從通法到妙解：2023年新高考Ⅱ卷第21題的七種解法

1 真題呈現

（2023年新高考Ⅱ卷21題）雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為（-25，0），離心率為5.

（1）求C的方程；

（2）記C的左、右頂點分別為A1，A2，過點（-4，0）的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線MA1與NA2交于P，證明：點P在定直線上.

2 解題思路分析與思維導圖

2.1 思路分析

本題第（1）問比較容易，由題設條件易得雙曲線的標準方程為x24-y216=1.

第（2）問以定點定值問題為載體，考查學生幾何轉化和代數運算的能力.

從解題的角度看，基于直觀想象，根據對稱性很容易分析點P所在的直線應該關于x軸對稱，即在直線x=m上.先通過特殊情況把m求出來，如通過直線MN斜率不存在的情況，求出點P（m，n）的坐標為P（-1，-23），說明本題的答案就是直線x=-1，再證明P（m，n）的橫坐標m=-1.最常見的思路是：設出直線MN，用點M，N的坐標將P（m，n）的橫坐標m表示出來，再利用M，N坐標的“韋達定理關系”或轉化為用韋達定理關系來解決.本題需要對多個變量的“消元”與“關聯”進行合理分析，明確推進方向，否則也可能束手無策，如xP=2my1y2-2y2-6y13y1-y2，本質指向“消m”進而實現將“y1，y2”關聯！也可以通過熟悉的“斜率”模型等來解決，如只需證明kPA1kPA2=nm+2nm-2=-3即可.這樣就降低了題目的運算量.此類問題特殊化和“非對稱韋達定理”的處理，體現了由特殊到一般、轉化化歸的數學思想，滲透了數學抽象、邏輯推理等數學核心素養.

本題的第（2）問有三種思路7種方法，具體分析如下：

思路一：設出直線MN，用點M，N的坐標將P（m，n）的橫坐標m表示出來，再利用M，N坐標的“韋達定理關系”或轉化利用韋達定理關系解決.這種思路可以有如下4種解法：

法1：反設出直線MN：x=my－4，聯立直線與雙曲線，再利用韋達兩根之積與兩根之和的關系3（y1+y2）=2my1y2，將非對稱轉化為對稱.

法2：直線設成點斜式，通過熟悉的“斜率”模型利用雙曲線的第三定義把問題轉化為證明斜率之比為定值．

法3：執果索因，齊次化設直線，構造斜率韋達定理，簡化運算.

法4：直線設成參數方程的形式，避免解法2中斜率不存在的討論.

思路二：設兩條直線MA1與NA2，聯立雙直線，以斜率為變量解決問題.本思路對應解法5.

思路三：設點，避免直線與雙曲線的聯立，體現方程的思想.該思路可以有2種解法：

法6：定比點差，利用三點共線消元，點代入拋物線，對比系數，得到兩個方程進而求解.

法7：曲線系，表示經過四個點的二次曲線系，對比系數得到答案.

2.2 第（2）問的思維導圖

第（2）問思維導圖如圖1所示.

3 試題解析

第（1）問略，下面給出第（2）問的部分解法.

法1：確定x=-1的目標，分析變量代換，將非對稱轉化為對稱.

證明：設M（x1，y1），N（x2，y2），直線MN：x=my-4.因為A1（-2，0），A2（2，0），所以直線MA1的方程為y=y1x1+2（x+2），NA2的方程為y=y2x2-25（x-2）.

聯立y=y1x1+2（x+2），

y=y2x2-2（x-2），結合x1=my1-4，x2=my2-4，解得x=2my1y2-2y2-6y13y1-y2.

聯立x=my-4，

x24-y216=1，得（4m2-1）y2-32my+48=0，可得y1+y2=32m4m2-1，y1y2=484m2-1，Δgt;0，所以3（y1+y2）=2my1y2，從而x=2my1y2-2y2-6y13y1-y2=-1.

所以點P在定直線x=-1上.

評析：首先，此法反設直線MN，解決了設點斜式需要分類討論斜率k是否存在的問題；其次，根據韋達定理得出3（y1+y2）=2my1y2，有效解決了點P的橫坐標x非對稱的問題.總之，此解法運算量雖大，但應該作為常規方法甚至首選方法要求學生重點掌握.

法2：先特殊后一般確定目標，聯想熟悉的斜率模型和第三定義把非對稱轉化為對稱.

證明：（ⅰ）當MN的斜率不存在時，M（-4，43），N（-4，-43），所以直線MA1的方程為23x+y+43=0，NA2的方程為2x-3y-4=0.

聯立23x+y+43=0，

2x-3y-4=0，解得P（-1，-23）.由對稱性知，點P所在定直線必與x軸垂直，所以該定直線方程為x=-1.

