指向學生數學“關鍵能力”培養的概念課教學研究

1 問題的提出

2024年高考數學新課標卷創設全新的試卷結構：減少題量，給學生充足的思考時間；加強思維考查，強化素養導向，給不同水平的學生提供充分展現才華的空間；服務拔尖創新人才選拔，助推素質教育發展，助力教育強國建設.高考數學通過創新試卷結構設計和題目風格，強調對學科基礎知識、基本方法的深刻理解，增強試題的靈活性和開放性1.引導教師把教學重點從總結解題技巧轉向培養學生學科核心素養，提升學生的數學關鍵能力.

數學關鍵能力是指學生在面對與數學學科相關的生活實踐或學習探索情境時，高質量的認識問題、分析問題、解決問題所具備的能力.高考考查的數學關鍵能力包括三個方面：知識獲取能力、實踐操作能力和思維認知能力.知識獲取能力主要包括：閱讀理解能力，信息搜索能力以及信息整理能力.實踐操作能力主要包括數據處理能力，信息轉化能力，語言表達能力等.思維認知能力主要包括形象思維能力、抽象思維能力、歸納概括能力、演繹推理能力、批判思維能力以及辯證思維能力等.

本文課教學中教師設置合理的問題情境，引導學生歸納、抽象概念，可以提升學生的知識獲取能力；通過讓學生自己推導公式、定理、方程等，可以提升學生的實踐操作能力；通過借助已有知識對定義進行深度理解等，可以提升學生的思維認知能力.由此可見，概念課課堂是發展學生數學關鍵能力的重要陣地.

本文筆者以“橢圓及其標準方程為”為例，對如何在概念課教學生培養學生的“數學關鍵能力”進行實踐研究.

2 教學內容分析

“橢圓及其標準方程”是人教A版《數學》選擇性必修第一冊第三章第一節的內容.本節課是建立在學生學習“直線和圓的方程”的基礎上，又是“圓錐曲線的方程”的起始課，無論是從研究內容上，還是研究方法與路徑上，都具有承上啟下的作用.

學生通過對“直線和圓的方程”的學習，接觸一種新方法一坐標法研究幾何圖形的性質；了解用“坐標法”解決平面幾何問題的基本步驟;初步感悟用坐標法研究幾何圖形性質的程序性與普適性；領會在強調坐標法特點的基礎上，充分利用幾何性質簡化運算的數形結合思想.橢圓的學習也為雙曲線、拋物線的研究起到示范作用，引領研究的數學思想與基本方法.

3教學目標

（1）通過實際問題情境認識橢圓的形狀、橢圓在生產生活中的廣泛應用，感受橢圓所蘊含的數學文化，體會研究橢圓的必要性.

（2）能根據橢圓的形成過程認識橢圓的幾何特征，從而歸納橢圓的定義，發展數學抽象與邏輯推理素養.

（3）類比圓的方程，建立適當坐標系，將橢圓上的點滿足的幾何條件轉化為橢圓上的點的坐標滿足的方程，化簡得到橢圓的標準方程.進一步體會建立軌跡方程的基本路徑，滲透數形結合思想，發展直觀想象與數學運算素養.

4教學重難點

教學重難點：橢圓的定義的歸納抽象及其標準方程的推導.

5 教學過程

5.1 動手操作，感知背景

教師活動：通過PPT展示生活中的常見的橢圓;借助幾何畫板動態展示行星的運行軌跡是橢圓；傾斜裝有紅色液體的透明圓柱形水杯，水面是橢圓；利用Geogebra軟件演示用平面截圓錐，感受截面與圓錐的軸所成角度不同時，截面曲線為橢圓、雙曲線或拋物線.

問題1 請同學們舉出生活中橢圓的例子.

設計意圖 了解橢圓的實際背景，感受其蘊含的數學文化；增強學生學會用數學的眼光觀察世界、描述世界的意識.培養學生的知識獲取能力.

問題2 如何定義橢圓？

設計意圖 回顧通過圓上的點滿足的幾何特征獲得圓的定義的過程，學生探索獲得橢圓定義的方法，滲透類比的思想方法，提升遷移能力.

