系的基本途徑，能利用已學(xué)知識(shí)就數(shù)學(xué)問(wèn)題建立模型；知識(shí)遷移是指要求學(xué)生從具體情境中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，初步感知數(shù)學(xué)建模的基本過(guò)程；知識(shí)創(chuàng)新是指能用數(shù)學(xué)符號(hào)建立數(shù)學(xué)問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，并表述結(jié)果的意義。筆者對(duì)三版教材“二元一次方程組\"章節(jié)例習(xí)題體現(xiàn)的模型觀念素養(yǎng)水平及題目數(shù)量進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，具體如表2所示。

（一）基于教材培養(yǎng)取向的整體分析

通過(guò)對(duì)三版教材“二元一次方程組\"章節(jié)例習(xí)題的量化分析，可清晰揭示中美兩國(guó)教材在模型觀念素養(yǎng)培育上的差異化取向，這種差異集中體現(xiàn)在對(duì)知識(shí)理解、知識(shí)遷移和知識(shí)創(chuàng)新三個(gè)水平的不同側(cè)重上，深刻影響著學(xué)生模型觀念素養(yǎng)的形成路徑和最終的能力結(jié)構(gòu)。

1.基礎(chǔ)認(rèn)知決定素養(yǎng)根基

在知識(shí)理解水平上，三版教材在知識(shí)理解層面的題目設(shè)置均較少，這反映出當(dāng)前數(shù)學(xué)教育不太重視模型觀念素養(yǎng)的基礎(chǔ)性理解環(huán)節(jié)。知識(shí)理解是模型觀念素養(yǎng)的基石，涉及對(duì)數(shù)學(xué)模型本質(zhì)、結(jié)構(gòu)、功能和適用條件的初步認(rèn)知。這一環(huán)節(jié)的薄弱，意味著學(xué)生可能在未充分理解“模型是什么”“模型為何如此建構(gòu)\"等核心概念之前，就匆忙進(jìn)入應(yīng)用階段。其直接影響是導(dǎo)致學(xué)生對(duì)模型的理解流于表面和機(jī)械，難以把握其內(nèi)在邏輯和思想精髓。這種基礎(chǔ)認(rèn)知的缺失，會(huì)削弱后續(xù)遷移和創(chuàng)新能力的穩(wěn)健性，導(dǎo)致學(xué)生難以達(dá)成更高層級(jí)的發(fā)展

2.應(yīng)用能力強(qiáng)化與思維定式風(fēng)險(xiǎn)并存

中國(guó)教材例習(xí)題在知識(shí)遷移水平的投入上遠(yuǎn)超GMH版教材，這體現(xiàn)了我國(guó)教育對(duì)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用模型解決各類情境問(wèn)題的規(guī)范性和熟練度的高度重視。大量的遷移類題目為學(xué)生提供了反復(fù)練習(xí)的機(jī)會(huì)，有效提升了其在相似或既定情境中將模型知識(shí)轉(zhuǎn)化為解決實(shí)際問(wèn)題的效率與準(zhǔn)確性。這種訓(xùn)練模式的優(yōu)勢(shì)在于，它能夠快速建立學(xué)生的模型應(yīng)用信心和技能，培養(yǎng)其識(shí)別問(wèn)題類型、匹配相應(yīng)模型并規(guī)范求解的能力。人教版教材作為此模式的典型，其極高的遷移類題目占比尤為強(qiáng)調(diào)模型應(yīng)用的廣泛性和熟練度。然而，過(guò)度的、集中于相似情境的遷移訓(xùn)練可能會(huì)強(qiáng)化學(xué)生的思維定式，使其過(guò)于依賴熟悉的解題模式和路徑，將模型應(yīng)用固化為一種程序性操作。當(dāng)遇到超出常規(guī)模式的問(wèn)題時(shí)，學(xué)生往往難以有效應(yīng)對(duì)，從而阻礙其模型觀念素養(yǎng)的深度發(fā)展。

3.高階思維激發(fā)與基礎(chǔ)支撐的平衡挑戰(zhàn)

