看似無“圓”卻有“圓”

摘要：“隱圓”問題，是初中解析幾何中一種比較特殊的現象，看似無“圓”，實則題目中隱含著圓的信息，需要結合圓的相關性質，才能完成求解過程.文章結合實例，分析常見的“隱圓”構造方法，幫助學生解決無“圓”而導致的“對面不相識”的解題困境.

關鍵詞：初中數學；隱圓；最值問題

“圓”作為初中數學的重要知識點，中考數學常常會在不同的情境中對其進行考查.除在選擇題和填空題中對“圓”的相關性質進行考查外，與“圓”相關的證明也時常出現在解答題中.在和“圓”相關的數學情境中，有時題干中并未出現“圓”的“身影”，但在解題過程中，卻需要運用“圓”的知識，才能夠順利完成解題過程，該類模型即“隱圓模型”.近幾年，該模型在中考中出現的幾率非常高，最為高頻的考點是將“隱圓”和幾何最值問題，如線段最值、面積最值的問題結合起來進行考查.本文中通過實例來探究構造“隱圓”求解幾何最值的方法.

1 利用圓的定義構造“隱圓”

例1如圖1所示，四邊形ABCD為菱形，邊長為4，∠B＝120°.已知該四邊形上存在一動點N，在邊AB上運動.M是邊AD的中點.將△MAN沿著MN所在的邊折疊后，得到△MA′N，將C點和A′點連接，則線段A′C的最小值（）.

A.3+1 B.3 C.27-2 D.2

分析：根據題意，在折疊過程中，MA′的長是定值，M是定點，所以點A′在以M為圓心，AD為直徑的圓弧AD上運動，當A′C取最小值時，由兩點之間線段最短可知，此時M，A′，C三點共線，得出點A′的位置，過點M作MH⊥DC交DC的延長線于點H，再利用含30°角的直角三角形的性質以及勾股定理求出MC的長，進而求出A′C的長即可.

解析：如圖2所示，以M為圓心，MA′的長度為半徑作圓⊙M.

由MA′是由MA折疊得到的，四邊形ABCD是邊長為4的菱形，M為邊AD的中點，知線段MA′的長為定值，MA′=AM=MD=12AD=2.

當A′C的長度取最小值時，A′，M，C三點共線，此時點A′在直線MC上.

過點M作MH⊥DC，交CD的延長線于點H.

∵在菱形ABCD中，∠B＝120°，

∴∠CDM＝120°.

∴∠MDH＝60°.

∴∠HMD=30°.

又MD=2，

∴HD=12MD=1.

∴HM=DM2-DH2=3，CH=CD+DH=5.

∴MC=CH2+MH2=27.

∴A′Cmin=MC-MA′=27-2.

故選：C.

點評：若動點到平面內某定點的距離始終為定值，則其軌跡是圓或圓弧.構造時先確定定點，定點為圓心，動點到定點的距離為半徑，折疊類問題中常常會出現該類“隱圓”.求解思路為“見定點（圓心）—找定邊（半徑）—現‘圓’形—求最值”.

2 利用“定邊對直角”構造“隱圓”

例2如圖3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8 cm，BC=3 cm.D是BC邊上的一個動點，連接AD，過點C作CE⊥AD于點E，連接BE，在點D變化的過程中，線段BE的最小值是（）.

A.1B.3C.2D.5

分析：由∠AEC＝90°可知，點E在以AC為直徑的⊙M的CN上（不含點C，可含點N），從而得BE長度的最小值為BE′=BM-ME′（E′為BM與QM的交點）.

解析：如圖4，取AC的中點M，以M為圓心，AM的長度為半徑作圓⊙M.

∵∠AEC=90°，

∴點E在以AC為直徑的⊙M的CN上（不含點C，可含點N）.

∴連接BM與⊙M交于點E′，則BE′的長度即為線段BM的最小值.

