融入歸納思想的三類規律探索試題特征及解題路徑分析

摘要：文章從數式規律探索中的猜想歸納思想、圖案規律探索中的猜想歸納思想、點的坐標中的猜想歸納思想三個方面探究歸納思想的考查路徑及考查特征，并提出解題路徑.

關鍵詞：初中數學；歸納思想；解題路徑

1 數式規律探索中的猜想歸納思想

觀察下列運算：

（1）由（2+1）（2－1）=1，得12+1=2－1；（2）由（3+2）（3－2）=1，得13+2=3－2；……

問題：（1）通過觀察，你得出什么規律？用含n的式子表示出來.

（2）利用（1）中發現的規律計算：12+1+13+2+14+3+……+12 024+2 023+12 025+2 024（2 025+1）.

試題分析：（1）考查路徑.在數式規律探索問題中，考查路徑通常以觀察、猜想、驗證和歸納為核心.這類問題首先通過觀察一系列數式，要求學生識別其中隱含的模式或規律.在該題中，學生通過分析多個類似的運算式，逐步發現這些表達式之間的共性.這一過程不僅考查學生的觀察力，還考查他們歸納總結的能力，要求他們能夠從多個具體案例中提取出普遍性的規律.接著，學生需要將通過觀察猜想得到的規律用數學表達式表示出來，并進一步驗證其正確性.這一環節要求學生具有較強的邏輯思維能力，并能夠在復雜的計算中保持嚴謹性和準確性.最終，通過對規律的歸納，學生將初步猜想上升為一般性結論，為后續的復雜計算提供依據.在整個過程中，考查的是學生從具體到抽象、從特殊到一般的數學思維能力，這與數學中廣泛應用的研究方法和推理模式密切相關.（2）考查特征.數式規律探索中的考查特征主要體現在對學生多層次思維能力的要求上.首先，這類題目通常以簡單的數式為起點，通過層層遞進的形式逐步增加問題的復雜性，促使學生深入思考.其次，這類題目不僅考查學生對數式的計算能力，更強調他們的歸納推理能力，要求他們在解決具體問題時能夠保持對整體規律的把握.題目的設計往往涉及對多個中間結果的整合和轉化，學生需要在不斷的驗證中修正和完善他們的猜想，這個過程要求他們具備耐心和嚴謹的科學態度.最后，這類題目的考查形式通常還會涉及對規律應用的檢驗，通過提出復雜的計算任務，進一步考查學生能否靈活運用之前得到的結論來解決新問題.因此，這類題目綜合性強，層次清晰，是對學生數理思維能力的全面考驗.

2 圖案規律探索中的猜想歸納思想

用同樣規格的黑、白兩種顏色的正方形，按如圖1所示的方式拼圖，請根據圖中的信息完成下列的問題：

（1）在圖②中用了塊白色正方形，在圖③中用了塊白色正方形.

（2）按此規律繼續鋪下去，那第n個圖形要用塊白色正方形.

（3）如果有足夠多的黑色正方形，能不能恰好用完2 024塊白色正方形，拼出具有以上規律的圖形？如果可以，請說明它是第幾個圖形；如果不能，請說明你的理由.

試題分析：（1）考查路徑.該類試題通常涉及觀察、猜想、驗證、推廣四個主要步驟.首先，學生通過觀察給定的圖案及其變化，識別其中的規律，例如顏色的分布、形狀的擴展、或數量的增減.其次，學生要基于觀察到的規律，提出關于后續圖案中白色正方形數量的猜想，這一過程要求學生具備初步的推理能力和歸納思維.通過驗證這些猜想是否與后續圖案一致，學生進一步強化對規律的理解，并在此基礎上推導出一般性結論，即關于任意圖形的白色正方形數量的預測公式或規律.這一考查路徑體現了學生從具體到抽象、從個別到一般的數學思維過程，也是數學探究性學習的重要組成部分.（2）考查特征.圖案規律探索中的猜想歸納思想試題的考查特征集中體現了對學生多層次思維和邏輯推理能力的全面要求.首先，這類題目通常以直觀的圖形為基礎，但隨著問題的推進，學生需要將對圖形的直觀感知轉化為抽象的數量關系或結構規律.這意味著學生不僅需要具備空間想象力，還要有很強的模式識別能力.其次，這類題目往往要求學生在具體的圖案規律基礎上得出一般化的結論，并進一步應用這些結論解決更復雜的問題.這不僅要求學生具備扎實的計算能力，還需要他們能夠靈活應用已得出的規律解決新問題，展現出較高的數學應用意識和創新思維能力.總的來說，這類題目強調過程性思維的培養，注重考查學生在面對新問題時的探索能力、邏輯推理能力及綜合應用能力，是對學生數學核心素養的深度考驗.

