數學思想在解答一次函數問題中的應用

一次函數是初中數學中的重要基礎性內容，而靈活運用數學思想則是高效解答一次函數問題的關鍵.無論是建模思想、數形結合思想還是分類討論思想，它們都能讓我們從不同角度理解問題，找到問題的最優解.本文將通過典型例題，探討如何運用這些數學思想，輕松應對有關一次函數的各類問題

一、運用建模思想解答一次函數問題

數學模型是將現實問題和數學問題相連接的重要一環.運用建模思想可以幫助同學們將所學的知識用于解決生活中的各種實際問題.在解題時，同學們首先要明確問題的實際背景和所求目標，將實際問題抽象為數學模型，利用一次函數性質，如斜率表示變化率、截距表示起始點等，對模型進行深人分析，理解函數變化趨勢，以及各參數對函數的影響.最后將求解結果代入到實際問題中，進行解釋和驗證，以求得最終結果

例1為了更好地預防流行性感冒，各地都開始使用消毒劑，其中南京的需求量為6噸，宿遷需求量為8噸，蘇州儲存量為10噸，揚州儲存量為4噸，現將這14噸消毒液調往南京和宿遷.消毒液在各地之間的運費價格見表1，如果想讓南京和宿遷的需求量都得到滿足，最低需要多少運費？

分析：設從蘇州運往南京的消毒液為 x 噸，所需運費為 y 元.借助表格可以將運輸問題轉化為數學問題，如表2所示.結合代數運算或圖象分析等方法，求解模型中的未知數.

解：根據題目信息以及表格可列方程式為：

y=60x+100（10-x）+35（6-x）+70（x-2）

化簡可得： y=-5x+1070 ：

根據題意能夠推出 x 的取值范圍為2?x?6 ，

根據函數方程式可以畫出函數圖象，如圖1所示.

此函數為遞減函數，所以 x 越大，則 y 越小，所以當 x=6 的時候， y 取得最小值1040

答：當從蘇州運到南京6噸消毒液的時候，所需要的運費價格最低，最低值為1040元.

點評：面對實際問題，同學們首先要運用建模思想，將實際問題抽象為一次函數或一次不等式等數學模型，從而利用函數的單調性來確定最優解.關于做決策的一次函數問題通常包括方程、不等式等多方面內容，同學們要靈活運用函數和不等式的性質計算得出自變量，從而選擇恰當的策略.

二、運用數形結合思想解答一次函數問題

數形結合思想的核心是將抽象的數學語言與直觀的圖形相結合，通過圖形的直觀性來揭示數學問題的本質，從而簡化解題過程，利用數形結合思想可以把函數圖象的性質和公式運算相結合，一次函數通常表示為y=kx+b （ k≠0 ，其中 k 為斜率， b 為截距，斜率 k 決定函數圖象的傾斜程度，截距 b 決定圖象與 y 軸的交點位置.通過將代數問題轉化為圖形特征，或通過計算驗證圖形結論，可以雙向結合簡化問題.

例2已知一次函數 y=kx+b （其中 k≠0 ）的圖象經過點（2，3）和點 （-1，-1） ，求該一次函數的表達式，并判斷該函數圖象是否經過點（0，1）.

分析：運用數形結合思想，將函數表達式轉化為圖形語言，結合題目給出的具體條件，利用圖形語言進行推理分析.首先在坐標系中繪制出函數圖象，通過觀察圖象的走勢、交點等信息，就可以直觀判斷圖象是否經過某個點.

解：根據題目條件，一次函數 y=kx+b 經過點（2，3）和點 （-1，-1） ，

因此可以建立方程組 5

利用消元法可以解出k=4

將k值代入方程組可以解出b=1 3因此該一次函數表達式為

根據已知點（2，3）和點 （-1，-1） ，可以在坐標系中繪制出這條直線，

如圖2所示，根據圖象可以看出，直線并未經過點（0，1）.

點評：在本題中運用數形結合思想，可以幫助同學們從圖形角度理解一次函數的圖象與性質，同時在坐標系中繪制函數圖象來直觀判斷，可以減少運算步驟，使解題過程更加高效.

三、運用分類討論思想解答一次函數問題

面對復雜的一次函數問題時，根據題目中的不同情況或條件，運用分類討論思想將其劃分為若干個子問題或類別，然后逐一進行分析和求解，可以簡化解題思路.與一次函數相關的問題中，有許多問題涉及的情形不唯一，需要分類討論.通常情況下，我們需要根據函數概念、函數性質、圖象位置等因素進行分類討論，避免漏解，最后再進行歸納總結，得出全面的答案.

例3已知一次函數 y=kx+b （其中 k≠ 0），當 2?x?5 時， 4≤y≤7 ，則 k+b=____.

分析：題目中給出了 x 和y的取值范圍，但是沒有明確 x 與 y 之間的對應關系，因此需要對這種不確定的情況展開討論.一次函數y=kx+b 的增減性是由 k 值決定的，題目中沒有明確說明 k 值為正還是為負，因此在分類討論時需要根據 k 的正負進行分類，這種分類方式可以判斷函數在坐標系中的增減趨勢.當 kgt;0 時，函數為增函數，意味著隨著 x 的增大， y 也增大；當 klt;0 時，函數為減函數，即 x 增大時，y減小.

解：當 klt;0 時， y=kx+b 為減函數，在 2?x?5 的區間內 x 越小 y 越大.

根據題目信息可以判斷當 x=2 時， y 取最大值7；當 x 等于5時， y 取最小值4.{2k+b=7 ，因此可聯立方程組，

解得 k=-1，b=9 ，此時 k+b=8

當 kgt;0 時， y=kx+b 為增函數，

在 2?x?5 的區間內 x 越小， y 越小.

根據題目信息可以判斷當 x=2 時， y 取最小值4;

當 x 等于5時， y 取最大值7.

因此可聯立方程組 {2k+b=4

解得 k=1，b=2 ，此時 k+b=3

綜上，當 klt;0 時， k+b=8 ；當 kgt;0 時， k+b=3.

點評：當對象無法統一處理時，需要根據不同的情況進行分類討論.本題根據一次函數的斜率 k 的正負性，將問題劃分為兩個子問題 kgt;0 和 klt;0 ，然后考慮函數在給定區間2?x?5 上的增減性，從而設立不同方程組求解 k+b 的值.

總之，在解答一次函數問題時，運用建模思想可以將實際問題轉化為簡單的數學問題.運用數形結合思想可以借助函數圖象提高解題效率.運用分類討論思想可以更全面地思考問題避免疏漏.根據不同的問題運用不同的數學思想，可以讓抽象的數學知識更加直觀易懂，易于理解，多種解題方法也可以幫助同學們擴展思維，提高解答復雜問題的能力.