基于“教一學一評”一體化的高中數(shù)學逆向教學設計探究

《普通高中數(shù)學課程標準（2017年版2020年修訂）》（以下簡稱\"《高中數(shù)學課標》\"）要求“加強對數(shù)學教學、教研、學習過程的評價，即評價數(shù)學教學經(jīng)驗形成的過程、數(shù)學教學研究深入的過程、數(shù)學學習規(guī)律把握的過程”“依據(jù)課程標準中數(shù)學學科核心素養(yǎng)內(nèi)涵與水平劃分，實現(xiàn)數(shù)學教學、學習、評價一體化”。那么，如何實現(xiàn)“教一學一評”一體化？有專家指出，“教學、學習、評價逐漸被看作是三位一體的關系，評價與教學、學習緊密地絞纏在一起，相互制約，相互影響教學、學習、評價三者共享目標”]。同時，“教—學一評”一致性涵蓋了三個相互關聯(lián)的要素：目標導向的學一教一致性、教—評一致性和評一學一致性[2]。這三個要素之間存在著相互一致的關系，只有將它們作為一個整體，有機融合進行一體化設計，使“教”與“學\"和教學目標一致，才能促進學生學科核心素養(yǎng)的發(fā)展。而逆向教學設計則為推進“教一學一評”一體化提供了理論框架和實踐路徑。據(jù)此，筆者在實踐中構建了基于“教—學一評”一體化的高中數(shù)學逆向教學設計模式，以期為高中數(shù)學課堂教學提供參考。

一、構建基于\"教一學—評”一體化的高中數(shù)學逆向教學設計模式

作為一種以學習目標為導向的教學設計模式，逆向教學設計的核心特征在于采用“以終為始\"的逆向思維，強調(diào)評價設計先于教學活動安排。這一設計理念與《高中數(shù)學課標》所倡導的“教一學一評”一體化具有內(nèi)在一致性，確立了評價在教學設計中的引領地位，為教學實踐提供了明確的導向。依據(jù)逆向教學設計理念，基于“教一學一評”一體化的教學需要從學習預期效果出發(fā)，確定評價任務與依據(jù)，再進行教學內(nèi)容、學習情境、策略的選取與組織，以及學習任務活動的設計[3]。筆者根據(jù)高中數(shù)學教學的實際，將其提煉為以下三個步驟。

一是設計定位精準的教學目標，即對照《高中數(shù)學課標》和教材內(nèi)容進行分析，考慮學生現(xiàn)有知識技能和實際運用能力等因素，確定預期的教學目標。二是設計目標導向的評價系統(tǒng)，具體包括四個方面：設定評價目標、設計評價任務、確定評價方式、選擇評價工具。評價目標和評價任務必須根據(jù)教學目標制訂；教學評價的主體應多元化，評價形式應多樣化；評價工具可以是測試卷、問卷調(diào)查、研究報告、小論文等。三是設計嵌人評價的學習任務，即根據(jù)預期的教學自標和適恰的評估依據(jù)，設計學習任務及相應的體驗活動促使教學目標達成，包括創(chuàng)設多樣化的學習情境、探究活動等。

基于“教一學一評”一體化的高中數(shù)學逆向教學設計模式具體如圖1所示。

二、基于“教一學一評”一體化的高中數(shù)學逆向教學設計的實施路徑

基于“教一學一評”一體化的高中數(shù)學逆向教學設計以教學目標、評價系統(tǒng)、學習任務三要素的深度融合為核心。教學目標的設定，需結(jié)合教材、課標與學情，精準對接核心素養(yǎng)；評價系統(tǒng)作為動態(tài)調(diào)節(jié)的“紐帶”，需貫穿教學全過程，并設置合適的評價工具；學習任務作為素養(yǎng)生成的“載體”，需嵌入評價工具以實現(xiàn)“做中學”。三者通過“目標導評、評嵌任務、任務促學\"的閉環(huán)邏輯，共同推動“教一學一評”一體化的實踐落地。下面以人教A版普通高中教科書《數(shù)學》選擇性必修第一冊第三章《圓錐曲線的方程》的章起始課為例，分步闡釋其實施路徑。

