“平行線+拐點(diǎn)”生成的幾種模型及其結(jié)論探析

“平行線 + 拐點(diǎn)\"能構(gòu)成很多模型，如\"豬蹄\"模型、“鉛筆頭\"模型、“鷹嘴\"模型等.每個(gè)模型都能推導(dǎo)出關(guān)于角之間的關(guān)系的結(jié)論這些結(jié)論在解答平行線與相交線中有關(guān)角的計(jì)算或證明問題時(shí)能起到化繁為簡(jiǎn)、事半功倍的效果.下面結(jié)合例題，具體介紹這幾種模型及其結(jié)論.

一、“豬蹄”模型

已知直線 AM//BN，P 為兩平行線內(nèi)一點(diǎn)，如圖1，連接 AP，BP ，則 ∠A，∠B，∠APB 形成“豬蹄”模型，它們之間存在的關(guān)系為∠APB=∠A+∠B

證明：如圖1，過點(diǎn) P 作 PQ//AM

因?yàn)?PQ//AM，AM//BN. （2

所以PQ//AM//BN，

所以 ∠A=∠APQ，∠B=∠BPQ

所以 ∠A+∠B=∠APQ+∠BPQ=∠APB

即 ∠APB=∠A+∠B

“豬蹄”模型是一種靈活的幾何分析工具.它通過拐點(diǎn)將圖形分割為多個(gè)部分，以便于逐段分析.當(dāng)題目中出現(xiàn)平行線被折線截?cái)鄷r(shí)，可通過拐點(diǎn)模型快速建立角之間的關(guān)系.若題目中無平行線，可通過添加平行線構(gòu)造\"豬蹄\"模型，然后利用平行線的性質(zhì)（如同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角）推導(dǎo)角度關(guān)系，從而將復(fù)雜問題分解為更易處理的不同部分，

A B --H α

D -x+C MAB-_N

E- F

例1如圖 2，AB//EF ，用含 α_α，β，γ 的式子表示 x 為

解析：如圖2，過點(diǎn) C 作 CD//AB ，過點(diǎn)M作 MN//AB ，延長(zhǎng) AB 至點(diǎn) H.

因?yàn)?MN//AB ，由“豬蹄”模型的結(jié)論可知， x=∠HBC+∠CMN.

因?yàn)?AB//EF ，所以 AB//CD//MN//EF 所以 ∠NMF=∠MFE=γ ·

又 ∠HBC=180^°-α ， ∠CMN=β-∠NMF= β-γ ，

所以 x=∠HBC+∠CMN=180^°-α+β-γ

點(diǎn)評(píng)：本題雖然看起來沒有“豬蹄”模型，但是通過延長(zhǎng)射線和作平行線，即可將這一模型顯性化，然后利用它的結(jié)論解題.因此，作輔助線構(gòu)造模型是解題的關(guān)鍵，常作的輔助線是平行線.

二、“鉛筆頭\"模型

已知直線 AM//BN，P 為兩平行線內(nèi)一點(diǎn)，如圖3，連接 AP，BP ，則 ∠A，∠B，∠APB 形成“鉛筆頭”模型，它們之間存在的關(guān)系為∠A+∠B+∠APB=360^°

證明：如圖3，過點(diǎn) P 作 PQ//AM. 因?yàn)?PQ//AM，AM//BN. （24號(hào)所以 PQ//AM//BN ，所以 ∠A+∠APQ=180^° ∠B+∠BPQ=180^° ，所以 ∠A+∠B+∠APQ+∠BPQ=∠A+∠B+ ∠APB=360^°

“鉛筆頭”模型是指多條折線在平行線外側(cè)匯聚于一點(diǎn)，形狀類似鉛筆的尖端.它在平行線、相交線的相關(guān)習(xí)題中出現(xiàn)的頻率較高該模型通過幾何對(duì)稱性可以簡(jiǎn)化復(fù)雜的角度計(jì)算，與“豬蹄”模型的區(qū)別在于外拐角與內(nèi)拐角，對(duì)于復(fù)雜問題常常需要聯(lián)合使用這兩種模型的結(jié)論來解題，

例2如圖 4，AB//CD ，若 ∠ABE 與 ∠CDE 的角平分線相交于點(diǎn) F ，作 BM，DM ，使得 寫出 ∠M 與 ∠E 之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

解析：由“鉛筆頭”模型ABEDC可知，∠ABE+∠E+∠EDC=360^°.