（ⅱ）當MN的斜率存在時，設直線MN：y=k（x+4），M（x1，y1），N（x2，y2），P（m，n）.

聯立y=k（x+4），

x24-y216=1，可得（4-k2）x2-8k2x-16k2-16=0，其中Δ＞0.

于是x1+x2=8k24-k2，x1x2=-16k2-164-k2，進一步計算可得y1y2=48k24-k2.

因為點N在雙曲線上，所以x224-y2216=1，則y22=16x224-1，于是可得kNA1kNA2=y2x2-25y2x2+2=4.

由M，A1，P三點共線，N，A2，P三點共線，得

kPA1kPA2=kPA1kNA2=kPA1×14kNA1=14kMA1kNA1=14×y1x1+2×y2x2+2=14×y1y2x1x2+2（x1+x2）+4=-3.

由kPA1kPA2=-3，解得m=-1，所以點P在定直線x=-1上.

綜上所述，點P在定直線x=-1上.

評析：此方法把點P的橫坐標的求解轉化為kPA1kPA2是定值，化解了求點P的橫坐標這個難點；其次，根據雙曲線第三定義把kNA2轉化為4kNA1有效解決了非對稱的問題；再者，通過考慮直線MN斜率不存在的情況就可以得到本題的答案.當然，能否聯想到斜率模型，對學生基本模型的熟練程度有較高要求.

法3：齊次化法，構造斜率“韋達定理”.

證明：（ⅰ）設M（x1，y1），N（x2，y2），直線MN：m（x+2）+ny=1.

因為直線MN過點（-4，0），所以m=-12.

由4x2-y2-16=0，得4（x+2-2）2-y2-16=0，則4（x+2）2-y2-16（x+2）=0，所以可得4（x+2）2-y2-16（x+2）［m（x+2）+ny］=0，于是y2+16n（x+2）y-（4-16m）（x+2）2=0，整理為yx+22+16nyx+2-4+16m=0.

由韋達定理，知kMA1·kNA1=y1x1+2·y1x1+2=16m-4=-12.

因為點N在雙曲線上，則x224-y2216=1，所以y22=16x224-1，于是可得kNA1kNA2=y2x2-25y2x2+2=4.

因為kPA1=kMA1，kPA2=kNA2，所以kPA1kPA2=-3，解得x=-1，所以點P在定直線x=-1上.

綜上所述，點P在定直線x=-1上.

掃碼看具體過程評析：此方法通過“齊次化”，直接找到kMA1與kNA1的關系，再利用第三定義找到kNA1與kNA2的關系，進而找到kMA1kNA2=kPA1kPA2是定值，有效解決

了非對稱的問題.當然，能否聯想到斜率“齊次化”模型，對學生基本模型的熟練程度有較高要求.

法4：直線的參數方程.略，掃碼看具體過程.

評析：此法可以避免法2中對斜率不存在情況的單獨討論，運算量也比法2有一定的優越性，但本質與法2相同，也是利用第三定義把非對稱韋達定理轉化為對稱的韋達定理.

法5：先特殊后一般確定目標，聯立“雙直線”，以“斜率”為變量解決問題.

證明：（ⅰ）當直線MN的斜率不存在時，點M，N的坐標分別為M（－4，43），N（－4，－43）.

所以，直線MA1的方程為23x+y+43=0，直線NA2的方程為2x－3y－4=0.

聯立23x+y+43=0，

2x－3y－4=0，解得P（－1，－23）.

由對稱性知，該定直線必與x軸垂直，所以該定直線方程為x=－1.

所以，此時P在定直線x=－1上．

（ⅱ）分別設直線MA1：y=k1（x+2），NA2：y=k2（x－2），直線MN：y=k（x+4）.

設M（x1，y1），N（x2，y2），由y=k1（x+2），

x24－y216=1，得（4－k21）x2－4k21x－4k21－16=0.

所以－2x1=－4k21－44－k21，即x1=2k21+84－k21，則y1=k12k21+84－k21+2=16k14－k21.

同理，得x2=-2k22+84－k22，y2=-16k24－k22.

設T（－4，0），則有kMT=kNT，即16k14－k2124-2k214－k21=-16k24－k22-6k22+84－k22，整理得（k1k2－4）（k1+3k2）=0.

由M，N在左支上，可知k1k2lt;0，則k1=-3k2.

設P（m，n），則k1k2=nm+2nm－2=－3，即m=－1，故點P在定直線x=－1上.

綜上所述，點P在定直線x=－1上．

評析：此方法將M，N坐標用直線MA1，NA2的斜率k1，k2表示，再根據三點共線找到關系式k1k2=－3，問題迎刃而解．

法6與法7略，掃前文二維碼看具體過程.