（一）精準定位教學目標：基于對課標、教 材與學情的解析

有專家指出，有效的教學開始于知道希望達到的目標是什么[4]。教學目標既是課堂教學的出發(fā)點，也是檢驗學習效果的落腳點?？茖W化、結(jié)構化且具備可測量性的教學目標是實現(xiàn)“教一學一評”一體化的基礎性保障，其設定需要嚴格遵循《高中數(shù)學課標》的指導框架，確保與學科核心素養(yǎng)的培育要求精準對接?！陡咧袛?shù)學課標》對《圓錐曲線的方程》章起始課內(nèi)容的要求為：（1）了解圓錐曲線的實際背景，感受圓錐曲線在刻畫現(xiàn)實世界和解決實際問題中的作用；（2）經(jīng)歷從具體情境中抽象出橢圓的過程，掌握橢圓的定義、標準方程。結(jié)合這些要求，筆者確定了這節(jié)課的重難點：重點是橢圓的幾何特征及橢圓的標準方程；難點是橢圓的幾何特征的發(fā)現(xiàn)及橢圓的標準方程的推導。

同時，學生在上一章已經(jīng)學習了用坐標法來研究圓的標準方程，對解析幾何有了一定的認識，并初步掌握了用坐標法研究幾何圖形的性質(zhì)的方法。此外，學生能從現(xiàn)實情境中抽象出數(shù)學問題，具備數(shù)學建模能力、運算能力、邏輯推理能力。這些都有助于學生對這節(jié)課知識的探索學習。

結(jié)合以上分析，筆者將《高中數(shù)學課標》中的要求分別細化為兩點，制訂了這節(jié)課的教學目標，具體如下。

教學目標1：能夠通過實驗探究活動一，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線的不同形狀，感受圓錐曲線名稱的由來，發(fā)展數(shù)學直觀想象素養(yǎng)與抽象素養(yǎng)。

教學目標2：能夠通過微視頻了解圓錐曲線的發(fā)展歷史，結(jié)合生活中圓錐曲線的應用實例，了解圓錐曲線的實際背景。

教學目標3：能夠通過實驗探究活動二，在動手操作中經(jīng)歷橢圓的形成過程，觀察橢圓的幾何特征，抽象出橢圓的定義，發(fā)展數(shù)學抽象素養(yǎng)。

教學目標4：能夠直觀感知橢圓的對稱性，建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，推導橢圓的標準方程，發(fā)展直觀想象素養(yǎng)與數(shù)學運算素養(yǎng)。

（二）設計評價系統(tǒng)：構建目標導向的評價證據(jù)鏈

設定教學目標后，教師要以預期的教學目標為統(tǒng)領，設計相應的評價目標、評價任務、評價方式和評價工具。在此過程中，教師還要思考如下問題：如何設計與評價目標匹配的評價任務，讓學生在課堂中達到預期的教學目標？采用怎樣的評價方式和評價工具可以為預期的結(jié)果提供證據(jù)？為此，筆者設計了教學目標導向的評價證據(jù)鏈表（如表1所示，表中不重復展示教學目標的內(nèi)容）。

（三）深度實施任務：嵌入評價引導探究性活動

基于“教一學一評”一體化的逆向教學在實際實施中需要嵌入評價，即教師要充分考慮評價目標，設計切實可行、可評價的學習任務。為此，筆者結(jié)合表1，設計了以下學習任務。

【任務一圓錐曲線本源探索：具象化感知策略

[實驗探究活動一]每個小組準備1個圓錐形的瓶子，里面裝半瓶水，隨著傾斜程度的不同，觀察液面的截口曲線的形狀。

問題1：將瓶子水平放置，觀察液面的截口曲線（液面與瓶子側(cè)面的交線），說說它是什么形狀的。

問題2：將瓶子微微傾斜，隨著傾斜角度的不同，液面的截口曲線又會呈現(xiàn)什么形狀？（小組合作探究，小組匯報）

問題3：將2個圓錐形瓶的瓶蓋湊在一塊，水平放置圓錐形瓶，液面的截口曲線又呈現(xiàn)什么形狀？

[教師活動]引導學生通過三個問題，結(jié)合實驗觀察，發(fā)現(xiàn)圓、橢圓、拋物線、雙曲線都可以由平面截圓錐得到。用GGB軟件演示當平面與圓錐的軸的夾角 α 變化（其中截面不過頂點）時，截口曲線的變化情況。