由“豬蹄”模型ABFDC可知，

∠BFD=∠ABF+∠FDC.

由“豬蹄”模型ABMDC可知，

∠M=∠ABM+∠CDM

點(diǎn)評(píng)：本題借助“鉛筆頭”模型和“豬蹄”模型中關(guān)于角的關(guān)系的結(jié)論，搭建起了各個(gè)角之間的“橋梁”，從而順利構(gòu)建了 ∠M 與 ∠E 的關(guān)系.

三、“鷹嘴”模型

已知直線 AM//BN，P 為兩平行線外一點(diǎn)，連接 AP，BP ，如圖5，則 ∠A，∠B，∠APB 形成“鷹嘴”模型.它們之間存在的關(guān)系為 ∠B= ∠A+∠APB

證明：如圖5，過點(diǎn) P 作 PQ//AM

因?yàn)镻Q//AM，AM//BN.

所以 PQ//AM//BN

所以 ∠A+∠APQ=180^° ∠B+∠BPQ=180^° 所以 ∠A+∠APQ=∠B+∠BPQ 業(yè)

又 ∠APQ=∠BPQ+∠APB

所以 ∠B=∠A+∠APB

“鷹嘴”模型也是典型模型之一，適用于非對(duì)稱折線問題，是“豬蹄\"模型和“鉛筆頭”模型的重要補(bǔ)充.通過構(gòu)建“鷹嘴”模型，我們可以更直觀地理解角的分布和變化，得出角的和與差的關(guān)系，從而將復(fù)雜的多平行線角度問題轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的代數(shù)運(yùn)算.在系統(tǒng)學(xué)習(xí)三角形之前若能有效運(yùn)用“鷹嘴\"模型的基本結(jié)論，能讓這類角度問題化難為易.

例3如圖6，已知 AB//CD ，點(diǎn) P，Q 分別 是直線 AB，CD 上兩點(diǎn)，點(diǎn) G 在兩平行線之間， 連接 PG，QG 點(diǎn) E 是直線 CD 下方一點(diǎn)，連接 EP，EQ ，且 GQ 的延長(zhǎng)線平分 ∠COE，PE 平分 ∠APG ，若 2∠PEQ+∠PGQ=90^° ，則 ∠CQE 的度 數(shù)是

解析：設(shè) ∠CQF=x，∠APE=y

則 ∠CQE=2x，∠APG=2y，∠CQG=180^°-x 業(yè)

因?yàn)?AB//CD ，

由“鉛筆頭\"模型APGQC可知，

∠APG+∠PGQ+∠CQG=360^°

即 2y+∠PGQ+180^°-x=360^°"，

所以 ∠PGQ=180^°-2y+x. （204號(hào)

由“鷹嘴”模型APEQC可知，

∠PEQ+∠CQE=∠APE ，即 ∠PEQ=y-2x

又 2∠PEQ+∠PGQ=90^°

所以 2（y-2x）+180^°-2y+x=90^°

解得 x=30^°"：

所以 ∠CQE=2x=60^°

點(diǎn)評(píng)：本題聯(lián)合使用“鷹嘴”模型和“鉛筆頭”模型的有關(guān)結(jié)論，建立了角之間的關(guān)系.通過設(shè)未知數(shù)表示某些角，便于角之間的轉(zhuǎn)化，從而簡(jiǎn)化解題過程.

在復(fù)雜的幾何構(gòu)圖中，有時(shí)這些模型是隱蔽的，我們就要通過添加平行線、延長(zhǎng)線段、連接兩點(diǎn)等作輔助線的方式，讓模型顯現(xiàn).總之，無論“平行線 + 拐點(diǎn)”生成的是哪種模型，我們都要緊扣模型的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)，運(yùn)用相應(yīng)的結(jié)論實(shí)現(xiàn)快速解題。