GMH版教材例習(xí)題在知識(shí)創(chuàng)新水平上展現(xiàn)出壓倒性優(yōu)勢(shì)，遠(yuǎn)超浙教版教材和人教版教材。這鮮明地體現(xiàn)了美國(guó)教育理念對(duì)創(chuàng)新思維和創(chuàng)造力的核心追求。GMH版教材通過(guò)大量設(shè)計(jì)開(kāi)放性的、挑戰(zhàn)性的建模任務(wù)，鼓勵(lì)學(xué)生突破常規(guī)，在真實(shí)、復(fù)雜、非結(jié)構(gòu)化的情境中，主動(dòng)探索、自主建構(gòu)新的模型，或?qū)σ延心Ｐ瓦M(jìn)行批判性改進(jìn)和創(chuàng)造性應(yīng)用。學(xué)生在面對(duì)新穎問(wèn)題時(shí)，需要經(jīng)歷問(wèn)題識(shí)別、變量分析、假設(shè)提出、模型建構(gòu)、驗(yàn)證優(yōu)化等完整的建模過(guò)程，這極大地提升了其模型觀念素養(yǎng)。然而，這種高度依賴創(chuàng)新能力的培養(yǎng)模式也面臨挑戰(zhàn)，它需要學(xué)生具備相當(dāng)扎實(shí)的知識(shí)理解基礎(chǔ)和一定的遷移應(yīng)用經(jīng)驗(yàn)作為支撐。如果基礎(chǔ)不扎實(shí)，學(xué)生在開(kāi)放情境中可能因缺乏必要的工具和概念框架而感到迷茫或無(wú)從下手，反而會(huì)降低學(xué)習(xí)效能

（二）明晰不同水平及其各自意義的個(gè)例分析

下面從三版教材中各選一例試作分析。

示例1：一個(gè)三位數(shù)，十位上的數(shù)等于百位上的數(shù)的2倍，百位上的數(shù)的3倍減去個(gè)位上的數(shù)等于十位上的數(shù)的 ，且各數(shù)位上的數(shù)的和為11。求這個(gè)三位數(shù)。

分析：該示例選自人教版教材七年級(jí)下冊(cè)“10.4三元一次方程組的解法\"的習(xí)題第4題（第111頁(yè)）。問(wèn)題情境類型為純數(shù)學(xué)情境（無(wú)情境），直接提供三位數(shù)中百位、十位和個(gè)位的數(shù)量關(guān)系。學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)，可以依據(jù)已知條件，直接模仿學(xué)習(xí)過(guò)的三元一次方程組的解法，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)模型，進(jìn)而求解出三位數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。這類題目主要考查學(xué)生對(duì)三元一次方程組這一數(shù)學(xué)模型的理解和初步應(yīng)用能力，屬于知識(shí)理解水平層次。通過(guò)這樣的題目，學(xué)生能夠在較為簡(jiǎn)單的純數(shù)學(xué)情境中，鞏固對(duì)三元一次方程組模型的認(rèn)知，掌握其基本解題步驟和方法，為后續(xù)更復(fù)雜的情境應(yīng)用奠定基礎(chǔ)。然而，由于其情境的單一性和問(wèn)題類型的固定性，這類題目在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和靈活應(yīng)用能力方面的作用相對(duì)有限，更側(cè)重于對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)和技能的鞏固與理解。

示例2：浙江省山區(qū)居民的人均可支配收入水平與全省平均水平的差距持續(xù)縮小。某山區(qū)縣2012年居民人均可支配收入為全省人均可支配收入的 70% ，2019年達(dá) 75% 。已知該縣2019年居民人均可支配收入是2012年的2倍少300元，全省2019年人均可支配收入比2012年增加23000元。問(wèn)：該山區(qū)縣居民人均可支配收入2019年比2012年增加了多少元？

