運(yùn)用完全平方式破解幾何圖形難題

摘要：完全平方式是初中數(shù)學(xué)的重要知識(shí)點(diǎn)，用于解決幾何圖形難題中，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，提高解題效率.教學(xué)中，教師應(yīng)結(jié)合學(xué)情，做好經(jīng)典幾何圖形難題的篩選、講解，使學(xué)生掌握運(yùn)用完全平方式解決不同幾何圖形難題的思路，指引其以后更為高效地解決相關(guān)問(wèn)題，提高解題自信.

關(guān)鍵詞：初中數(shù)學(xué)；完全平方式；幾何圖形；難題

完全平方式的形式為（a+b）2=a2+2ab+b2和（a-b）2=a2-2ab+b2，內(nèi)容不難記憶.但是如何靈活用于解題并非易事，一方面，需要厘清各項(xiàng)的關(guān)系，能夠快速進(jìn)行正向和逆向推理；另一方面，要能夠根據(jù)實(shí)際情況將公式與幾何圖形中的參數(shù)對(duì)應(yīng)起來(lái)，從幾何視角對(duì)完全平方式有更深的認(rèn)識(shí)與理解.初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師既要通過(guò)提問(wèn)及時(shí)跟蹤學(xué)生的學(xué)習(xí)與理解情況，又要與學(xué)生一起進(jìn)行相關(guān)難題的剖析，啟發(fā)學(xué)生活學(xué)活用.

1 求面積

求幾何圖形的面積是學(xué)生學(xué)習(xí)中常見(jiàn)的問(wèn)題，主要依據(jù)對(duì)應(yīng)幾何圖形的面積計(jì)算公式[1].但是部分習(xí)題考查的重點(diǎn)并非簡(jiǎn)單的數(shù)字運(yùn)算，而是給出字母，要求運(yùn)用完全平方式、勾股定理等內(nèi)容進(jìn)行運(yùn)算，考查的知識(shí)面廣.一些習(xí)題還需要設(shè)出參數(shù)，具有一定的難度與技巧.

例1一個(gè)直角三角形可以分割成一個(gè)正方形和兩對(duì)全等的直角三角形，圖1所示的長(zhǎng)方形就是由兩個(gè)這樣的圖形拼成的，若AB=m，AC=n（m，n為常數(shù)，且mlt;n），則該長(zhǎng)方形的面積是.（用含有m，n的代數(shù)式表示）

分析：解答該題需要認(rèn)真讀圖，明確圖中線段之間的關(guān)系，設(shè)出對(duì)應(yīng)參數(shù)，表示出長(zhǎng)方形面積的表達(dá)式，而后運(yùn)用勾股定理、完全平方式進(jìn)行計(jì)算.

解析：根據(jù)題意，設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為x.圖1由兩個(gè)大的直角三角形構(gòu)成，每個(gè)直角三角形的斜邊為m+n，兩條直角邊分別為m+x，n+x.問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求（m+x）（n+x）的值.

顯然，由勾股定理可得

（m+n）2=（m+x）2+（n+x）2.①

由m－n=（m+x）－（n+x），得（m－n）2=［（m+x）－（n+x）］2，于是（m－n）2=（m+x）2－2（m+x）（n+x）+（n+x）2.將①代入等式右邊，可得（m－n）2=（m+n）2－2（m+x）（n+x），即m2－2mn+n2=m2+2mn+n2－2（m+x）（n+x），整理得（m+x）（n+x）=2mn，即長(zhǎng)方形的面積為2mn.

2 求線段長(zhǎng)

在幾何圖形問(wèn)題中，求線段長(zhǎng)度問(wèn)題較常見(jiàn)，因問(wèn)題情境的復(fù)雜性，決定了在求解的過(guò)程中需要應(yīng)用不同的思路、方法[2].一般可以通過(guò)線段的等量代換，借助銳角三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算.然而部分問(wèn)題則需要通過(guò)構(gòu)造方程來(lái)求解.構(gòu)造方程的常見(jiàn)思路有：根據(jù)勾股定理構(gòu)造方程、根據(jù)面積間的關(guān)系構(gòu)造方程、根據(jù)完全平方式構(gòu)造方程.

例2如圖2，在△ABC中，∠ACB=90°，以△ABC的各邊為邊作三個(gè)正方形，點(diǎn)G落在HI上，若AC+BC=6，空白部分面積為10.5，則AB的長(zhǎng)為（）.

A.26 B.20 C.19 D.18

分析：通過(guò)分析已知條件、證明三角形全等，明確△ABC和四邊形FNCM面積的相等關(guān)系，結(jié)合空白部分的面積列出對(duì)應(yīng)的關(guān)系式.同時(shí)，借助勾股定理、完全平方式，列出另一等式，最終通過(guò)聯(lián)立求出AB的長(zhǎng).

解析：由四邊形ABGF，ACED，BCHI均為正方形，可得∠FAB=∠F=∠ACB=90°，AF=AB，∠FAC+∠BAC=∠BAC+∠ABC=90°，則∠FAC=∠ABC.易得△FAM≌△ABN（ASA），所以S△FAM=S△ABN，即S△ABC=S四邊形FNCM.

