二次函數圖象平移問題的分類解析

摘要：初中數學中，函數圖象平移是二次函數部分的重點和難點.基于二次函數圖象平移可以設計很多問題，考查二次函數圖象平移規律、二次函數圖象與二次函數解析式之間的關系等知識.文章從要求解的問題出發將二次函數圖象平移問題分為求最值、求參數值、求參數范圍、求運動路程四種類型，并圍繞相關習題展示具體的解題過程.

關鍵詞：初中數學；二次函數；圖象平移；解析

二次函數圖象平移整體上分為四種情境：二次函數圖象沿x軸平移（又稱左右平移）；二次函數圖象沿y軸平移（又稱上下平移）；二次函數復合平移（既有左右平移又有上下平移）；二次函數圖象沿著傾斜方向平移.其中沿著傾斜方向平移可以轉化為左右平移和上下平移來處理.學習過程中應結合二次函數圖象平移情境及要求解的問題，歸納對應的解題思路，形成解題經驗，為以后高效解題提供指引.

1 求最值

初中階段求解最值問題常用的思路就是構造二次函數[1].對于部分二次函數圖象平移問題中的求最值問題同樣適用.但不同的是，解題的過程中需要深刻理解題意，對二次函數圖象平移過程有全面的認識，通過引入參數對二次函數圖象平移規律進行刻畫，借助二次函數的性質進行解答.

例1已知點A（2，1），B（4，3），C（4，-1），二次函數y=ax2+bx－1（a，b為常數，且a≠0）的圖象經過其中的兩個點.平移函數的圖象，使其頂點始終在直線y=x－1上，則平移后拋物線和y軸交點縱坐標的最大值為（）.

A.-14B.-12C.-1D.-2

解析：所給二次函數中含有兩個未知參數，解題時先通過判斷函數圖象過哪兩個點，求出二次函數的解析式.而后根據平移要求，表示出平移后拋物線的解析式，令x=0，運用二次函數的性質求出最值.

由題意可知，B，C兩點的橫坐標相等；二次函數y=ax2+bx－1恒過點（0，-1）；A（2，1），B（4，3）兩點均在直線y=x－1.因此，二次函數y=ax2+bx－1的圖象只可能經過A，C兩點，將其坐標代入y=ax2+bx-1，得1=4a+2b－1，

－1=16a+4b－1，解得a=－12，

b=2.故二次函數的解析式為y=－12x2+2x－1，即y=－12（x－2）2+1，其頂點為（2，1），在直線y=x－1上.根據題意，平移后拋物線的解析式可表示為y=－12（x－c）2+c－1，令x=0，得y=－12c2+c－1=-12（c-1）2-12，可知當c=1時，y的值最大，且最大值為-12，即平移后拋物線和y軸交點縱坐標的最大值為-12.故選擇：B.

2 求參數值

二次函數圖象平移的求參數值問題情境較為復雜，考查的知識點不盡相同.解答該類問題時，可以根據題意描述畫出草圖，采用數形結合的方式進行分析[2].而后根據二次函數圖象平移口訣“左加下減，上加下減”表示出平移后的二次函數解析式，結合對圖象分析的結論求解答案.

例2已知二次函數y=2（x－k）（x－k+3）的圖象與x軸交于兩點，將其圖象向上平移m個單位長度，得到的新圖象也與x軸交于兩點，且這四個交點中每相鄰兩點間的距離均相等，則m的值為（）.

A.3B.4C.5D.6

解析：根據所給二次函數的解析式求出與x軸交點的坐標，根據四個交點每相鄰兩點間的距離相等，求出平移后圖象與x軸的交點，表示出平移后函數的解析式，而后求出m的值.

令2（x－k）（x－k+3）=0，可得x1=k－3，x2=k.x2－x1=3，表明四個交點中每相鄰兩點間的距離為1，平移后圖象和x軸的交點橫坐標分別為k-2，k-1，則平移后的圖象對應的解析式為

y=2（x－k+2）（x－k+1）.①

二次函數y=2（x－k）（x－k+3）的圖象向上平移m個單位長度，平移后的圖象對應的解析式為

y=2（x－k）（x－k+3）+m.

②

①②聯立，解得m=4.故選擇：B.

