基于課程標準探究數學抽象素養三種水平試題考查特點及 教學啟示

1 課程標準要求

《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》指出數學學科核心素養中的數學抽象素養的水平劃分共有三個層次，各層次有不同的特點和要求：水平一要求學生能夠識別和提取數學對象的基本特征，并運用符號、公式和圖形表達這些特征，具備初步的抽象能力；水平二則要求學生能夠對數學問題進行抽象概括，構建數學模型并解決實際問題，強調學生的抽象和概括能力；水平三則要求學生能夠在更高層次上理解和探索數學對象之間的內在聯系，具備創新性思維和推理能力，能夠對數學對象進行創造性的抽象和概括.總體而言，三個層次從基礎到高級逐步提高，體現了數學抽象能力的不斷深化和提升，核心在于從具體情境中抽象概念到在復雜情境中創造性解決問題.

2 三個水平層次試題分析

2.1 水平一類的試題

例1已知m∈R，命題p：x∈R，x2-4x+2m≥0，命題q：m≥3，則p是q的（）.

A.充分不必要條件

B.必要不充分條件

C.充要條件

D.既不充分也不必要條件

解析：因為x∈R，x2-4x+2m≥0，則Δ=16-8m≤0，解得m≥2，所以p是q的必要不充分條件.

故選：B.

考查特點分析：首先，需要識別并理解命題p和q的數學意義，這是數學抽象的基礎.求解過程中，需要對命題的條件和結論進行辨析，能夠解釋命題中的數學概念和規則，從而在熟悉的情境中抽象出相應的數學問題.這一過程體現了數學抽象素養的核心要求，即在具體情境中提取出數學本質，形成數學概念和命題.

其次，學生需要在解決問題的過程中運用所學的數學方法，對命題p和q進行邏輯推理和論證，確定p和q之間的關系.2.2 水平二類的試題

例2如圖1，某校學生生活區如矩形ABCD所示，其中O為生活區入口.已知有三條路AB，BC，AD，路AD上有一個觀賞塘T，其中AT=300 m，路BC上有一個風雨走廊的入口L，其中BL=200 m.現要修建兩條路OT，OL，修建OT，OL費用成本分別為2λ/m，3λ/m.設∠TOA=α.

（1）當AO=600 m，BO=200 m時，求張角∠TOL的正切值；

（2）當OT⊥OL時，求當α取多少時，修建OT，OL的總費用最少，并求出此總費用.

解析：（1）設∠LOB=β，β為銳角，則tan β=LBOB=1;又∠TOA=α，則tan α=TAOA=12.故tan ∠TOL=tan ［π-（α+β）］=-tan（α+β）=-tan α+tan β1-tan αtan β=-12+11-12×1=-3.

（2）當OT⊥OL時，∠LOB=π2-α，α∈0，π2，則OT=300sin α，OL=200sinπ2-α=200cos α.

設修建OT，OL的總費用為y，則y=300sin α×2λ+200cos α×3λ=600λ51sin α+1cos α=600λ5sin α+cos αsin αcos α.

設t=sin α+cos α，則t=2sinα+π4∈（1，2］，則sin αcos α=t2-12，故y=600λ5sin α+cos αsin αcos α=600λ52tt2-1=1 200λ51t-1t.

由于y=t-1t在（1，2］上單調遞增，故0lt;t-1t≤22，t=2時取得等號，故y=1 200λ51t-1t的最小值為1 200λ5122=1 2002λ，此時t=2，即α=π4時，修OT，OL的總費用最少，最少為1 2002λ.

考查特點分析：首先，試題通過關聯的情境，要求學生抽象出一般的數學概念和規則.學生需要根據題目給出的條件，理解相關的數學模型，并運用這些模型進行推理和計算，這符合水平二對數學抽象思維的考查要求.

其次在解題過程中，對學生數學語言的理解和運用、數學概念及規則的理解和表達、數學關系的推理和論證都提出了較高的要求.因此，學生需要通過對具體數據和情境的分析，提煉出解決一類問題的數學方法，理解其中蘊含的數學思想[1].

