數學之美 文化之韻

平均數是人教版數學四年級下冊第八單元“平均數與條形統計圖”的一個內容。從小學階段整個知識體系來看，“平均數”屬于“統計與概率”領域的內容，也是小學數學教學中滲透統計思想的主要體現之一，這一學段的目標是理解平均數的意義、會用平均數解決問題，形成初步的“數據意識”。本文依據《義務教育數學課程標準（2022年版）》中“繼承和弘揚中華優秀傳統文化”，定位從統計學的角度，結合我國古代數學著作《九章算術》“方田章”中的內容入手來教學和理解平均數，通過對平均數的特點的探索，將平均數的知識應用到解決問題中，依據學生已有的認知基礎實現從統計概念的角度理解平均數的意義，感受數學知識與中華優秀傳統文化相融合的魅力。

一、說平均數的意義

平均數是代表一組數據的整體水平，它不同于原始數據中的每一個數據，與每一個原始數據相關，但是又不是任何一個真實的數據。要對兩組數據的整體水平進行比較，就可以比較這兩組數據的平均數，因為平均數具有良好的代表性，不僅便于比較，而且公平。在本節課導人部分的問題——每人投10個球的投籃挑戰賽，簡單且易于引發學生對平均數的“代表性”的思考：是用一個人投籃投中的最多個數還是最少個數來代表整體水平，還是用幾人投籃的總數來代表整體水平呢？或是找到某一個數來代表整體水平呢？

教學片段：

師：最近我們學校的籃球賽正在如火如茶地進行中，為了組建最強戰隊，我們班的男生和女生開展了投籃挑戰賽，規則—每人投10次。一起來看看他們的比賽結果：從這兩幅條形圖里，你知道了哪些數學信息？

出示下圖：

生1：我知道了男生隊有3人，分別投了8、8、7個，女生隊有4人，分別投了8、7、4、9個。

師：你發現了每個人實際投球的個數，還有補充嗎？

生2：男生隊一共投了21個，女生隊一共投了28個，女生 投球數更多。

師：你知道了總個數，那根據這些信息比一比，哪一隊更厲害？為什么？

師：為什么不能比較兩隊的總數？

生3：因為人數不同。

師：孩子們，你們真善于觀察，人數不相等的情況下我們來比較兩隊的總個數公平嗎？是啊，不公平，那我們把兩隊成績最好的挑出來比一比，男生隊8個，女生隊9個，女生隊更厲害，你認為這種比法怎么樣？

生4：一個人不能代表一個隊。

師：你說得特別有道理，一個人的成績不能代表一個團隊的整體成績，那到底哪個數才能代表一個隊的整體水平呢？

生5：平均數。

二、說平均數的特點

區間性，根據投籃的例題，平均數說了他在最大最小數之間；通過一個小程序，平均數說了他的敏感性，會受較大或較小數的影響。男生隊的平均數有時會出現小數，而小數不能用來代表男生投籃的具體個數，從而感知平均數的虛擬性。

教學片段：

師：不計算，估一估這組數據的平均數是多少？生1：我估計是6。

生2：我估7。

師：為什么不估4？為什么不估9？

生3：因為4太小了，9太大了。

師：說得太好了，9是這組數據中的最大數，4是這組數據中的最小數，所以不能估。計算驗證一下。

小結：這樣看來，平均數在這組數據的最大數和最小數之間，它是有一定的區間范圍的。通過探究，你們又發現

教學縱橫

了平均數的區間性。

師：真是難不倒你們啊，現在結束了第一輪比賽，你發現了什么？

生：兩個隊的平均數相同，不知道誰厲害。

師：是的，沒有分出勝負，我們班的男生跟你們一樣敢于挑戰，不服氣，想比一次。于是派出了4號男生出征，你們猜猜4號男生會投中幾個？

生1：投中10個。

師：看來你認為4號男生很厲害，如果投中10個，平均數會不會變？怎么變？

生2：平均數會變大。（Excel演示平均數的變化）

師：再猜一猜還可能投中幾個？生3：7個。

師：那此時平均數又會怎么變化？假如4號男生只投了1個呢？

生：如果是7，平均數不變。只投1個，平均數會變小。

師：根據剛才的過程，說說你的感受。

生：平均數會隨著其中一個人的數變大或變小。如果增加的數字很大，它就會變大；如果增加的數字很小，它也會被拉低。

師：沒錯，孩子們，平均數好善變啊，從它的善變中我們能感受到它十分敏感。這體現他的敏感性。除此以外，你還有什么發現？

生：我發現有時平均數是一個小數，這不可能。投球個數不會是小數。

師：你太會思考了，平均數是我們為了勻一勻而創造出的一個虛擬的數。所以他還具有虛擬性。

三、說平均數的計算模型

移多補少的操作模型和求和均分的計算模型。學生通過自主探究發現了兩種求平均數的方法。先通過畫圖體會移多補少的過程，再利用教具展示，進一步感受勻一勻后找到一個相同的數就是這組數據的平均數。但是遇到更大的數據時，移多補少還方便嗎？那就采用求和均分的方法。

