怎樣解答兩類與直角三角形有關的問題

直角三角形是一類特殊的三角形，其中一個內角為 90^° ，另外兩個內角之和為 90^° ，且三邊長成勾股數.因此，在解答與直角三角形有關的問題時，要從直角三角形的邊、角入手來建立幾何關系和代數關系式，從而求得問題的答案.下面主要探討一下兩類與直角三角形有關的問題的解法

一、求直角三角形的邊長問題

在求直角三角形的邊長時，我們要根據題目中的已知條件及圖形的特征靈活運用直角三角形的重要性質：（1）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半；（2） 30^° 角所對的直角邊等于斜邊的一半；（3）含 45^° 角的直角三角形是等腰直角三角形，斜邊上的高等于斜邊的一半；（4）勾股定理：兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方，即 a²+b²=c² ，建立有關三條邊的關系式，即可求得直角三角形的邊長.

例1如圖1，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^° AC=8，BC=6 ，將邊 BC 沿 CN 折疊，使點 B 落在 AB 上的點 B^′ 處，再將邊 AC 沿 CM 折疊，使點 A 落在 CB^′ 的延長線上的點 A^′ 處，兩條折痕與斜邊 AB 分別交于點 N，M ，則線段A^′M 的長為.

解析： ∠ACB=90^°，AC=8，BC=6 ， ， 由勾股定理可得 由折疊圖形的性質可知 AM=A^′M ∠BCN=∠B^′CN，∠ACM=∠A^′CM = ?∠BCN+∠B^′CN+∠ACM+∠A^′CM=90^° ∴∠B^′CN+∠A^′CM=45^° ∴∠MCN=45^° 又CN⊥AB，：.∠NMC=∠NCM=45° （2 ：本題選B項.

說明：解答本題，需靈活運用折疊圖形的性質找出對應且相等的邊、角，然后運用勾股定理、三角形的面積公式建立關于邊的關系式，即可求得線段 A^′M 的長.

二、求直角三角形內角的度數問題

求直角三角形內角度數的問題比較常見.解答這類問題，需靈活運用（1）三角形內角和定理，即三角形三個內角和等于 180^° ·（2）直角三角形兩銳角互余；（3）直角三角形中， 30^° 角所對的直角邊等于斜邊的一半；（4）等腰直角三角形的兩個銳角為 45^° ，來建立關于直角三角形的內角之間的關系，進而求得直角三角形內角的度數.

例2如圖2，在 RtΔABC 中， ∠ACB=90^°

AC=3，BC=1 ，將 ΔABC 繞點 A 逆時針方向旋轉 90^°"，得到 ΔAB^′C^′".連接 BB^′"，求 ∠ABB^′"的度數.

解析： ∠ACB=90^°"， AC=3 ， BC=1 ，""， 將 ΔABC 繞點 A 逆時針方向旋轉 90^°"得到 ΔAB^′C^′"，

∴"，

而 ∠BAB^′=90^°"，

∴ ΔABB^′"是等腰直角三角形，

∴∠ABB^′=45^°"·

說明：我們需先利用勾股定理求得""再根據旋轉圖形的性質可證 ΔABB^′"是等腰直角三角形，即可求得 ∠ABB^′"的度數.

總之，解答與直角三角形有關的問題，不僅要靈活運用直角三角形的性質、三角形內角和定理、勾股定理等，還需借助數形結合思想來輔助解題.這樣才能讓解題更高效.