常考常新的正態分布試題

正態分布不僅是高中數學的重要知識點，也是將來在高等數學中衡量學生數學素養的重要指標之一.新課標高考數學命題常常圍繞生活實際問題中的有關正態分布的綜合問題來考查，這不僅檢驗學生的數學能力，也反映了正態分布在現實生活和實際問題中的重要位置.

1 正態分布與新定義的綜合應用

例1對于一個給定的連續型隨機變量X，創新定義其累積分布函數為F（x）=P（X≤x）.如圖1所示，已知某系統由一個電源和三個并聯的元件A，B，C組成.在電源電壓正常的情況下，至少一個元件正常工作才可保證系統正常運行，假設電源及各元件之間工作相互獨立.

（1）已知電源電壓X（單位：V）服從正態分布N（40，4），且X的積累分布函數為F（x），試求F（42）-F（36）的值；

（2）已知隨機變量T（單位：天）表示某高穩定性元件的使用壽命，且服從指數分布，定義相應的累計分布函數為G（t）=0，tlt;0，1-14t，t≥0.設t1gt;t2gt;0，證明：P（Tgt;t1|Tgt;t2）=P（Tgt;t1-t2）.

附：若隨機變量Y服從正態分布N（μ，σ2），則P（|Y-μ|lt;σ）=0.682 7，P（|Y-μ|lt;2σ）=0.954 5，P（|Y-μ|lt;3σ）=0.997 3.

解：（1）P（38lt;Xlt;42）=0.682 7，P（36lt;Xlt;44）=0.954 5，則

F（42）-F（36）=P（X≤42）-P（X≤36）=P（40≤X≤42）+P（36≤Xlt;40）=12（0.682 7+0.954 5）=0.818 6.

（2）

P（Tgt;t1|Tgt;t2）=P［（Tgt;t1）∩（Tgt;t2）］P（Tgt;t2）=P（Tgt;t1）P（Tgt;t2）=1-P（T≤t1）1-P（T≤t2）=1-G（t1）1-G（t2）=1-1-14t11-1-14t2=14t114t2=4t2-t1;

P（Tgt;t1-t2）=1-P（T≤t1-t2）=1-G（t1-t2）=4t2-t1.

所以P（Tgt;t1|Tgt;t2）=P（Tgt;t1-t2）.

評析：本題考查新定義累計分布函數和正態分布相結合的綜合實際應用問題，在理解題意的基礎上，利用正態分布的定義和條件概率的計算公式，以及正態分布的有關性質和“新定義”進行計算求解.

2 正態分布與統計的綜合應用

例2某省數學素養大賽分為初賽與復賽兩個階段，同時規定初賽成績排名前200名的學生參加復賽.共有8 000名學生參加初賽，從中隨機抽取100人的初賽成績作為樣本，制作如圖2的頻率分布直方圖.

（1）假設初賽成績中不低于90分、80～90分、70～80分、60～70分、60分以下分別為優秀、良好、一般、合格、不合格，若從上述樣本初賽成績不低于80分的學生中隨機抽取2人，求至少有1人初賽成績優秀的概率，并求初賽成績優秀的人數X的分布列及數學期望.

（2）根據頻率分布直方圖中的數據信息，可以近似認為全體參加初賽學生的初賽成績Z服從正態分布N（μ，σ2），其中μ可近似為樣本中的100名學生初賽成績的平均值（以對應區間的中點值代替），且σ2=65.已知小華的初賽成績為85分，利用該正態分布來分析并估計小華是否有資格參加復賽.

參考數據：65≈8；如果Z～N（μ，σ2），那么P（μ-σlt;Zlt;μ+σ）≈0.6827，P（μ-2σlt;Zlt;μ+2σ）≈0.954 5，P（μ-3σlt;Zlt;μ+3σ）≈0.997 3.

解：（1）樣本中位于區間［80，90）內的人數為0.015×10×100=15，

位于區間［90，100］內的人數為0.005×10×100=5，

所以抽取的2人中成績優秀的人數X可能的取值為0，1，2.易得

P（X=0）=C215C220=2138，P（X=1）=C15·C115C220=1538，P（X=2）=C25C220=119.

所以X的分布列為：

評析：本題根據頻率分布直方圖給出的數據信息求得初賽成績優秀人數，求出隨機變量分布列，然后求得概率和數學期望；利用頻率分布直方圖估計正態分布的均值，使用3σ原則進行正態分布與概率估計，并結合題設條件中相關的數據信息加以推理分析與數學計算，由此來作出正確的分析與判斷.

3 正態分布與概率的綜合應用

例32025年某大公司招聘公司職員，考試分為筆試和面試，筆試通過后才能進入面試環節，面試環節各部門從筆試通過的人員中抽取部分人員進行該部門的面試.根據數據信息，應聘人員的筆試成績Y近似服從正態分布N（μ，σ2），其中μ，σ2分別近似為樣本平均數、樣本方差s2.而參數μ，σ的近似值分別為76.5，5.5，以樣本估計總體.

（1）假設有84.135%的應聘人員的筆試成績高于往年的平均成績，求該公司往年的平均成績大約是多少.

（2）現有甲、乙、丙3名應聘者進入了面試，該公司某部門有意在這3人中隨機選取2人參加面試.面試分為初試和復試并且采用積分制，滿分為10分，其中通過初試考核記6分，通過復試考核記4分，初試通過才能參加復試，應聘者能否正確回答初試與復試的問題相互獨立.已知甲和乙通過初試的概率均為34，丙通過初試的概率為23，甲和乙通過復試的概率均為23，丙通過復試的概率為12.

①若從這3人中隨機選取2人參加面試，求這2人本次面試的得分之和不低于16分的概率；

②若甲和乙一起參加本次該部門的面試，記他們本次面試的得分之和為X，求X的分布列及數學期望E（X）.

參考數據：若X～N（μ，σ2），則

P（μ-σlt;X≤μ+σ）≈0.682 7，

P（μ-2σlt;X≤μ+2σ）≈0.954 5，

P（μ-3σlt;X≤μ+3σ）≈0.997 3.

解：（1）P（Xgt;μ-σ）=12+P（μ-σlt;X≤μ+σ）2≈0.841 35.

又μ的近似值為76.5，σ的近似值為5.5，

所以該公司往年的平均成績大約為76.5-5.5=71（分）.

（2）①記選出甲、乙參加面試為事件A1，選出甲、丙參加面試為事件A2，選出乙、丙參加面試為事件A3，2人本次面試的得分之和不低于16分為事件B，則P（A1）=C22C23=P（A2）=P（A3）=13.所以

P（B）=P（A1B+A2B+A3B）=13×342×232+2×23×13+13×34×23×23×12+13×12+23×12

+13×34×23×23×12+13×12+23×12=16+536+536=49.

②變量X的可能取值為：0，6，10，12，16，20.易知P（X=0）=142=116，P（X=6）=2×34×13×14=18，P（X=10）=2×34×23×14=14，P（X=12）=342×132=116，

P（X=16）=342×2×23×13=14，P（X=20）=342×232=14.

所以X的分布列為：

評析：本題是有關概率與正態分布的綜合問題，需要掌握正態分布的對稱性和正態曲線的3σ原則，以及將實際問題分三種情況，分別計算概率列出分布列，然后綜合運用所學知識做答.