3 求參數范圍

求參數范圍是初中數學中的熱門考點，在二次函數圖象平移問題中也較為常見[3].解答該類問題時，可以根據對平移規律的理解，準確畫出二次函數平移前后的圖象，建立平移前后圖象之間的關系，尤其是能夠根據平移后二次函數的解析式，通過數形結合計算出參數的上下限.

例3如圖1所示，拋物線y=－2x2+8x－6和x軸交于A，B兩點，取拋物線x軸上方的部分為C1，將其向右平移n個單位長度得到C2，其中C2和x軸的交點為B，D.若直線y=x+m和C1，C2有兩個不同的交點，則m的取值范圍為.

解析：解答該題可以畫出草圖，通過數形結合找到臨界點，而后通過聯立拋物線方程和直線方程進行計算得出結果.

根據題意，畫出草圖，如圖2所示，可以清晰地看到滿足題意情況有三種：介于m2和m1之間，m3和m4.

令－2x2+8x－6=0，整理得到x2－4x+3=0，解得x=1或x=3，則A（1，0），B（3，0）.易得C1關于直線x=2對稱.

由C2和x軸的其中一個交點為B，可知C2是由C1向右平移2個單位長度得到，則C2的解析式為y=－2（x－2-2）2+2，即

y=－2x2+16x－30（3≤x≤5）.③

聯立y=-2x2+8x-6（1≤x≤3）和y=x+m1，得－2x2+7x－6－m1=0.由Δ=49－4×（－2）×（－6－m1）=1－8m1=0，得m1=18.另外，由圖2可知y=x+m2過點A（1，0），則1+m2=0，解得m2=－1.綜合起來，此時－1≤mlt;18.

當y=x+m3和③只有一個交點時，聯立兩個方程得到－2x2+15x－30－m3=0.由Δ=152－4×（－2）×（－30－m3）=－15－8m3=0，得m3=－158.

當y=x+m4過點B（3，0）時，3+m4=0，則m4=－3.

綜上可知，滿足題意的m的取值范圍為－1≤mlt;18或m=－158或m=－3.

4 求運動路程

二次函數圖象平移過程中，圖象上的各點都會進行相應的運動.根據要求求某點的運動路程是二次函數圖象平移問題中難度較大的一類問題.解答時需要深刻掌握二次函數圖象的特點，準確判斷二次函數圖象平移過程中相關點的運動規律，充分挖掘隱含條件.

例4如圖3，拋物線y=x2+2x和直線y=x+2交于A，B兩點，和直線x=2交于點P.將拋物線沿射線AB平移32個單位長度，在整個平移過程中，點P經過的路程為（）.

A.5B.6

C.132D.152

解析：由于拋物線在運動的過程中和x=2的交點P在不斷變化中，對想象能力要求較高，難度較大.

拋物線沿著射線AB平移32個單位長度相當于先向右平移3個單位長度，再向上平移3個單位長度，設拋物線向右平移a個單位長度，向上平移a個單位長度，根據題意可得0≤a≤3.

拋物線y=x2+2x=（x+1）2－1在平移過程中對應拋物線的解析式為y=（x+1－a）2+a－1.當x=2時，y=（3－a）2+a－1=a－522+74（0≤a≤3）.由二次函數的性質可知，若0≤a≤52，則當a=0時y取得最大值8；若a=52，則y=74；若52≤a≤3，當a=3時，y取得最大值2.故拋物線運動過程中點P經過的總路程為8－74+2－74=132.故選擇：C.

綜上所述，二次函數圖象平移問題可易可難.為提高解題能力，學習時應深刻理解平移規律及相關的平移口訣，能夠透過現象看本質.同時，應注重運用一定的解題策略，根據題意敢于通過引入新的參數構造新的二次函數，借助二次函數的性質順利求得結果.

參考文獻：

[1]陳一鑫，孫凱.二次函數圖象平移規律的猜想與探索[J].中學生數學，2023（24）：2425.

[2]莫冰.巧用點解決二次函數圖象的平移問題[J].初中數學教與學，2023（6）：4043.

[3]陳文倩.二次函數的平移、翻折與旋轉[J].數理天地（初中版），2022（9）：23.