3 點的坐標中的猜想歸納思想

如圖2，點O（0，0），A（0，1）是正方形OAA1B的兩個頂點，以對角線OA1為邊作正方形OA1A2B1，再以正方形OA1A2B1的對角線OA2作正方形OA2A3B3，……，依此規律，點A10的坐標是.

試題分析：（1）考查路徑.該類試題通常以圖形的動態變化為背景，引導學生通過逐步分析坐標的變化規律來進行推理和歸納.在此類問題中，學生首先需要明確幾何圖形的構建規則，并觀察每一步操作如何影響點的坐標變化.其次，通過對規律的準確把握，學生能夠得出目標點的具體坐標，完成問題的求解.這種考查路徑凸顯了從觀察幾何構造到推導坐標變化，再到得出一般性結論的完整思維過程，體現了數學中的系統性和遞進性.（2）考查特征.該類問題主要表現為對學生多種數學能力的綜合考查.首先，這類題目通常涉及動態的幾何構造過程，要求學生能夠在復雜的圖形變化中保持清晰的邏輯思維.其次，這類題目往往包含對多個步驟的分析與總結，要求學生能夠在連續變化的條件下歸納出穩定的規律，并通過代數或幾何手段進行驗證.這考驗了學生的歸納推理能力和運算能力，也體現了數學中的結構化思維特征.此外，這類題目通常設計成逐層遞進的形式，考查學生在處理簡單情況后，能否夠推廣到復雜情境，從而得出最終解答.總的來說，這類題目不僅要求學生具備較強的觀察力和推理能力，還需要他們具備靈活運用知識的能力，能夠將幾何、代數、推理等多方面的知識有機結合起來，展示出對問題的深刻理解和綜合解決能力.這種題目形式強調了數學學習中的系統性和遞進性，是對學生綜合數學素養的深度檢驗.

4 解題路徑

4.1 觀察與初步猜測

解題路徑的第一步是引導學生詳細觀察題目所給出的數值、圖形或函數.學生需要通過分析題目提供的若干實例或圖像，識別其中的特征和規律.此時，學生通常會對某些可能存在的規律做出初步猜測.這一過程鼓勵學生從具體的實例中提煉出一般性規律，是歸納思想的起點.在教學中，教師可以通過引導學生討論，幫助他們理清思路，逐步建立對題目規律的初步認識.

4.2 歸納與驗證猜測

在學生形成初步猜測后，解題路徑的第二步是通過進一步的計算或推理對猜測進行驗證.學生需要將他們的猜測應用到更多的實例中，檢查這些實例是否符合他們歸納出的規律.這個過程強調了從具體到一般的推理過程，是歸納思想的核心.在這一階段，學生可能會對初步猜測進行修正或完善，以使其更符合題目的所有條件.在教學中，教師可以通過提供更多的例題或反例，幫助學生進行驗證與調整，使他們在不斷的驗證過程中加深對規律的理解，并最終歸納出正確的公式或定理.

4.3 推廣與應用規律

解題路徑的最后一步是將歸納出的規律應用到更廣泛的情境中，解決更復雜或一般性的問題.學生需要將他們歸納出的規律進行推廣，解決一些與題目形式不同但本質相似的問題.此時，學生的歸納推理能力得到進一步的檢驗，他們需要具備將局部規律推廣應用的能力.在教學中，教師可以通過設計一些變式題或應用題，促使學生靈活運用所學規律解決新問題［1］.

參考文獻：

[1]吳立寶，王新民.例談中考數學試題中的歸納思想[J].中學數學，2009（18）：3941.