分析：該示例選自浙教版教材七年級(jí)下冊(cè)“2.4二元一次方程組的應(yīng)用\"作業(yè)題第2題（第63頁(yè)）。問(wèn)題情境類型為社會(huì)情境，貼近現(xiàn)實(shí)生活，反映了浙江省山區(qū)居民收入水平的變化情況。學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)，需要從真實(shí)的數(shù)據(jù)背景中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，即通過(guò)分析山區(qū)縣與全省人均可支配收入之間的關(guān)系，建立二元一次方程組模型，進(jìn)而求解出山區(qū)縣居民人均可支配收人的增長(zhǎng)額。這類題目屬于知識(shí)遷移水平，要求學(xué)生能夠?qū)⒍淮畏匠探M的數(shù)學(xué)模型應(yīng)用到實(shí)際的社會(huì)經(jīng)濟(jì)問(wèn)題情境中，實(shí)現(xiàn)知識(shí)的遷移和應(yīng)用。與知識(shí)理解水平題目相比，這類題目不僅考查學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的理解，更注重培養(yǎng)學(xué)生在不同情境中靈活運(yùn)用模型解決實(shí)際問(wèn)題的能力，有助于提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)實(shí)際應(yīng)用價(jià)值的認(rèn)識(shí)，增強(qiáng)其運(yùn)用數(shù)學(xué)解決現(xiàn)實(shí)問(wèn)題的意識(shí)和能力。

示例3：Salali正在超市購(gòu)買(mǎi)學(xué)校用品。她擁有兩張優(yōu)惠券，其中一張是 25% 折扣的優(yōu)惠券，另一張是15美元的優(yōu)惠券。單次購(gòu)買(mǎi)，她只能使用其中一張優(yōu)惠券。問(wèn)題：基于Salali消費(fèi)的總金額，你會(huì)怎樣建議她使用優(yōu)惠券？

分析：該示例選自GMH版教材八年級(jí)卷二“8.1 Using Graphing to Solve Systems ofEquations\"例題1（第110頁(yè)），問(wèn)題情境類型為個(gè)人情境。這類題目并不像前兩個(gè)示例那樣提供明確的求解要求，而是創(chuàng)設(shè)了一個(gè)較為開(kāi)放的情境，要求學(xué)生根據(jù)Salali的消費(fèi)數(shù)額，討論使用哪張優(yōu)惠券的條件。學(xué)生在解決這類問(wèn)題時(shí)，需要充分運(yùn)用自己的數(shù)學(xué)知識(shí)和思維能力，主動(dòng)探索問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系和變化規(guī)律，利用數(shù)學(xué)語(yǔ)言建立起相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，如通過(guò)建構(gòu)方程或不等式模型，分析兩張優(yōu)惠券在不同消費(fèi)數(shù)額下的優(yōu)惠力度，并能夠清晰地表述其意義和結(jié)論。這類題目具有較強(qiáng)的開(kāi)放性和探究性，屬于知識(shí)創(chuàng)新水平，旨在培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維和獨(dú)立解決問(wèn)題的能力。學(xué)生在解決問(wèn)題的過(guò)程中要突破常規(guī)思維，從不同角度分析問(wèn)題，嘗試多種建模方法，從而鍛煉其創(chuàng)新意識(shí)和綜合運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決復(fù)雜問(wèn)題的能力。這種類型的題目設(shè)計(jì)充分體現(xiàn)了美國(guó)教材在創(chuàng)新性建模能力培養(yǎng)方面的獨(dú)特優(yōu)勢(shì)，為學(xué)生提供了廣闊的發(fā)展空間，有助于激發(fā)學(xué)生的創(chuàng)新潛力和學(xué)習(xí)興趣。

三、教學(xué)啟示

通過(guò)上述分析，筆者發(fā)現(xiàn)：中國(guó)教材重視知識(shí)遷移能力，強(qiáng)調(diào)個(gè)人與職業(yè)情境應(yīng)用，但在科學(xué)情境和創(chuàng)新水平上存在不足；美國(guó)教材則側(cè)重開(kāi)放性問(wèn)題設(shè)計(jì)，科學(xué)情境與知識(shí)創(chuàng)新類題目占比較高，體現(xiàn)創(chuàng)新思維培養(yǎng)導(dǎo)向，但在基礎(chǔ)能力培養(yǎng)方面存在不足。據(jù)此，筆者認(rèn)為，我國(guó)的初中數(shù)學(xué)教學(xué)可借鑒美國(guó)教材設(shè)計(jì)體現(xiàn)的相關(guān)理念，采用如下策略以優(yōu)化教學(xué)。