2.3 水平三類的試題

例3設集合S，T（S∈N*，T∈N*，S，T中至少有兩個元素，且S，T滿足：①對于任意x，y∈S，若x≠y，都有xy∈T；②對于任意x，y∈T，若xlt;y，則yx∈S.下列命題正確的是（）.

A.若S有4個元素，則S∪T有7個元素

B.若S有4個元素，則S∪T有6個元素

C.若S有3個元素，則S∪T有5個元素

D.若S有3個元素，則S∪T有4個元素

解析：取S={1，2，4}，則T={2，4，8}，S∪T={1，2，4，8}，4個元素，排除C；取S={2，4，8}，則T={8，16，32}，S∪T={2，4，8，16，32}，5個元素，排除D；取S={2，4，8，16}，則有T={8，16，32，64，128}，S∪T={2，4，8，16，32，64，128}，7個元素，排除B.

對于S={a，b，c，d}且alt;blt;clt;d，a，b，c，d∈N*，由列表法得：T={ab，ac，bc，ad，bd，cd}且ablt;aclt;min{bc，ad}lt;max{bc，ad}lt;bdlt;cd，此時要滿足xlt;y，有yx∈S……最終可得S={a，a2，a3，a4}，且T={a3，a4，a5，a6，a7}，注意a≠1，所以S∪T={a，a2，a3，a4，a5，a6，a7}，共有7個元素.故選：A.

考查特點分析：首先，題目中設定了兩個集合S和T，并提供了兩個特定的條件①和②，這要求學生能夠理解這些條件所描述的數學關系，并在此基礎上抽象出具體的數學問題.學生需要通過對集合元素及其關系的分析，運用數學語言表達這些關系，并進一步推導出集合S和T的具體特征.這一過程培養了學生在復雜情境中抽象出數學問題并形成新命題的能力，符合水平三對數學抽象思維的要求.

其次，試題要求學生在解決具體問題時運用或創造數學方法，理解數學結論的一般性，并感悟數學原理和思想.學生需要針對題目中給出的條件，通過邏輯推理和數學運算，得出正確的結論.在這個過程中，他們必須理解和運用集合的基本性質和運算規則，逐步推導命題是否正確.通過這一過程，學生不僅能夠理解數學對象、運算或關系的抽象結構，還能夠在具體問題中感悟數學知識的有序多級體系.

最終，學生需要用準確的數學語言表達自己的解題思路和結論，展示其把握研究對象數學特征的能力.這種深入的分析和推理過程，有助于學生在現實問題中應用數學原理解釋現象，提升其綜合運用數學知識解決問題的能力.

綜上所述，本題通過復雜條件引導學生抽象數學問題，并運用或創造數學方法解決問題，培養綜合數學思維和表達能力，符合課程標準對數學抽象素養水平三的要求.

3 教學啟示

在數學教學中，應嚴格遵循課標對素養培養的層次要求，確保教學活動始終沿著正確的方向進行.首先，教學設計應注重循序漸進，按照課標中對數學抽象素養的不同水平進行分層次教學.結合水平一的考查要求，教師應當提高學生在熟悉情境中運用所學方法解決數學問題的能力，進而掌握在情境中抽象數學概念和規則的能力.基于水平二的要求，教師應注重創設關聯情境，即培養學生在關聯情境中抽象出更一般的數學概念和規則的能力.對于水平三，則應發揮綜合情境的重要作用，要求學生能夠運用正確的數學語言及創造性的數學方法解決復雜問題.

此外，教師應注重試題在培養學生核心素養方面的作用，通過有針對性的試題的練習和講解，引導學生在復雜情境中提煉數學問題，運用數學語言表達抽象概念，并通過邏輯推理和數學方法解決問題.

參考文獻：

[1]馬艷艷.高中數學概念教學中數學抽象與直觀想象素養的培育研究[D].重慶：重慶師范大學，2023.