函數(shù)方程轉(zhuǎn)化，合理變換主元

復(fù)雜的函數(shù)、方程或不等式等問題中一般含有常量、變量、參數(shù)等多個(gè)量.特別是基于函數(shù)或方程場(chǎng)景的代數(shù)式的最值（或取值范圍）求解與應(yīng)用問題，在實(shí)際解題時(shí)，往往需要通過變換主元或指定主元等方式，突出某個(gè)變量或幾個(gè)變量的中心地位，給問題的解決提供更好的切入點(diǎn)與突破口，成為主元法解決問題的一種應(yīng)用方式，也是解決代數(shù)式最值（或取值范圍）問題的一種基本應(yīng)用技巧.

1 問題呈現(xiàn)

問題（2025屆浙江省9+1高中聯(lián)盟高三年級(jí)期中考試數(shù)學(xué)試卷·8）已知函數(shù)f（x）=（a－2）x2+bx－a+1（a，b∈R且a≠2）在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)，則a2+b2的最小值為（）.

A.32

B.12

C.2

D.1

此題以含雙參數(shù)的二次函數(shù)為問題場(chǎng)景，借助該二次函數(shù)在給定區(qū)間上有零點(diǎn)來(lái)設(shè)置條件，問題看似簡(jiǎn)捷易懂，結(jié)合多參數(shù)的創(chuàng)新與巧妙設(shè)計(jì)，進(jìn)而求解雙參數(shù)的平方和的最值問題.

具體解決問題時(shí)，借助函數(shù)與方程之間的等價(jià)轉(zhuǎn)化，將問題轉(zhuǎn)化為對(duì)應(yīng)的方程在給定區(qū)間上有解來(lái)處理，結(jié)合所求結(jié)果中涉及雙參數(shù)的關(guān)系式，合理變換主元，從平面解析幾何、平面向量及不等式等相關(guān)思維視角切入，合理加以放縮與轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)雙參數(shù)的平方和的最值的確定.

2 問題破解

方法1：主元法+距離轉(zhuǎn)化法.

依題意函數(shù)f（x）=（a－2）x2+bx－a+1（a，b∈R且a≠2）在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)，轉(zhuǎn)換主元整理可得方程（x2－1）a+xb+1－2x2=0在區(qū)間[1，2]上有解.

其中（a，b）表示坐標(biāo)系aOb中直線（x2－1）a+xb+1－2x2=0（x看成參數(shù)）上的點(diǎn)，所以a2+b2表示坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線（x2－1）a+xb+1－2x2=0上的點(diǎn)的距離的平方.

坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線（x2－1）a+xb+1－2x2=0的距離d=|1-2x2|（x2－1）2+x2.

所以d2=4x4-4x2+1x4-x2+1=4－3x4-x2+1=4－3x2－122+34.

由于x∈[1，2]，則x2∈[1，4]，所以當(dāng)x=1時(shí)，d2取得最小值4－31－122+34=4－3=1.

所以a2+b2≥d2≥1，即a2+b2的最小值為1.

點(diǎn)評(píng)：該解法中，在實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的巧妙轉(zhuǎn)化后，依托主元法，利用平面解析幾何思維，將問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)系中涉及雙參數(shù)的直線上的動(dòng)點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)的距離的平方問題，進(jìn)而通過函數(shù)的恒等變換與取值限制來(lái)確定相應(yīng)的最值.平面解析幾何思維中，巧妙利用不同距離之間的轉(zhuǎn)化來(lái)合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系，給問題的解決提供條件，實(shí)現(xiàn)雙參數(shù)的平方和的最值求解.

方法2：主元法+數(shù)量積轉(zhuǎn)化法.

依題意函數(shù)f（x）=（a－2）x2+bx－a+1（a，b∈R且a≠2）在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)，則a（x2－1）+bx=2x2－1在區(qū)間[1，2]上有解.

設(shè)平面向量m=（a，b），n=（x2－1，x），利用平面向量的數(shù)量積及其基本性質(zhì)，可得m·n=a（x2－1）+bx=2x2－1≤|m||n|=a2+b2·（x2－1）2+x2，整理為a2+b2≥（2x2－1）2（x2－1）2+x2=4x4-4x2+1x4-x2+1=4－3x4-x2+1=4－3x2－122+34.

由于x∈[1，2]，則x2∈[1，4]，所以當(dāng)x=1時(shí)，a2+b2取得最小值4－31－122+34=4－3=1.