[評價依據(jù)]學生在實驗探究中的表現(xiàn)，如：能否正確描述不同傾斜角度下（水平、微傾、雙瓶對接）液面截口曲線的形狀（如圓、橢圓、雙曲線雛形）；能否結(jié)合GGB演示，初步建立“平面截圓錐”操作與“圓錐曲線”名稱的聯(lián)系（如能解釋為何統(tǒng)稱“圓錐曲線”）；在小組探究、匯報中的主動參與度和協(xié)作交流情況。

[評價方式]表現(xiàn)性評價（觀察實驗操作、小組討論、小組匯報） + 個別交流式評價。

[評價工具]課堂觀察記錄表（如表2所示）。

設計意圖：引導學生通過小組實驗探究，觀察液面截圓錐瓶所得的截口曲線形狀，讓學生發(fā)現(xiàn)橢圓、拋物線、雙曲線均可以由平面截圓錐所得，由此加深認知印象，提升直觀想象素養(yǎng)，進而體會到生活中處處都有數(shù)學的影子，要善于去發(fā)現(xiàn)和探究。

【任務二】文化溯源探索：史料情境化策略

[教師活動]播放有關圓錐曲線發(fā)展史的微視頻。

問題4：結(jié)合微視頻，你能說出解析幾何的核心思想是什么嗎？

問題5：結(jié)合微視頻中展示的圓錐曲線應用實例（雷達、工廠煙囪、天體運行軌道、球形建筑），你能說說生活中還有哪些圓錐曲線應用的例子嗎？

[評價依據(jù)]學生在觀看微視頻和回答相關問題時的表現(xiàn)，如：能否識別微視頻中圓錐曲線發(fā)展的核心人物；能否準確回答“解析幾何的核心思想是什么”；能否列舉1～2個微視頻之外的合理、具體的生活實例，并說明曲線類型。

[評價方式]表現(xiàn)性評價（觀察專注度、口頭回答） + 課堂提問。

[評價工具]課堂提問記錄表（如表3所示）。

設計意圖：通過微視頻讓學生了解圓錐曲線的發(fā)展史，以及解析幾何的核心思想是坐標法；結(jié)合圓錐曲線應用實例，讓學生尋找身邊的圓錐曲線，加深對圓錐曲線的了解，體現(xiàn)數(shù)學來源于生活、應用于生活，激發(fā)學生的學習興趣。

（任務三橢圓定義生成：操作式歸納策略

[實驗探究活動二]取一條定長的細繩，若把細繩兩端都固定在圖板的同一點，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，可以畫出什么圖形？如果把細繩的兩端點拉開一段距離，分別固定在圖板的兩點 F₁，F(xiàn)₂ ，套上鉛筆，拉緊繩子，移動筆尖，又可以畫出什么圖形？“操作過程中套上鉛筆，拉緊繩子”意味著什么？筆尖移動過程中滿足的幾何條件是什么？

[學生活動]小組合作完成實驗，上臺展示自己完成的作品，并說出自己在畫圖過程中的感受與觀察到的幾何特征。

問題6：觀察不同小組畫出的橢圓，它們有什么不同？

追間1：如果細繩長度等于 |F₁F₂| ，相應的軌跡是什么？

追問2：如果細繩長度小于 |F₁F₂| ，相應的軌跡存在嗎？

[師生活動]學生歸納、互相補充，教師再歸納并給出橢圓的定義及數(shù)學表達式： 。由于學生在歸納定義時很容易漏掉 2agt;|F₁F₂| 教師給予重點提示。

[評價依據(jù)]學生以小組合作探究形式開展活動的表現(xiàn)，如：能否概括橢圓的定義；能否根據(jù)繩長與定點的距離關系得出不同的軌跡

[評價方式]表現(xiàn)性評價（實驗操作、小組討論、匯報）。

[評價工具]課堂評價量表一（如表4所示）。

設計意圖：讓學生以小組為單位相互配合，通過動手畫橢圓，經(jīng)歷知識的形成過程，感受并總結(jié)動點滿足的幾何特征，然后經(jīng)由討論、概括得出橢圓的定義。這種在實踐中學習數(shù)學的方式，可幫助培養(yǎng)發(fā)現(xiàn)規(guī)律、認識規(guī)律、總結(jié)規(guī)律的習慣，提升數(shù)學抽象素養(yǎng)。