（一）重構(gòu)問(wèn)題情境設(shè)計(jì)體系：打破教材局限，拓展建模視野

上述教材分析揭示的情境結(jié)構(gòu)性失衡亟待教學(xué)干預(yù)。人教版教材例習(xí)題科學(xué)情境的完全缺失，浙教版教材例習(xí)題社會(huì)情境的嚴(yán)重匱乏，以及二者職業(yè)情境的單一化，導(dǎo)致學(xué)生建模視野狹窄，難以應(yīng)對(duì)跨學(xué)科及復(fù)雜社會(huì)系統(tǒng)問(wèn)題。教師在教學(xué)時(shí)需突破教材限制，建構(gòu)多維度情境網(wǎng)絡(luò)。

1.強(qiáng)化科學(xué)情境的系統(tǒng)滲透

教師可精心選取并整合物理、化學(xué)、生物學(xué)乃至地球科學(xué)等領(lǐng)域的核心概念與經(jīng)典模型，將其轉(zhuǎn)化為可建模的數(shù)學(xué)問(wèn)題。例如，在物理領(lǐng)域，可以圍繞牛頓運(yùn)動(dòng)定律設(shè)計(jì)探究任務(wù)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)實(shí)驗(yàn)觀測(cè)自由落體或勻加速直線運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象，精確收集位移、時(shí)間、速度、加速度等數(shù)據(jù)，進(jìn)而分析變量間的量化關(guān)系，最終自主建構(gòu)描述運(yùn)動(dòng)規(guī)律的數(shù)學(xué)模型。此類任務(wù)的核心在于引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷“觀察現(xiàn)象、量化關(guān)系、抽象建模、模型驗(yàn)證”的完整科學(xué)探究與建模過(guò)程，深刻體會(huì)數(shù)學(xué)作為描述自然規(guī)律的語(yǔ)言力量，從而系統(tǒng)性地培育其模型觀念素養(yǎng)和實(shí)證精神。

2.深化社會(huì)情境的復(fù)雜建模

教學(xué)中，教師可著重引人具有高度現(xiàn)實(shí)復(fù)雜性、涉及多主體利益博弈和多約束條件并存的社會(huì)性議題。例如，可以設(shè)計(jì)“城市學(xué)區(qū)資源優(yōu)化配置\"項(xiàng)目，引導(dǎo)學(xué)生考慮人口分布、學(xué)校容量、交通距離、教育公平等多重因素，建立線性規(guī)劃或整數(shù)規(guī)劃模型，尋求最優(yōu)的學(xué)區(qū)劃分方案，并模擬分析不同政策對(duì)資源配置效率和公平性的影響。這類情境建模不僅能訓(xùn)練學(xué)生處理多變量、非線性、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的能力，更能通過(guò)模擬決策過(guò)程，引導(dǎo)學(xué)生深刻理解數(shù)學(xué)模型在公共治理中的價(jià)值與局限