所以a2+b2≥1，即a2+b2的最小值為1.

點(diǎn)評(píng)：該解法中，在實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的巧妙轉(zhuǎn)化后，依托主元法，利用平面向量思維，將問題轉(zhuǎn)化為平面向量中兩向量的數(shù)量積小于等于對(duì)應(yīng)的模的乘積，利用數(shù)量積公式及其基本性質(zhì)來(lái)合理切入，巧妙放縮與轉(zhuǎn)化，同樣利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)分析與應(yīng)用.平面向量思維中，巧妙利用數(shù)量積的運(yùn)算與基本性質(zhì)，可以合理構(gòu)建對(duì)應(yīng)的不等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)雙參數(shù)的平方和的最值求解.

方法3：主元法+柯西不等式法.

依題意函數(shù)f（x）=（a－2）x2+bx－a+1（a，b∈R且a≠2）在區(qū)間[1，2]上有零點(diǎn)，則a（x2－1）+bx=2x2－1在區(qū)間[1，2]上有解.

結(jié)合柯西不等式，可得2x2－1=a（x2－1）+bx≤a2+b2·（x2－1）2+x2，所以有a2+b2≥（2x2－1）2（x2－1）2+x2=4x4-4x2+1x4-x2+1=4－3x4-x2+1=4－3x2－122+34.

由于x∈[1，2]，則x2∈[1，4]，所以當(dāng)x=1時(shí)，a2+b2取得最小值4－31－122+34=4－3=1.

所以a2+b2≥1，即a2+b2的最小值為1.

點(diǎn)評(píng)：該解法中，在實(shí)現(xiàn)函數(shù)與方程的巧妙轉(zhuǎn)化后，依托主元法，利用不等式思維，將問題中相等關(guān)系借助柯西不等式的放縮，轉(zhuǎn)化為不等關(guān)系，實(shí)現(xiàn)不等式的構(gòu)建與應(yīng)用，并進(jìn)一步利用函數(shù)的圖象與性質(zhì)來(lái)分析與應(yīng)用.不等式思維中，經(jīng)常利用基本不等式、柯西不等式、權(quán)方和不等式等來(lái)合理放縮與轉(zhuǎn)化，進(jìn)而實(shí)現(xiàn)雙參數(shù)的平方和的最值求解.

3 變式拓展

變式1已知二次函數(shù)f（x）=ax2+（2b+1）x－a（a，b∈R且a≠0），若f（x）－2在區(qū)間[1，2]上至少有一個(gè)零點(diǎn)，則a2+b2的最小值為.

答案：14.

變式2〔2024屆河南省鄭州外國(guó)語(yǔ)學(xué)校高三（上）第一次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷〕設(shè)函數(shù)f（x）=ex+a（x－1）+b在區(qū)間[0，1]上存在零點(diǎn)，則a2+b2的最小值為（）.

A.e

B.12

C.7

D.3e

答案：B.

變式3（2025屆廣東省惠州市高三第二次調(diào)研考試數(shù)學(xué)試卷）若關(guān)于x的方程lnax+b2=x2+14有實(shí)數(shù)根，則a2+b2的最小值為.

解析：設(shè)關(guān)于x的方程ln ax+b2=x2+14有實(shí)數(shù)根t，則lnat+b2=t2+14，整理可得at+b2=et2+14.

在平面直角坐標(biāo)系aOb中，設(shè)點(diǎn)P（a，b）是直線l：ta+12b－et2+14=0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，根據(jù)平面解析幾何的幾何意義可知a2+b2=|OP|2.

坐標(biāo)原點(diǎn)O到直線l的距離d=et2+14t2+14.

4 教學(xué)啟示

在相關(guān)數(shù)學(xué)問題中，常量與變量是相對(duì)的，二者在一定條件下可以互相轉(zhuǎn)換.特別是涉及多變量的函數(shù)、方程或不等式等相關(guān)的綜合應(yīng)用問題中，要敢于打破常規(guī)，從多個(gè)變量中選擇合適的主元來(lái)特殊化處理，進(jìn)而加以著重使力，便可以從模糊紛亂的思緒中找到堅(jiān)定的方向，撥開云霧見青天.

變換主元法的技巧、方法，值得我們好好研究與認(rèn)真品味.當(dāng)然，任何方法都不是萬(wàn)能的，使用變換主元法時(shí)需要考慮主元的取值范圍是否已知，以及各元之間是否存在牽制關(guān)系.