逆向思維，也稱為反向思維，是一種與常規思維方向相反的思考方式1.教學實踐中發現，在解答初中數學習題時，學生最常用的思維是正向思維，即從所給的條件出發進行運算、推理得出結果.但是當運用正向思維無法找到切人點，或者難度較大、過程較為繁瑣時，可以擺脫思維定式，嘗試著運用逆向思維分析，使得問題得以創造性地解決.

1逆向思維在初中數學解題中的體現

逆向思維較抽象，常在不同習題的解題過程中得以體現.其中的習題包括不等式習題、根式方程問題、一元二次方程以及二次函數問題等.逆向思維在初中數學解題中有著廣泛的應用，因具有一定的技巧性，對學生的分析、推理能力要求較高2.教學過程中，教師既要通過逆向思維知識的講解，提高學生對逆向思維的認識，又要結合具體教學內容，展示如何運用逆向思維解題，使學生體會逆向思維在解題中的作用，并給學生帶來一定的啟發，使學生把握運用逆向思維解題的思路，注意應用細節.

2逆向思維解答初中數學習題例析

2.1運用逆向思維解答不等式問題

不等式問題是初中數學中的常見問題.一般從題干入手進行分析，運用不等式的性質計算出結果.但是對于測試及中考等對解題效率要求比較高的情境，采用常規做法往往會耗費較長時間，可以結合題干創設的情境采用逆向思維求解，提高解題效率.

分析：該題為含有絕對值的不等式.采取常規思路，需要通過分類討論去掉絕對值號，計算較為繁瑣，而采用逆向思維可以減少計算量，迅速找到正確選項.解答時針對所給的四個選項，選取特殊值代入原不等式進行驗證.

解析：對于選項C，D，取 x=4 ，代入到原不等式計算得到 4gt;4 ，不成立，排除.對于選項A，B，取 x=2 代入到原不等式計算得到 2gt;8 ，不成立，故排除選項A，選擇選項B.

2.2運用逆向思維解答根式方程問題

初中數學涉及的方程類型較多，習題情境靈活多變.對于含有多個參數的方程，常規的解題思維是通過加減運算消元，減少未知數的個數.然而針對根式方程采用消元處理往往難以有效突破.針對這一情況，可以考慮采用逆向思維，通過引入新的參數，通過運算巧妙去掉根式，將根式方程問題轉化成一般的方程問題.

例2解方程：

分析：題中所給方程較為特殊，含有三次根式且只有一個未知數，無法繼續消元，并且采用兩邊立方的思路，計算繁瑣，難以求出最終結果.事實上，通過逆向思維巧妙換元，引入新的參數，對根式方程進行恒等變形，挖掘參數間的內部邏輯關系，化陌生為熟悉，可以迅速找到有效突破口.

解析：分別令 ，則原方程變為 a+b=3 ，且 a³+b³=9

例1 已知不等式 ，則其解集為（ ）.

A.xgt;4 或 xlt;3 B. xlt;0 或 σ_xgt;4 C.xgt;3 或 xlt;0 D.xgt;0 或 xlt;-4

于是，可得 a²-ab+b²=3 ，變形得到 （a+b）²-

3ab=3 ，可得 9-3ab=3 ，則 ab=2 ，即 a（3-a）=2 ，則

（204號 a²-3a+2=0 ，解得 a₁=1，a₂=2 ，則 或，?_a=2 .當 a=1 時， x=-4 ；當 a=2，x=3 b=1

綜上，原方程的解為 x=-4 或 x=3

2.3運用逆向思維解答二次方程問題

一元二次方程問題在初中數學中較為常見.一般給出具體的二次方程，要求運用求根公式、因式分解、配方法等求出方程的根或求解其他問題[3.但是對于在已知條件中沒有明確給出一元二次方程的情況，需要改變策略，采用逆向思維，從一元二次方程根與系數的關系入手，構造新的一元二次方程，將復雜的問題簡單化，運用一元二次方程知識順利解題.

例3已知 Φ_a，b 滿足 2a⁴-7a²+1=0，2b⁴-7b²+ 1=0 ，且 a≠b ，求 a⁴+b⁴ 的值.