3.拓展職業(yè)情境的現(xiàn)代維度

為突破教材例習(xí)題中的職業(yè)情境多局限于“生產(chǎn)線調(diào)度\"\"傳統(tǒng)物流\"等相對(duì)單一和傳統(tǒng)領(lǐng)域的現(xiàn)狀，教師在教學(xué)中必須積極擁抱時(shí)代發(fā)展，引入反映現(xiàn)代及未來(lái)職業(yè)圖景的新興領(lǐng)域。這包括但不限于：金融科技領(lǐng)域；數(shù)據(jù)科學(xué)與人工智能領(lǐng)域；智慧城市與物聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)域。為引人這些情境，教師要主動(dòng)尋求與行業(yè)專家的合作，共同開(kāi)發(fā)貼近真實(shí)工作場(chǎng)景的仿真項(xiàng)目或案例研究。通過(guò)這些項(xiàng)目，學(xué)生能直觀感受到數(shù)學(xué)建模在驅(qū)動(dòng)金融創(chuàng)新、優(yōu)化商業(yè)決策、提升城市管理效率等現(xiàn)代職業(yè)生態(tài)中的核心價(jià)值與應(yīng)用活力，激發(fā)學(xué)習(xí)動(dòng)力并拓展職業(yè)認(rèn)知的邊界。實(shí)施的關(guān)鍵策略在于建構(gòu)“漸進(jìn)式情境鏈”：情境的設(shè)計(jì)不應(yīng)是孤立的點(diǎn)，而應(yīng)形成一條能力螺旋上升的鏈條。例如：可以從貼近學(xué)生生活的“家庭月度用電模式分析與預(yù)測(cè)”（個(gè)人層面）入手，引導(dǎo)學(xué)生收集自家用電數(shù)據(jù)，建立時(shí)間序列模型進(jìn)行預(yù)測(cè)；進(jìn)而升級(jí)到“社區(qū)公共空間照明系統(tǒng)或新能源設(shè)施的優(yōu)化配置方案設(shè)計(jì)\"（社會(huì)層面）——需要考慮社區(qū)人口結(jié)構(gòu)、活動(dòng)規(guī)律、節(jié)能目標(biāo)、預(yù)算限制等更復(fù)雜因素；最終延伸至“區(qū)域智能電網(wǎng)的負(fù)荷預(yù)測(cè)與動(dòng)態(tài)調(diào)度優(yōu)化模型\"（科學(xué)/職業(yè)層面）。這條“個(gè)人、社會(huì)、科學(xué)/職業(yè)\"的情境鏈，由簡(jiǎn)入繁，層層遞進(jìn)，可使學(xué)生的建模視野不斷拓寬，使其模型觀念素養(yǎng)在解決日益復(fù)雜的問(wèn)題中實(shí)現(xiàn)螺旋式上升和鞏固。

（二）優(yōu)化素養(yǎng)發(fā)展路徑：貫通三階能力，破解培養(yǎng)困局

三版教材例習(xí)題在模型觀念素養(yǎng)水平上的失衡警示教學(xué)變革的緊迫性。人教版教材中遷移類題目占比高達(dá) 81.08% ，而創(chuàng)新類題目?jī)H占 10.81% ，易導(dǎo)致學(xué)生陷人機(jī)械解題的思維定式；浙教版教材中遷移類題目占比74.29% ，創(chuàng)新類題目占比 20.00% ，雖比人教版教材設(shè)置均衡，但仍以遷移類題自為主導(dǎo)，同樣具有陷入機(jī)械解題的思維定式風(fēng)險(xiǎn)。GMH版教材創(chuàng)新類題目占比達(dá)到 51.85% ，但其遷移類題目?jī)H占 44.44% ，且理解類題目匱乏，存在創(chuàng)新失基的風(fēng)險(xiǎn)。這就要求教師在教學(xué)中建構(gòu)“理解一遷移一創(chuàng)新”的動(dòng)態(tài)銜接機(jī)制。

1.在知識(shí)理解層面強(qiáng)化模型本質(zhì)剖析

例如，在教學(xué)“消元法解二元一次方程組”后，教師不應(yīng)僅停留于解法步驟，而應(yīng)增設(shè)“模型解釋\"環(huán)節(jié)：要求學(xué)生用自然語(yǔ)言（非數(shù)學(xué)符號(hào)）解釋方程“ 2 x - y = 5”" 在現(xiàn)實(shí)中的可能含義，如“購(gòu)買(mǎi)筆記本和鋼筆：2個(gè)筆記本的總價(jià)比1支鋼筆的價(jià)格多5元”。更進(jìn)一步，可以要求學(xué)生為一個(gè)給定的方程（如 x+2y=100^，-） 設(shè)計(jì)出多個(gè)不同的現(xiàn)實(shí)情境（如預(yù)算分配、混合物比例、行程問(wèn)題等）。這種數(shù)學(xué)符號(hào)與現(xiàn)實(shí)世界的雙向轉(zhuǎn)化訓(xùn)練，能有效破除數(shù)學(xué)的形式主義外殼，幫助學(xué)生深刻理解變量、參數(shù)、關(guān)系的現(xiàn)實(shí)指代，為后續(xù)的遷移應(yīng)用和創(chuàng)新奠定堅(jiān)實(shí)的認(rèn)知根基和意義聯(lián)結(jié)

