透過現象看本質，立足內涵拓思維

在數學問題創設與綜合應用場景中，“相等”與“不等”這兩個不同的應用場景既是獨立存在的，又是相對作用的，是辯證唯物主義中一對對立矛盾的存在，同時兩者是一個統一的整體.依托數學應用場景的創新設計與綜合設置，“相等”與“不等”的應用場景，看似是對立的雙方，在一些具體的數學應用問題中，兩者之間經常會根據實際場景及數學條件，以各種不同的形式進行合理的辯證聯系，實現“相等”與“不等”之間的巧妙轉化，進而加以綜合應用.

而基于雙變量方程條件下的代數式的最值（或取值范圍）求解問題，是巧妙實現“相等”與“不等”之間合理轉化的一個重要場景，可以有效考查考生的“四基”與“四能”，成為各類數學考試命題中的重點與熱點問題之一.

1 問題呈現

問題〔2025屆江蘇省蘇州市震川一中、常熟中學、西交大附中等四校高三（上）聯考數學試卷（10月份）〕已知a，b∈R，且a+ba+1+b+1=2，則a+b的最大值是，最小值是.

此題以雙變量所對應的分式方程來創設場景，立足方程中的“相等”關系，求解雙變量所對應的和式代數式的最大值與最小值.

具體解題時，基于復雜的分式方程，利用方程的恒等變形與巧妙轉化，或通過合理的換元變形，結合變形后對應的方程條件，借助線性規劃或三角換元來處理，結合不等式知識與三角函數知識來應用；或通過代數式的結構特征與不等式的聯系，結合雙變量關系式的性質，借助基本不等式或不等式性質等來處理，合理進行放縮與轉化；或通過方程的整體思維與換元處理，借助方程成立時判別式的條件，化方程為不等式，利用不等式的求解來綜合與應用.思維方式多樣，殊途同歸，給問題的突破與求解開拓更加寬廣的空間.

2 問題破解

2.1 換元思維

解法1：換元法——線性規劃.

設a+1=x≥0，b+1=y≥0，x，y不同時為0，則有a=x2-1，b=y2-1.

由a+ba+1+b+1=2，可得x2+y2-2x+y=2，整理有（x-1）2+（y-1）2=4.該方程表示以C（1，1）為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分（包括在坐標軸上的端點），如圖1所示.

由a+ba+1+b+1=2，可得

[JZ]a+b=2（a+1+b+1）=2（x+y）.

令z=x+y，數形結合可知當直線z=x+y與圓C相切于點（1+2，1+2）時，直線z=x+y在y軸上的截距z最大，此時zmax=2+22，從而（a+b）max=2（x+y）max=4+42；

而當直線z=x+y過圓C與坐標軸的交點D（0，1+3）或E（1+3，0）時，zmin=1+3，從而（a+b）min=2（x+y）min=2+23.

綜上分析，a+b的最大值是4+42，最小值是2+23.

解法2：換元法——三角換元.

設a+1=x≥0，b+1=y≥0，x，y不同時為0，則有a=x2-1，b=y2-1.

由a+ba+1+b+1=2，可得x2+y2-2x+y=2，整理有（x-1）2+（y-1）2=4，該方程表示以C（1，1）為圓心，半徑為2的圓在第一象限的部分（包括在坐標軸上的端點）.

三角換元，可令x=1+2cos α，y=1+2sin α，α∈-π6，2π3].

由a+ba+1+b+1=2，可得a+b=2a+1+2b+1=2x+2y=4+4cos α+4sin α=4+42sinα+π4.

由α∈-π6，2π3]，可得α+π4∈π12，11π12].故當α+π4=π2，即α=π4時，（a+b）max=4+42；當α+π4=π12或11π12，即α=-π6或2π3時，（a+b）min=2+23.

綜上分析，a+b的最大值是4+42，最小值是2+23.

2.2 不等式思維

解法3：不等式法——基本不等式1.

由a+ba+1+b+1=2，可知a+bgt;0，a≥-1，b≥-1，且a，b不同時為-1.

由a+ba+1+b+1=2，可得a+b=2（a+1+b+1）≤22×

（a+1）+（b+1）=22×a+b+2，即（a+b+2）-22×a+b+2-2≤0，解得0≤a+b+2≤2+2，即a+b+2≤6+42，則a+b≤4+42，當且僅當a+1=b+1，即a=b=2+22時，等號成立.

由a+ba+1+b+1=2，可得a+b=2（a+1+b+1）≥2（a+1）+（b+1）=2a+b+2，

即（a+b+2）-2a+b+2-2≥0，解得a+b+2≤1-3（舍去）或a+b+2≥1+3，即a+b+2≥4+23，則a+b≥2+23，當且僅當a=-1，b=3+23或b=-1，a=3+23時，等號成立.

綜上分析，a+b的最大值是4+42，最小值是2+23.

2.3 函數與方程思維

解法4：方程法——判別式.

依題，由a+ba+1+b+1=2，可設t=a+bgt;0，a+1=x≥0，則有a=x2-1，b=t-a=t-x2+1.

由a+ba+1+b+1=2，可得tx+t-x2+2=2，即t-2x=2t-x2+2，兩邊平方并整理可得8x2-4tx+t2-4t-8=0.

以上關于x的一元二次方程在[0，+∞）上有實根，則其判別式Δ=（-4t）2-32（t2-4t-8）≥0，即t2-8t-16≤0，解得0lt;t≤4+42，即0lt;a+b≤4+42，當且僅當a=b=2+22時，等號成立.

由a+ba+1+b+1=2，可得a+b=2（a+1+b+1）≥2（a+1）+（b+1）=2a+b+2，

即（a+b+2）-2a+b+2-2≥0，解得a+b+2≤1-3（舍去）或a+b+2≥1+3，即a+b+2≥4+23，則a+b≥2+23，當且僅當a=-1，b=3+23或b=-1，a=3+23時，等號成立.

綜上分析，a+b的最大值是4+42，最小值是2+23.

3 變式拓展

變式已知a，b∈R，且a+ba+1+b+1=2，則a+b的取值范圍是.

4 教學啟示

4.1 思路歸納，規律總結

解決此類涉及雙變量的代數式的最值或取值范圍問題時，挖掘問題的內涵，拓展條件的本質，一般的解題思路主要有以下幾個方面：

（1）依托條件巧妙轉化為一元函數，根據函數的單調性，利用函數的圖象與性質，或導數法思維等.

（2）不等式的合理放縮，主要是利用不等式的基本性質，以及重要不等式（基本不等式、均值不等式、柯西不等式以及權方和不等式等）的應用.

（3）基于代數式的結構特征，從中挖掘對應的幾何意義，合理構建對應的數學模型（直線的斜率、兩點間的距離、點到直線的距離及一些曲線的軌跡與方程等），數形結合.

4.2 綜合創設，能力提升

涉及多變量（往往以雙變量為主）場景下的函數、方程及不等式等綜合應用問題，形式多樣，變化多端，可以很好地考查考生的“四基”，特別是對于基礎知識的考查與基本能力的應用，有很好的選拔效果與區分效應，對數學思維能力與數學思想方法的要求比較高，具有較好的區分度.