5.2 自主探究，抽象定義

師生活動1：請兩位同學到講臺展示用教具畫圖的過程（如圖1）.

師生活動2：教師在幾何畫板中進行如下操作：（1）畫出定圓 F₁ ；（2）取圓外一定點 F₂ ；（3）任取圓F₁ 上一點 P ，連結 PF₁，PF₂ ，作 PF₂ 的中垂線 l 交線段 PF₁ 于點 M ；（4）生成動點 P 的動畫，追蹤交點 M 交點 M 的軌跡是橢圓（如圖2）.

圖1

圖2

師生活動3：學生按照下列步驟完成折紙游戲（如圖3）.

圖3

第一步：在圓 F₁ 內取一點 F₂ ：

第二步：在圓 F₁ 上任取一點 P₁

第三步：將白紙對折，使 P₁ 與 F₂ 重合，并留下一條折痕;

第四步：連接 F₁P₁ ，使直線 F₁P₁ 與折痕交于點 M₁ ：

第五步：在圓周上再任取其它點，重復第二三、四步得到點 M₂，M₃，M₄ .··

第六步：用光滑的曲線連結點 M₁，M₂ M₃，M₄ ·

設計意圖 學生經歷橢圓的形成過程，提升信息獲取能力與動手操作能力.

問題3請同學們觀察橢圓的形成過程，回答下列三個問題：（1）三個實驗中動點 M 的軌跡都是橢圓，那么動點 M 共性是什么？（2）對比圓的定義，在橢圓中有幾個定點，定值是什么？（3）類比圓的定義你能給出橢圓的定義嗎？

師生活動4：教師提出問題，并個別指導.學生通過獨立思考、自主探究抽象橢圓的定義，教師規范表達，并板書用三種不同語言表述橢圓的定義.（見表1）

設計意圖抽象橢圓的定義是本節課的重點也是難點.教師首先讓學生觀察三種不同方法得到橢圓，歸納共性，提升數學抽象與邏輯推理能力；其次讓學生類比探索圓的定義中的定點、定值的方法，探索橢圓定義中的定點定值，提升信息搜索與整理能力，也進一步培養學生解決動態問題時先找定點、定值的這種“動中求靜，變中求定”的意識；最后讓學生類比圓的定義給出橢圓定義，滲透類比思想，培養“借力”意識.抽象定義的環節是培養學生的知識獲取能力，提升學生的動手操作能力最佳時機.

表1：橢圓的定義

問題4是否存在點 M（x，y） 滿足下列條件，如果存在，點 M 的軌跡是什么？

（1） （20（2） （3） （2（4） （204號

師生活動5：學生獨立思考后，匯報答案.在這一過程中教師讓學生之間互相補充，互相點評，最后教師點評，并進一步規范作答.

結論（1）（2）點 M（x，y） 的軌跡是橢圓；（3）點 M（x，y） 的軌跡是線段；不存在滿足條件（4）的點M（x，y） ：

設計意圖 問題2是對橢圓定義的辨析.學生通過比較四個問題的聯系與區別，進一步理解橢圓的定義，促進學生的深度學習，學生的辯證思維能力與批判性思維能力得到發展.

追問：（1）（2）中橢圓的焦點坐標與參數 2a 分別是什么？師生活動6：學生思考并回答問題，教師進行點評反饋.

結論（1）中橢圓的焦點坐標分別為（-3，0），（3，0）；（2）中橢圓的焦點坐標分別為（0，-3），（0，3）；（1）（2）中參數 2a 都是10.

設計意圖進一步熟悉橢圓中的定點、定值與動點，以及三者之間的關系，明確橢圓上的任意一點到兩焦點的距離之和都等于同一個定值，培養形象思維能力，滲透數學結合思想.

5.3合作探究，建立方程

問題5 請根據橢圓的幾何特征： ∣MF₁∣+ ∣MF₂∣=2a ，令 |F₁F₂|=2c ，其中 2agt;2c. 選擇適當的坐標系，建立橢圓的方程.

師生活動7：教師提出問題，學生小組合作，完成任務，小組派代表匯報本組成果.