2.在知識(shí)遷移層面突破同質(zhì)化訓(xùn)練

針對(duì)遷移類題目過(guò)多或不足易導(dǎo)致同質(zhì)化訓(xùn)練這一情況，教師可設(shè)計(jì)“概念變式網(wǎng)絡(luò)”，如圍繞核心建模思想（如優(yōu)化思想），串聯(lián)“旅行路線規(guī)劃”（個(gè)人）、“物流成本控制”（職業(yè)）、“疫苗配送方案”（社會(huì)）等差異化案例，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別問(wèn)題的本質(zhì)結(jié)構(gòu)，靈活選擇建模策略。

3.在知識(shí)創(chuàng)新層面搭建漸進(jìn)式階梯

教師可參考GMH版教材對(duì)創(chuàng)新類題目的設(shè)計(jì)，同時(shí)避開(kāi)其“陡峭\"的創(chuàng)新要求，在教學(xué)中設(shè)計(jì)“半開(kāi)放 $$ 全開(kāi)放”任務(wù)序列：初期提供框架約束（如給定變量范圍），要求學(xué)生補(bǔ)充條件完成建模；中期呈現(xiàn)原始的社會(huì)現(xiàn)象（如“校園周邊交通擁堵”），引導(dǎo)自主定義問(wèn)題并采集數(shù)據(jù)；后期開(kāi)展無(wú)標(biāo)準(zhǔn)答案的探究項(xiàng)目（如“城市垃圾分類站選址優(yōu)化”），要求綜合權(quán)衡經(jīng)濟(jì)、環(huán)境等多維因素。同時(shí)，教師還可配備“建模反思指南”，以指導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)審視假設(shè)合理性、算法適用性，培育其模型觀念素養(yǎng)。

（三）創(chuàng)新教學(xué)評(píng)價(jià)機(jī)制：聚焦建模過(guò)程，驅(qū)動(dòng)素養(yǎng)生長(zhǎng)

“教一學(xué)一評(píng)”一體化是培育數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的有效路徑。教師在建立問(wèn)題情境設(shè)計(jì)體系和模型觀念素養(yǎng)培育路徑后，需創(chuàng)新“過(guò)程一創(chuàng)新一多元\"三維評(píng)價(jià)體系：深化過(guò)程性評(píng)價(jià)追蹤全周期發(fā)展，設(shè)計(jì)“模型觀念素養(yǎng)成長(zhǎng)圖譜”，重點(diǎn)評(píng)估問(wèn)題抽象精準(zhǔn)度（如能否識(shí)別核心變量）模型建構(gòu)邏輯性（如約束條件完整性）解的現(xiàn)實(shí)意義（如結(jié)果是否符合常識(shí)）等關(guān)鍵節(jié)點(diǎn)。例如，在“社區(qū)健身設(shè)施優(yōu)化\"項(xiàng)目中：要關(guān)注學(xué)生是否實(shí)地調(diào)研需求數(shù)據(jù)、是否考慮到不同年齡群體偏好差異等過(guò)程要素；要設(shè)立創(chuàng)新性維度引導(dǎo)高階思維，將“模型新穎度”（如采用機(jī)器學(xué)習(xí)算法處理傳統(tǒng)問(wèn)題）、“跨學(xué)科整合度”（如融合經(jīng)濟(jì)學(xué)中的“邊際效應(yīng)”理論）、“解決方案的社會(huì)價(jià)值”（如促進(jìn)弱勢(shì)群體福祉）納入評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)，肯定突破常規(guī)的創(chuàng)新嘗試；要建構(gòu)多元主體參與的對(duì)話式評(píng)價(jià)，通過(guò)同伴互評(píng)聚焦模型可行性，評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)需“透明化\"并前置，即事先明確告知學(xué)生“優(yōu)秀模型”應(yīng)具備“精準(zhǔn)的變量定義”“可驗(yàn)證的假設(shè)體系”“針對(duì)現(xiàn)實(shí)矛盾的優(yōu)化策略”“可遷移的建模框架\"四大特征，使評(píng)價(jià)本身成為深化模型觀念素養(yǎng)的學(xué)習(xí)工具。□

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