神奇的定比點差法及其應(yīng)用

解析幾何是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，其本質(zhì)是利用代數(shù)方法解決幾何問題.具體來說，通過建立坐標(biāo)系將點與坐標(biāo)一一對應(yīng)，從而用代數(shù)方程來表示幾何圖形，進(jìn)而借助代數(shù)方法實現(xiàn)對幾何問題的定量研究.在解析幾何中，直線與圓錐曲線的位置關(guān)系是核心內(nèi)容之一，通常會涉及較復(fù)雜的計算.而定比點差法作為一種特殊的解題方法，在處理這類問題時具有獨特的優(yōu)勢，能夠簡化運算過程，提高解題效率.

1定比點差法的原理

1. 1 橢圓情形

設(shè)橢圓方程為 ，點A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 在橢圓上，點 P（x₀，y₀） 滿足 ，求點 P（x₀，y₀） 滿足的方程.因為點 A（x₁，y₁） 在橢圓 上所以 同理 ，此式兩邊同時乘以 λ² 適有 ①-② 得 分解因式得

1-λ ·再根據(jù)定比分點公式 ，即點P（x，y） 滿足的方程.

1.2 雙曲線情形

設(shè)雙曲線方程為 ，點 A（x₁，y₁），B（x₂，y₂） 在雙曲線上，點 P（x_L0，y_L0） 滿足 ，則類似橢圓情形可得

1. 3 拋物線情形

設(shè)拋物線方程為 y²=2px（pgt;0） ，點

A（x₁，y₁） ·B（x₂，y₂） 在拋物線上，且點 P（x₀，y₀）

滿足 ，求點 P（x₀，y₀） 滿足的方程.y₁²=2px₁，λ²y₂²=2λ²px₂ ，兩式相減，得 y₁²-λ²y₂²=2p（x₁-λ²x₂） ， 再根據(jù)定比分點公式

以上方法稱為“定比點差法”，這一方法與點差法的區(qū)別在于將中點改為一般的定比分點，因此比點差法更加復(fù)雜，同時適用范圍也更廣.當(dāng) λ=1 時，定比點差法就是通常的點差法，可見，定比點差法是點差法的推廣.

2 定比點差法的應(yīng)用

例1 已知點 P（0，1） ，橢圓 1）上兩點 A，B 滿足 ，當(dāng)點 B 橫坐標(biāo)的絕對值最大時，求 Σ_m 的值.

解析設(shè) A（x₁，y₁） B（x₂，y₂） ，由于 可得 （-x₁，1-y₁）=2（x₂，y₂-1） ，即 x₁+2x₂=0，y₁+2y₂=3， 由 A（x₁，y₁） ！ B（x₂，y₂） 均在橢圓上，可知 故 兩式相減并分解因式得 （2y₂-y₁）=3m 將 x₁+2x₂=0，y₁+2y₂=3 代入上式，得 3（2y₂-y₁）=3m ，即 2y₂-y₁=m ：結(jié)合 2y₂+y₁=3 解得y2=m+3代人 ，得

所以，當(dāng) m=5 時， x₂² 有最大值4，即點 B 橫坐標(biāo)的絕對值最大值的為2.

例2 過定點 P（0，3） 的直線與橢圓 1交于 A，B 兩點 （A，B 可重合），則 的取值范圍為

解析 設(shè) A（x₁，y₁） ， B（x₂，y₂） 則 根據(jù)定比分點公式可知 ， 所以 x₁+λx₂=0 且 y₁+λy₂=3（1+λ） 又因為點 A，B 在橢圓 上，所以 （2號 兩式相減并分解因式得（x1+λx2）（1-λ2）

（20號將 x₁+λx₂=0 和 y₁+λy₂=3（1+λ） 代入上

式并整理，得 再與 y₁+λy₂=3（1+λ） 聯(lián)立，解得 又由 y₁ 在橢圓 上可知 y₁∈[-2，2] 從而 解得 于是 的取值范圍為

3結(jié)語

定比點差法作為解析幾何中的一種重要方法，通過巧妙地利用點坐標(biāo)之間的關(guān)系以及圓錐曲線方程的特性，為解決直線與圓錐曲線的相關(guān)問題提供了一種簡潔而有效的方法.因此，熟練掌握定比點差法能夠大大減少計算量，提高解題效率和準(zhǔn)確性.

參考文獻(xiàn)：

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[2」李小蛟.定比點差法在圓錐曲線中的應(yīng)用LJ」.數(shù)理化解題研究，2023（4）：65—68.