教學片段：

活動：感知平均數，形成表象。

學習任務：1．用你喜歡的方式找到一個能表示男生隊投球水平的數。（畫一畫、移一移或算一算）

2.和同桌說一說你的想法。

生1匯報：

方法1：移一移，把8里的1給5，第二個8的1也給5，三次都是7，所以男生隊平均每次投中了7個。

師：為什么要這樣移來移去？

生：我想使得每份同樣多。

師：在移動過程中，什么沒變？

生：總數沒有變，人數也沒變。

師：那什么變了？

生：每份的個數變了。

師：沒錯，像這樣在小組內部成員之間勻一勻平衡一下，看上去每份都同樣多。將一組數據中多的移給少的，你給這個方法取個名字。

生：拆東墻補西墻。

師：生活中可以這么理解，在數學上我們叫移多補少。

師：請問在計算男生隊平均投球數時，除了移多補少，你還有什么方法？

方法2： （8+8+5）÷3=7 （個）。

師：你是怎么想的？為什么要除以3？

小結：先求總數，再除以份數的方法叫作先總再分。7就是8、8、5的平均數。

四、說平均數的統計價值

平均數的統計意識，通過分析做出決策。生活中的平均數，如美團美食評分、攜程旅行酒店評分、景點評分等都可以為我們提供參考。電影評分對觀眾選擇的影響和引導，讓學生在應用中感受平均數的比較性價值和預測性價值。同時，我們也要讓學生知道平均數給出的是一個評價標準，并不是做出判斷和決策的唯一標準，以此培養學生的思辨能力。

教學片段：

師：生活中還有許多平均數，我們一起看一看。根據這些平均數你知道了什么？

生：根據這些評分我們可以參考著選擇想看的書籍、電影，出去旅游時也為我們提供了許多參考意見。

師：是的，孩子們，生活中的平均數是無處不在的。

五、說平均數中的中華優秀傳統文化

《九章算術》作為中華文明的瑰寶，是古代數學家智慧的結晶，也是中華民族優秀傳統文化的重要組成部分。《九章算術》“方田章”中的數學問題涉及分數的計算與比較，以及通過“減多益少”等方法實現平均分配，這為學生提供了學習平均數概念的實例和途徑，課堂教學中教師再現古代對“平分術”問題探索的過程，有助于學生理解平均數的概念和計算方法，同時培養邏輯思維和問題解決能力，有助于增強文化自信，傳承和弘揚中華優秀傳統文化。

教學片段：

師：通過巧妙地移多補少的方法，我們順利地找到了男生隊的平均投球個數，其實早在很多年前，我國的九章算術中就已經提到過這種方法，誰能模仿著古人的語氣為我們讀一讀這段文字？

生：“方田章”：今有三分之一，三分之二，四分之三。問：減多益少，各幾何而平？

師：讀得太有感情了，同學們都讀懂了嗎？這是什么意思？配著動圖仔細觀察，現在看懂用了什么方法了嗎？

生：減多益少就是移多補少。

師：沒錯，減多益少就是移多補少，看來我們和古人想到一塊去了。雖然這里勻的是分數，但思想是一樣的。

結語：

平均數一課的教學改以往“純”數學味為“重”數學味，且“融入”中華優秀傳統的文化味，讓平均數通過“說話”，將整節課的教學內容和思路展示出來。

中華優秀文化融人數學教學并不是簡單的一個歷史故事引人、一段史料的介紹，而是我們在教學數學知識的過程中將古代探索知識的情境再現，通過體驗古代數學家探索知識的過程，對話和模仿古人解決問題的思維模式，使學生在數學學習的過程中感受古代數學家的智慧，增強文化自信和民族自豪感，做我國優秀傳統文化的傳承者。

【注：本文系昆明市教育科學規劃課題“中華優秀傳統文化融入小學數學教學的實踐研究”（項目編號：JG2024007）階段性成果】