如何構造直角三角形求銳角三角函數值

求銳角三角函數值是《銳角三角函數》這一章節中的重要內容.求銳角三角函數值的方法比較多，如公式法、定義法、等角轉化法、構造法等.在解題過程中，需要根據相應的題設條件，靈活選用恰當的方法.下面以構造法為例，具體談談如何通過添加輔助線，巧妙構造直角三角形求銳角三角函數值，供同學們學習參考.

一、通過作垂線構造直角三角形求值

若題目要求三角形中某個角的銳角三角函數值，但所求銳角并不在直角三角形中，這就需要通過作輔助線來構造直角三角形.常見的作輔助線的方法是選取所求角的一邊上的某點向另一邊作垂線，將所求角置于該直角三角形中，再結合三角函數值的定義，即正弦值等于三角形的對邊與斜邊的比值，余弦值等于三角形的鄰邊與斜邊的比值，正切值等于三角形的對邊與鄰邊的比值來求解.

例1如圖1，已知 AD 為等腰三角形ABC底邊上的高，且tanB=4 ， AC 上有一點 E ，滿足 AE：EC=2：3 ，那么ta （20號

解析：如圖1，過點 E 作 EF⊥AD 交于點F.又AD⊥BC，所以 EF//CD 業

由于 AE：EC=2：3 ，

所以 AF：FD=（AD-FD）：FD=2：3

因為 AB=AC ，所以 ∠B=∠C

又因為 AD⊥BC 于點 D ，

所以

設 CD=3t ，則 AD=4t

又 .AF：FD=（AD-FD）：FD=2：3

所以 ，

因為 AF：AD=EF：CD=2：5 ，所以 在Rt△DEF中，tan∠ADE=EF=

說明：本題通過作垂線構造直角三角形DEF，然后利用等腰三角形的性質和三角形中位線的性質求得 EF，DF ，再根據正切函數的定義求正切值.

例2如圖2，在正方形網格中，小正方形的邊長均為1，點 A，B，O 都在格點上，則∠AOB 的正弦值是

解析：如圖2，過點 o 作 OE⊥AB 于 E ，過點A 作AC⊥OB于 C 由勾股定理，得 ， 因為 ， 所以

說明：本題以網格為背景，要求銳角三角函數值，可以利用網格線的垂直特征，通過作垂線構造非格點直角三角形 ΔACO ，再構造格點直角三角形 ΔAOE，ΔBOE ，間接求出△ACO的邊角關系，最后利用正弦函數的定義求解.

二、利用圓的性質構造直角三角形求值

若題目提供的背景是圓，要在圓中求銳角三角函數值，其解題方法通常是利用“直徑所對圓周角是直角\"的性質來連接線段，構造以直徑為斜邊的直角三角形，讓所求銳角置于直角三角形中.若該銳角仍不在直角三角形中，也可以利用“同弧（或等弧）所對的圓周角相等\"這一性質，將待求銳角轉移，使與之相等的角處在直角三角形中.然后分別求出三角形各邊的邊長，最后結合三角函數值的定義求得銳角三角函數值.

例3如圖3， ?o 是 ΔABC 的外接圓， AB 是 ?o 的直徑， I 為 ΔABC 的內心， AI 的延長線交 BC 于點 D ，若 OI⊥AD ，則 sin∠CAD 的值為

解析：如圖3，延長 AD 交 ?o 于 R ，連接BI，BR.

因為點1為 ΔABC 的內心，所以 ∠CAR=∠BAR ∠ABI=∠CBI. 因為 ∠CAR=∠CBR 所以 ∠RIB=∠IAB+∠IBA=∠CAR+∠CBI= ∠CBR+∠CBI=∠RBI 所以 RB=RI. 因為 AB 是 ?o 的直徑，所以 ∠BRA=90^° ，所以 ΔBRI 為等腰直角三角形.因為點 o 是 AB 中點， OI//BR 所以點 I 是 AR 的中點， OI 為 ΔABR 的中位線.設 OI=a ，則 BR=2a=IR=AI ，在 中，根據勾股定理得 ，

說明：本題中要求的 sin∠CAD ，無法以該角所在的兩邊構造直角三角形.通過轉移等角，將之轉化為求 sin∠BAR ，這樣就可以利用直徑為斜邊構造直角三角形，通過解這一直角三角形，進而求得 sin∠BAR 的值.

在求銳角三角函數值時，無論題目條件如何變化，根據條件合理添加輔助線構造直角三角形，將待求銳角或其等角置于直角三角形中進行求解，都是解答這類問題的重要方法.同學們在解題過程中要注意歸納和總結，積累解題經驗，以提高解答問題的能力.