由空白部分面積為10.5，可得S空白=S正方形ABGF－S四邊形FNCM－S△ABC=AB2－2S△ABC=10.5，即

AB2－AC·BC=10.5.②

在Rt△ACB中，由勾股定理可得AC2+BC2=AB2.由AC+BC=6，得（AC+BC）2=AC2+BC2+2AC·BC=36，即

AB2+2AC·BC=36.③

將②③聯(lián)立解得3AB2=57，則AB=19或者AB=－19（負(fù)值舍去）.故選：C.

3 求最值

在幾何圖形中求最值，一般需要結(jié)合圖形，通過(guò)三角形、圓的性質(zhì)進(jìn)行分析、計(jì)算出結(jié)果[3].部分習(xí)題需要對(duì)要求解的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化，通過(guò)勾股定理構(gòu)造出二次函數(shù)，借助二次函數(shù)的性質(zhì)求解.

例3如圖3，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，E是對(duì)角線AC上任意一點(diǎn)，將正方形繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°以后，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為E′，則點(diǎn)B到線段EE′距離的最小值為（）.

A.1B.2C.3D.2

分析：根據(jù)題干描述畫(huà)出對(duì)應(yīng)的圖形，根據(jù)正方形及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)對(duì)要求解的問(wèn)題進(jìn)行轉(zhuǎn)化.設(shè)AE的長(zhǎng)為x，表示出AE′，借助勾股定理構(gòu)造方程，運(yùn)用完全平方式展開(kāi)，最終借助二次函數(shù)的性質(zhì)求出結(jié)果.

解析：連接BE，BE′，EE′，如圖4.

由正方形及旋轉(zhuǎn)性質(zhì)容易得到AE=A′E′，△BEE′是等腰直角三角形，且∠A′AC=90°.過(guò)點(diǎn)B作BM⊥EE′于點(diǎn)M，則BM=12EE′.要求BM的最小值，只需求EE′的最小值.

由四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為4的正方形，得AC=42+42=42.設(shè)AE=x，則AE′=CE=42－x.在Rt△AEE′中，由勾股定理可得EE′2=AE2+AE′2=x2+（42－x）2=x2+32－82x+x2=2（x－22）2+16.由二次函數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)x=22時(shí)，EE′2有最小值16，此時(shí)EE′=4，則BM=2，即點(diǎn)B到線段EE′距離的最小值為2.故選：D.

4 其他問(wèn)題

完全平方式在初中數(shù)學(xué)解題中有廣泛的應(yīng)用場(chǎng)景.部分習(xí)題考查的知識(shí)較零碎，涉及面廣.解答該類(lèi)問(wèn)題，既要運(yùn)用已知條件，認(rèn)真觀察圖形，又要聯(lián)系相關(guān)的解題經(jīng)驗(yàn)，尋找解題切入點(diǎn)，尤其要注意構(gòu)造完全平方式，確定線段的長(zhǎng)度范圍.

例4如圖5所示，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠BCD=90°，分別以四邊形ABCD的四條邊為邊向外作四個(gè)正方形，面積分別為a，b，c，d，且clt;alt;dlt;b，若a=2，b+c=12，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（）.

A.d=10

B.BD2=12

C.四邊形ABCD的面積是24

D.ADlt;BC

分析：該題難度不大，考查的知識(shí)點(diǎn)有三角形的三邊關(guān)系、勾股定理、幾何圖形的面積求法等，其中構(gòu)造完全平方式，確定線段長(zhǎng)度的取值范圍是解題的關(guān)鍵.

解析：由題意可得b=BC2，d=AD2.又dlt;b，則ADlt;BC，所以選項(xiàng)D正確.

在Rt△ABD與Rt△BCD中，由勾股定理可得BD2=AB2+AD2，BD2=DC2+BC2.又a=AB2，c=CD2，則BD2=a+d=c+b=12.又a=2，則d=10，所以選項(xiàng)A，B均正確.

由bgt;c，得（b－c）2gt;0，展開(kāi)得到b－2bc+c=12－2bc≥0，即bc≤6.又a=2，d=10，同理可得adlt;6.又S四邊形ABCD=S△ABD+S△BCD=12ad+12bclt;6≠24，所以選項(xiàng)C錯(cuò)誤.

故選：C.

總之，借助完全平方式可以解決很多幾何圖形難題.但是考慮到一些習(xí)題較抽象，設(shè)問(wèn)角度新穎，為更好地找到突破口，應(yīng)具體問(wèn)題具體分析，注重作出輔助線，理順線段、角度關(guān)系，必要情況下可證明三角形全等、三角形相似，為更好地運(yùn)用完全平方式解題奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ).

參考文獻(xiàn)：

[1]郭園園，趙祥.數(shù)形結(jié)合在初中數(shù)學(xué)代數(shù)類(lèi)解題中的妙用——以一道完全平方式的幾何背景題為例[J].數(shù)理天地（初中版），2024（20）：4647.

[2]彭渭榮.例談構(gòu)建多元化課堂教學(xué)——以“完全平方公式”教學(xué)為例[J].中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2023（21）：1819.

[3]王小學(xué).巧用完全平方式克“難題”[J].中學(xué)生數(shù)理化（八年級(jí)數(shù)學(xué)）（配合人教社教材），2023（Z1）：50.