∵Rt△BCM中，BC=3 cm，CM=12AC=4 cm，

∴BM=BC2+CM2=5 cm.

∵ME′=MC=4 cm，

∴BE長度的最小值BE′=BM-ME′=1 cm.

故選：A.

點評：當一條定邊所對的角始終為直角，則直角頂點的軌跡是以定邊為直徑的圓或圓弧.關鍵在于尋找定邊、直角.該類型題的求解思路為“見直角—找斜邊（定弦）—定直徑—定外心—現‘圓’形—求最值”.

3 利用“四點共圓”構造“隱圓”

例3如圖5所示，等邊三角形ABC中，AB=6，P為AB上一動點，PD⊥BC于點D，PE⊥AC于點E，求DE的最小值.

分析：由題意易得∠PEC=∠PDC=90°，所以P，D，C，E四點共圓（圓心為O）.又因為∠EOD=120°，所以當直徑最小時，弦DE的值最小.

解析：∵PD⊥BC，PE⊥AC，

∴∠PEC=∠PDC=90°.

∴四邊形PDCE對角互補.

∴P，D，C，E四點共圓，設圓心為O，如圖6所示.

∵∠ACB=60°，

∴∠EOD=2∠ECD=120°.

要使得DE最小，則要使圓的半徑最小，故直徑PC最小，則當CP⊥AB時，PC最短.

∵△ABC是等邊三角形，且AB=6，

∴∠B=60°，BP=3.

∴CP=3BP=33.

∵∠DOP=60°，

∴DE=2OD·sin∠DOP=92.

∴DE長度的最小值為92.

點評：四邊形中，若同一條線段所對的兩個角相等或對角互補，則構成的四邊形的四個頂點在同一個圓上.求解思路為“見等（補）對角—定外心—現‘圓’形—求最值”.

4 利用“定角定弦”構造“隱圓”

例4如圖7所示，在銳角三角形ABC中，AB＝2，AC＝6，∠ABC＝60°.D是平面內一動點，且∠ADB＝30°，則CD的最小值是.

分析：因為AB為定長，∠ADB＝30°為定角，故滿足“定角定弦”，動點D在圓上.作AH⊥BC于點H，證明△ACH為等腰直角三角形，求得BC=3+1，在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形，以O為圓心，2為半徑作⊙O，根據∠ADB=30°，可得點D在⊙O上運動，當DB經過圓心O時，CD最小.圖8

解析：如圖8所示，作AH⊥BC于點H.

∵AB=2，AC=6，∠ABC=60°，

∴BH=12AB=1.

∴AH=AB2-BH2=22-12=3.

∴CH=AC2-AH2=（6）2-（3）2=3.

∴△ACH為等腰直角三角形.

∴∠ACB=45°，

BC=CH+BH=3+1.

在BC上截取BO=AB=2，則△OAB為等邊三角形.

以O為圓心，2為半徑作⊙O.

∵∠ADB=30°，

∴點D在⊙O上運動，當DB經過圓心O時，CD的長度最小.

∴CDmin=4-（3+1）=3-3.

故答案為：3-3.

點評：當利用“定角定弦”構造“隱圓”時，需要構造由定邊兩端點及定角的頂點所確定的圓，該圓為由定邊端點及定角所確定的三角形的外接圓.然后就可以利用三邊關系或斜垂關系，求出最值.求解思路為“見定角—找對邊（定弦）—想周角—轉心角—現‘圓’形—求最值”.

在求解平面幾何中的最值問題時，若題干中沒有出現圓的相關信息的“隱圓”模型，需要巧妙深入挖掘題設，借助圓的定義、定邊對直角、四點共圓、定角定弦等方法，合理構造出“隱圓”模型，從而利用圓的相關性質，完成求解過程.“隱圓”模型，最為關鍵之處在于是否能找到“隱藏的圓”，明確動點的運動路徑，一旦“圓”形畢露，題目的難度將極大減弱.