【任務四】方程推導優(yōu)化：算法對比策略

問題7：按照解析幾何研究圖形的基本思路，建立橢圓的定義后，我們下一步要研究什么呢？

追間1：坐標法求曲線方程有哪些步驟？建立坐標系的基本原則有哪些？

追間2：橢圓是對稱圖形嗎？你能猜想橢圓的對稱軸嗎？

追間3：如何選取坐標系可使橢圓的方程變得簡單？

[師生活動]教師引導學生根據(jù)坐標法求曲線方程的步驟（即“建系、設點、列式、化簡”四步。其中“化簡”有三種方法：解法一為直接兩邊平方法，比較煩瑣；解法二為移項兩邊平方法，教材中有示例；解法三為分子有理化法，由教師講解。步驟過程均略），求解橢圓的方程。

[評價依據(jù)]學生間的解法交流討論和各小組的匯報情況，如：能否根據(jù)幾何特征，建立合理的坐標系；能否用解法一、解法二或解法三來化簡。

[評價方式]書面論述式評價。

[評價工具]課堂評價量表二（如表5所示）。

設計意圖：建系、設點、列式、化簡是求曲線方程的基本步驟，其中選取什么樣的坐標系影響最終所求的方程形式。橢圓方程化簡對運算能力的要求比較高，上述設計注重體現(xiàn)學生主體性，通過小組交流和匯報的形式，讓學生講出自己的想法，以促進學生理性思維的發(fā)展，幫助學生提升數(shù)學建模、數(shù)學運算素養(yǎng)。解法三由教師講解，引導學生進行變形思考，為后續(xù)圓錐曲線第二定義的探究作鋪墊。

問題8：觀察圖，你能從中找出表示 ^a，c 的線段嗎？（見教材106頁“思考”，圖略）

[師生活動]教師引導學生觀察教材中的圖形。令 ，在橢圓的圖形中去發(fā)現(xiàn) a，b，c 所對應的線段。學生觀察圖形，總結(jié)出 a，b，c 的幾何意義，并寫出焦點在 x 軸的橢

問題9：如果橢圓的焦點在 y 軸上，橢圓的標準方程又是怎樣的？

[師生活動]教師引導學生類比焦點在 x 軸上的橢圓的標準方程的推導方法，推導出焦點在y軸上的橢圓的標準方程：22 。

問題10：如何利用橢圓的標準方程去判斷橢圓焦點的位置？

[師生活動]教師引導學生觀察比較，得出：哪個變量下的分母大，焦點就在哪個軸上。然后，教師給出例題，引導學生分析。

例題：判斷下列橢圓的方程焦點在哪條軸上？焦點坐標是多少？

2

[評價依據(jù)]學生的回答情況，如：學生能否在觀察圖形的基礎上得出 a，b，c 的幾何意義；能否類比得出焦點在 y 軸上的橢圓的標準方程；能否通過比較方程的特點總結(jié)判斷焦點的位置。

[評價方式]書面論述式評價。

[評價工具]課堂評價量表三（如表6所示）。

設計意圖：讓學生通過該過程體會數(shù)形結(jié)合數(shù)學思想，更深入地理解橢圓方程中各個字母的含義，促進深度學習。同時，引導學生體會類比、化歸等重要數(shù)學思想，探求焦點在 y 軸上的橢圓的標準方程，發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)所在。梳理焦點在不同坐標軸上的方程的判斷，則可培養(yǎng)學生的整理歸納能力，為后續(xù)學習作鋪墊。