結論各小組匯報上來的答案有 （a²-c²）（x-c）²+a²y²=a²（a²-c²）; （204 （a²-c²）（x+c）²+a²y²=a⁴-a²c² （a²-c²）x²+a²y²=a²（a²-c²）;

設計意圖任務驅動，激發求知欲；把坐標系的選擇、方程的建立、方程的化簡等任務交給學生，學生進一步熟悉求軌跡方程的基本步驟，鍛煉動手操作能力，提升數學運算素養；培養學生從多個視角觀察、思考同一個問題的意識，提升辯證思維能力；學生靈活地、創造性地運用不同方法解決問題，提升發散思維能力.

追問1：以上答案都正確嗎？

學生1：都正確.

追問2：為什么會產生不同的答案？

學生2：選擇的坐標系不同造成的，

追問3：你認為怎樣選擇坐標系橢圓的方程形式最簡單？

學生3：以 F₁F₂ 所在直線為 x 軸，線段 F₁F₂ 的中垂線為 y 軸建立坐標系.

追問4：請“以 F₁F₂ 所在直線為 x 軸，線段 F₁F₂ 的中垂線為 y 軸建系”的小組派代表回答，你們為什么會選擇這種建系方式？

學生4：橢圓跟圓一樣，具有對稱性，在建立圓的標準方程時，考慮對稱性，以圓心為原點建系，所以 F₁F₂ 所在直線為 x 軸，線段 F₁F₂ 的中垂線為 y 軸建系，得到橢圓方程為 （a²-c²）x²+a²y²=a²（a²- c² ）.

追問5：觀察圖4，你能從中找出表示 Δ_a ，c ，以及 的線段嗎？

圖4

學生5： |PF₁|=

學生

結論令 ，則橢圓方程為 b²x²+ a²y²=a²b² ，進一步化簡得到方程 ① gt;bgt;0 ）.橢圓上任意一點 M（x，y） 的坐標都滿足方程 ① ，以方程 ① 的解為坐標的點都在橢圓上.

我們稱方程 ① 為橢圓的方程，因為焦點在坐標軸上，中心在原點，稱為橢圓的標準方程

追問6：如圖5，如果讓橢圓的焦點落在 y 軸上，即F₁（0，-c），F₂（0，c），a，b 意義不變，請同學們思考一下，橢圓的方程是什么？

學生7 bgt;0 ）

圖5

追問7：怎么這么快得到結論？

學生 7：x，y 根據圖形特征互換位置即可.

師生活動8：師生共同完成表二.

表二：橢圓的標準方程

追問8：請判斷方程為 3x²+4y²=1 的橢圓焦點在 x 軸上還是 y 軸上？

學生一起回答：在 x 軸上追問9：為什么？

學生8：方程可以化簡為 ，因為 ，所以

學生9：橢圓的方程類似于直線的截距式方程令 ，所以橢圓在 x 、y 軸上的截距分別為 因為 所以焦點在在 x 軸上.

結論對于方程 mx²+ny²=1 ，當 ngt;mgt;0 時，表示焦點在 x 軸上的橢圓；當 mgt;ngt;0 時，表示焦點在 y 軸上的橢圓;當 n=mgt;0 時，表示圓.

設計意圖 橢圓的標準方程的建立是本課時的重難點之一.教師通過問題鏈與任務單，讓學生體會根據橢圓的幾何特征優化橢圓方程；引導學生完善橢圓的標準方程，并進行辨析；引導學生從數與形另個不同的角度去判斷已知方程的橢圓的焦點位置；引導學生將直線中所學到知識與技能遷移到橢圓這一新問題情境中來.這一過程有效提升學生的實踐操作能力與思維認知能力.

5.4及時鞏固，熟練運用

例1已知橢圓 c 的焦點坐標分別為 F₁（-3 ，0）， F₂（3，0） ，點 是橢圓 C 上一點，求橢圓C 的標準方程.

師生活動9：教師給出例題，學生動腦思考，動手操作.

