一道含雙參恒成立最值題的探究

含參不等式恒成立及其相應的綜合應用問題，往往以函數、方程或不等式等背景加以創設，巧妙融入含參場景，進而確定與參數有關的代數式的值或最值（或取值范圍）等，成為高考數學試卷中命題的一個基本考查點.此類問題形式多樣，變化多端，可以以小題（選擇題或填空題）形式出現，也可以以解答題形式出現，內涵豐富，知識綜合性強，常考常新.同時，此類問題的解題技巧與方法靈活多變.

1 問題呈現

問題（2025屆江蘇省蘇州市高三第一學期期末調研測試數學試卷·8）函數f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab（bgt;－1），若f（x）≥0恒成立，則ab+1的最小值是（）.

A.1e

B.12e

C.e2

D.12

此題通過含有雙變量的函數，結合函數不等式的恒成立來設計條件，基于雙變量的應用場景，構建與之對應的分式來確定對應的最值問題.基于題中函數的解析式的含參性與復雜性，可通過合理的因式分解加以恒等變形，為進一步的分析與應用創造條件.

解決問題的關鍵在于依托函數所對應的不等式恒成立，通過合理的分析與推理，并結合巧妙的數學運算，來確定對應雙變量之間的關系，才能為進一步求解分式ab+1的最值奠定基礎.

而由雙變量所對應的函數不等式恒成立條件入手，要正確確定雙變量之間的關系，可以借助關系式的變形，利用參數取值的分類討論來巧妙“分拆”，結合代數式的取值情況來討論與推理等；或借助函數與導數思維，結合求導運算與函數的性質，利用函數的最值來切入與應用；或通過函數圖象的放縮變換思維來“變換”相應的函數式，利用函數解析式的簡化處理以方便確定對應的零點；或通過函數零點思維來“區分”相應的函數式，利用兩函數的零點相同來推理與求解等.

不同思維方式的切入與應用，都給問題的深入分析與巧妙求解創造條件，實現問題的合理轉化與巧妙突破，借助合理的邏輯推理與正確的數學運算來綜合應用.

2 問題破解

2.1 分類討論思維

解法1：分類討論法.

函數f（x）的定義域為{x|xgt;0}.變形，得

f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab=（x－2a）ln x－（x－2a）b=（x－2a）（ln x－b）.

由f（x）≥0恒成立，具體分類如下：

當x－2a≥0時，ln x－b≥0，此時x≥2a，x≥eb；

當x－2a≤0時，ln x－b≤0，此時x≤2a，x≤eb.

綜上分析，結合f（x）≥0恒成立，則滿足2a=eb，即a=12eb.

由于bgt;－1，結合切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立），可得ab+1=12ebb+1=12·ebb+1≥12·b+1b+1=12，當且僅當b=0時等號成立.

所以ab+1的最小值是12.故選擇答案：D.

點評：依托函數解析式的因式分解，借助解析式積的結構特征，給對應關系式的分類討論創造條件.利用兩個因式取值的分類討論求解對應的不等式，從而得到不等式恒成立條件下雙變量的關系，這是問題考查的關鍵點與難點所在.而基于雙變量之間關系的構建，進一步利用消元法處理，結合切線不等式的合理放縮，為分式代數式的最值求解奠定基礎.

2.2 函數與導數思維

解法2：導數法.

函數f（x）的定義域為{x|xgt;0}.變形，得

f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab=（x－2a）ln x－（x－2a）b=（x－2a）（ln x－b）.

考慮到f（2a）=0，并結合f（x）≥0恒成立，則x=2a是f（x）的最小值點，則有2agt;0，即agt;0.

又f′（x）=ln x－b+1－2ax.

由f′（2a）=ln （2a）－b+1－2a2a=ln （2a）－b=0，可得a=12eb.

由于bgt;－1，結合切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立），可得ab+1=12ebb+1=12·ebb+1≥12·b+1b+1=12，當且僅當b=0時等號成立.

所以ab+1的最小值是12.故選擇答案：D.

點評：依托函數解析式的因式分解，能夠比較快速地進行“分拆”處理，巧妙確定相關方程的零點，并結合不等式恒成立的條件來確定與之對應的函數的最值點，而函數與導數的綜合應用給問題的深入與求解指明方向.基于函數的最值點的確定，可知對應函數在最值點處的導函數值為0，往往可以使得問題的求解思路更加清晰.有時還要注意對函數的最值點的存在性加以分析與判斷.

2.3 放縮變換思維

解法3：放縮法.

函數f（x）的定義域為{x|xgt;0}.變形，得

f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab=（x－2a）ln x－（x－2a）b=（x－2a）（ln x－b）.

由f（x）≥0恒成立，知f（x·eb）=（x·eb－2a）5ln x≥0恒成立，即xebln x≥2aln x恒成立.

設g（x）=xebln x，h（x）=2aln x，顯然有g（1）=h（1）=0，則這兩個函數有相同的公切點（1，0），且滿足g（x）≥h（x）恒成立，所以兩函數在公切點（1，0）處的切線相同.

所以g′（1）=h′（1）.

又g′（x）=eb（ln x+1），h′（x）=2ax，則eb（ln 1+1）=2a1，即eb=2a，所以a=12eb.

由于bgt;－1，結合切線不等式ex≥x+1（當且僅當x=0時等號成立），可得ab+1=12ebb+1=12·ebb+1≥12·b+1b+1=12，當且僅當b=0時等號成立.

所以ab+1的最小值是12.故選擇答案：D.

點評：依托函數解析式的因式分解，利用不等式的基本性質對變量加以合理的放縮處理，而不改變零點情況.這樣合理放縮處理，有時可以使得一些關鍵的節點（如函數的零點，導函數的零點等）更加明顯.

3 鏈接高考

以上高考模擬題可能借鑒了以下高考真題中的知識考查與命題手法，以更加復雜的函數解析式來設置，同樣以選擇題的形式呈現，全面考查函數的解析式、函數的零點、函數與導數的綜合及函數的基本性質等.

高考真題（2024年高考數學新高考Ⅱ卷·8）設函數f（x）=（x+a）ln （x+b），若f（x）≥0，則a2+b2的最小值為（）.

A.18

B.14

C.12

D.1

4 變式拓展

變式函數f（x）=xln x－bx－2aln x+2ab（bgt;－1），若f（x）≥0恒成立，則aeb=.

該變式問題比以上原問題更加簡單直接，可以采用原問題中的不同解析方法來處理，這里不多展開.該變式問題還可以利用特殊值法來處理，以參數b的取值范圍的確定，選取一特殊值代入，可以實現問題中對應代數式的值的確定，達到“小題小做”的目的.

5 教學啟示

基于多變量應用場景的相關不等式恒成立問題，包含有不等與相等的內含與實質，可以有效實現不等與相等之間的辯證轉化與應用.問題形式變化多端，立足函數、方程、不等式三者之間的恒等變形與轉化，合理借助函數與導數的綜合應用，將不等式恒成立等價轉化為與之對應的函數問題來分析與處理.

在具體解題過程中，基于多變量應用場景的相關不等式恒成立問題，以不等與相等等創新形式來設置，將不等式恒成立加以恒等轉化，轉化為對應的函數問題，借助合理的消元處理或整體代換等，通過參數取值的分類討論及相關技巧、方法，巧妙轉化不等與相等之間的關系，給問題的展開與應用開拓一個應用空間.特別要注意的是，解題時要靈活多變，選取行之有效的技巧、方法來分析與應用.