三、教學反思

“以終為始\"的逆向教學設計與“教一學—評”一體化理念的深度融合，為高中數(shù)學課堂教學提供了新的教學模式。通過《圓錐曲線的方程》章起始課的教學實踐，筆者發(fā)現(xiàn)，這一模式不僅有助于有效落實學科核心素養(yǎng)的培育目標，還能通過評價的導向作用優(yōu)化教學設計與實施過程。以下從理論支撐、實踐效果、教師角色三個方面展開反思。

（一）理論支撐：逆向設計與“教一學一評”一體化的高度契合

逆向教學設計的核心在于“以終為始”，即從預期學習結(jié)果出發(fā)，反向設計教學目標、評價方式和學習活動。這一理念與《高中數(shù)學課標》倡導的“教一學一評”一體化理念高度契合。崔允等人提出的“教一學一評一致性三因素理論模型”5強調(diào)目標、教學與評價的三維統(tǒng)一，而逆向設計通過“評價先行\(zhòng)"的邏輯，將三者有機串聯(lián)。例如，在《圓錐曲線的方程》章起始課的教學中，筆者首先明確“學生需通過實驗探究歸納橢圓的定義”這一目標，設計“小組合作實驗 + 課堂評價量表”評估工具，創(chuàng)設實驗探究與問題鏈。這種設計確保了評價始終貫穿于教學全過程，避免了傳統(tǒng)課堂中“教與評脫節(jié)”的弊端。

此外，逆向設計的“評價嵌入”特征與《高中數(shù)學課標》強調(diào)的“過程性評價”理念一致。通過多元化的評價方式（如表現(xiàn)性評價、個別交流式評價、課堂提問等），教師能夠動態(tài)捕捉學生的思維發(fā)展軌跡。例如，在上述任務三中，學生要通過小組合作完成任務并填寫評價量表，這樣既能提升學生的數(shù)學抽象能力，又能強化學生的合作與表達能力。

（二）實踐效果：優(yōu)化課堂參與度，提升學生的學科核心素養(yǎng)

從教學實踐效果來看，逆向教學設計優(yōu)化了學生的課堂參與度，提升了學生的學科核心素養(yǎng)。以上述任務二為例，學生反饋：“動手畫橢圓讓我直觀感受到幾何特征，評價量表幫助我明確了自己的不足?！边@種“做中學 + 評中改”的模式，大大提高了學生的課堂參與度。再以上述任務四為例，學生通過對比不同化簡方法（直接兩邊平方法、移項兩邊平方法、分子有理化法等），掌握了代數(shù)運算技巧，提升了運算素養(yǎng)。

（三）教師角色：從“知識傳授者”到“課程設計者”和“學習引導者”

逆向教學設計對教師的專業(yè)能力提出了更高要求。在“教一學一評”一體化框架下，教師需從傳統(tǒng)的“知識傳授者”轉(zhuǎn)變?yōu)椤罢n程設計者”和“學習引導者”。具體表現(xiàn)如下。

目標精準化：教師需深入解讀課程標準，并結(jié)合學情，將宏觀素養(yǎng)目標轉(zhuǎn)化為可操作的具體目標。例如，在《圓錐曲線的方程》章起始課中，筆者將數(shù)學抽象素養(yǎng)和運算素養(yǎng)細化為“通過實驗歸納橢圓的定義”和“推導橢圓的標準方程”。

評價專業(yè)化：教師需掌握多元評價工具的設計與實施技巧。例如，在上述任務一中，筆者通過“觀察記錄 + 小組匯報”的表現(xiàn)性評價，動態(tài)監(jiān)測學生的直觀想象能力發(fā)展情況。

反饋即時化：教師需根據(jù)課堂評價結(jié)果及時調(diào)整教學策略。例如，在上述任務二中，部分學生未能準確列舉生活中的圓錐曲線實例，筆者隨即補充橋梁等案例，幫助學生建立數(shù)學與現(xiàn)實的聯(lián)系。

總之，基于“教一學一評”一體化的逆向教學設計，通過目標導向的評價嵌人和動態(tài)反饋機制，為高中數(shù)學課堂注入了新的活力，促進了學生學科核心素養(yǎng)的全面發(fā)展，推動了教師專業(yè)能力的迭代升級。

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