問題6 完成的同學可以說一下具體的思路

學生10：因為橢圓的焦點在 x 軸上，設橢圓的標準方程為 ，根據 a²-b²=9 ，并將點 ）代人，求得橢圓方程為+6

學生11： c=3 ，根據 2a=∣MF₁∣+∣MF₂∣=10 求得橢圓方程為

設計意圖 鞏固橢圓及其標準方程的概念，

5.5 梳理歸納，感悟本質

問題7 回顧本節課的學習，我們學習了哪些內容？用了哪些方法？

結論：

設計意圖組織學生聚焦核心問題進行梳理與反思，并將其轉化為后續學習目標和學習任務，促進學生深刻理解概念內涵，完善認知圖式，提升遷移能力；學生在反思過程中不斷完善、優化自身的認知結構，數學關鍵能力得到進一步提升.

6 目標檢測設計

題1設 F₁，F₂ 為橢圓 C 的兩個焦點，點 P 在 c 上，若 ，則 ∣PF₁∣ ：

A.1 B.2 C.4 D.5

設計意圖考查學生對橢圓的定義，以及標準方程中參數 ^a，b，c 的理解與掌握情況.

題2已知橢圓 C 過 試求橢圓 c 的標準方程

設計意圖 考查學生對求橢圓標準方程的方法的掌握水平.

題3在 ΔABC 中，邊 AB=2 ，且滿足 sinA+ sinB=2sinC ，求頂點 c 的軌跡方程

設計意圖 考查學生對橢圓定義的理解及思維的嚴謹性.

題4已知圓 C₁：（x+3）²+y²=1 ，圓 C₂：（x- 3）²+y²=64 ，動圓 c 與圓 C₁ 外切，與圓 C₂ 內切，試 判斷動圓圓心 C 的軌跡，并求出軌跡方程.

設計意圖 考查學生對橢圓定義的理解與求軌跡方程的基本步驟的掌握水平.

7.教學反思

7.1重視“過程”教學是培養知識獲取能力的有效途徑

在教學實踐中教師要讓學生經歷過程去索取結果，而不是向他們傳遞結果而消減過程.在數學概念、定義的教學中，注重通過“創設情境，類比已有概念的研究方法”等手段對概念與定義進行抽象與歸納過程.如本節課中讓學生觀察師生活動1，2，3中獲得的橢圓的幾何特征，類比圓的定義的歸納方法，抽象出橢圓的定義.重視數學公式與定理的獲取與推導的過程，如橢圓的標準方程的推導，學生經歷過，才有“觀察幾何特征，優化代數運算或表示”的意識等等.教師在平時的教學中足夠重視“過程”教學，學生的知識獲取能力才能得以提升，在解決較新型的問題如創新題等問題時才能快速且準確的理解題意.

7.2 重視學生的主體地位是增強實踐操作能力的主要途徑

在教學實踐中教師不再是知識的唯一傳遞者，而是引導者、合作者與評價者，學生才是學習的主體.課堂中教師把時間還給學生，讓學生通過獨立思考、自主探究及合作交流等方式獲得解決問題的思路；讓學生通過探索解題的不同路徑，提升運算素養與思維的靈活性等.如本節課中教師讓學生獨立思考，抽象概括橢圓的定義，而不是把橢圓的定義直接“塞”給學生；教師讓學生自已建立且完善橢圓的標準方程，而不是“代替”學生動腦、動手、動筆.教師教學中把課堂時間“還”給學生，就能讓學生養成自主動腦、動手、動筆的習慣，“增強學生的實踐操作能力”這句話才會得到落實.

7.3落實數學核心素養是發展思維認知能力的根本途徑

數學核心素養是指合理運用數學思維方法，有效整合數學相關知識，運用數學的相關能力，高質量的認識問題、分析問題解決問題的綜合品質.它是數學課程自標的集中體現，是具有數學基本特征的思維品質、關鍵能力以及情感、態度與價值觀的綜合體現.本節課中，學生從三個方法獲得的橢圓中尋找共性，歸納抽象橢圓的定義，培養數學抽象與邏輯推理素養；學生在建立橢圓的標準方程的過程中，提升數學運算素養等等.在教學實踐中教師需要通過不同的教學策略落實核心素養，學生的思維認知能力才能得到一定程度的發展.

參考文獻

[1]何正文.從思維角度剖析2024年數學高考卷［J].數理化解題研究，2024，（25）：75-81.