可以用分數表示根號2嗎?

我們知道無理數是指無限不循環小數或者是不能寫成分數形式的數，比如數學中常用的 .現在人們已經對無理數 習以為常，但鮮為人知的是，數學家們在承認無理數存在的同時，仍一直在探索用分數形式表示無理數的可能.所謂功夫不負有心人，一直到16世紀，意大利數學家邦別利（RafaclBombclli，1525～1650） 在其著作《代數》中，第一個用連分數表示了2的平方根

為求 的近似值，他首先寫出 則 ， 由此可得 ，將 ① 代人 ② 得 由 ①③ 可得 再把③代人④得√2=1+2+ 如此這般一直繼續下去，就得到

至此，邦別利如愿用連分數的形式表示出了 .這個連分數雖然含有無限過程，但形式看起來卻異常簡潔優美：分子整齊劃一（全為1），分母循環往復.

利用 ⑤ 式可求出 各種精度的近似值比如：

注意到 _{7+5=12，5×2+7=17}

注意到 17+12=29，12×2+17=41 ，1.414285… ，注意到 41+29=70，29×2+41=99

仔細觀察上面精度逐步遞增的 的分數結果，可以發現其中蘊含的規律：只要將前一個分數的分子與分母相加，作為新分數的分母，將上一個分數的分母的2倍與分子相加，作為新分數的分子，就可以得到下一個更高精度的 的值.

1.414201… 由此可見，只要我們愿意或需要，按照這個思路可以求出越來越精確的 的值.