分析：考慮到兩個方程形式相同，可以通過逆向思維構造方程求解.當然，由于不清楚 Ψ_a 和 -b 的關系，解答時需要分類討論，充分考慮符合題意的各種可能.

解析： ① 當 a=-b 時， a²=b² ，此時解關于 a² 的方程2a2-7a2+1=0，得到a2=？ ，則可得 a⁴+ 該種情境不難被想到，相對來說難度不大.② 當 a≠-b 時， a²≠b² .由已知條件容易得到 a² b² 是方程 2x²-7x+1=0 的兩個不等實根，則 a²+ ，則a2+b2=（a2+b2）2-2a262=

1 綜上可得， a⁴+b⁴ 的值為 或業

2.4運用逆向思維解答二次函數問題

初中數學中二次函數問題情境通常較為復雜，尤其是一些綜合類問題，難度大，常作為壓軸題出現在各類測試或中考中[4].其中有一些習題要求結合二次函數的圖象探究是否存在某一點或滿足某一情境、某一數量關系.解答該類問題時常運用逆向思維，通過假設，將要探究的問題作為條件進行逆向推理，看能否求出某一點、推理出某一情境或某一數量關系.

例4已知拋物線 y=ax²+bx+c 和 x 軸交于A（-1，0），B（3，0） 兩點，和 軸交于點 C（0，3） ，點 P 沿著拋物線運動.

（1）求拋物線的解析式.

（2）是否存在一點 P ，使得 ∠CAP=45^°？ 若存在，求出點 P 的坐標;若不存在，請說明理由.

分析：問題（1）難度不大，采用待定系數法求解.問題（2）由于點 P 究竟是否存在及具體坐標不知道，因此，采用常規的解題思路，難以有效切入，而采用逆向思維，假設存在這樣的一個點，將 ∠CAP=45^° 作為一個條件運用，進行逆推，看能否求出點 P ，可以迅速做出正確的判斷.

解析：（1）容易求得拋物線的解析式為 y=-x²+ 2x+3.（ 過程略.）

（2）根據題意畫出對應的圖形，如圖1，連接 AC ，過點 A 作直線 |AP| ，使得 ∠CAP=45^° ，過點 c 作 CD⊥AP 于點 D ，過點 D 作垂直于 x 軸的直線 ? ，與 x 軸交于點E ，過點 c 作 CF⊥l 于點 F

若 ∠CAP=45^° ，則 ΔACD 為等腰直角三角形，其中 AD=CD .由 ∠CDF+∠ADE= 90^° ∠DAE+∠ADE=90^° ，得 ∠CDF=∠DAE. 又∠CFD=∠DEA=90^° ，則 ΔAED?ΔDFC（AAS） ，則AE=DF ED=FC .設點 D（m，n） ，易得 m+1=3- n，m=n ，解得 m=n=1 ，則點 D（1，1） ，又點 A（-1，0） ，得直線 AP 的解析式為 .又 y=-x²+ 2x+3 ，則 （舍去），或 所以存在一點 使得 ∠CAP=45^°

3總結

逆向思維可以使解題過程變得簡單、高效，但是針對不同的習題，有不同的處理方法，這對學生而言是不小的挑戰.教學中，教師既要注重為學生展示逆向思維解題的整個過程，并通過互動幫助學生理解，又要通過布置作業習題、開展專題訓練等活動，進一步夯實學生運用逆向思維解題的能力，使學生親歷解題過程，從中獲得更深刻的感悟、更豐富的逆向思維解題經驗，提高逆向思維解題的靈活性，實現解題能力的穩步、有效提升.

參考文獻：

[1]佘望朝.逆向思維在初中數學解題中的應用探究[J].數學學習與研究，2024（25）：60-62.

[2張喆寧.初中數學教學中學生逆向思維能力的培養探究[J].數理天地（初中版），2024（14）：109-111.

[3]楊正祥.初中數學教學中逆向思維的培養路徑[J].亞太教育，2024（14）：23-25.

[4]施瑞.逆向思維在初中數學解題教學中的應用思考[J].試題與研究，2024（15）：55-57.