例析解三角形與三角函數、幾何圖形及平面向量結合的三類 問題

解三角形與三角函數、幾何圖形及平面向量結合的試題，不僅能綜合考查學生對多個數學概念的理解和應用能力，還能促進他們的綜合思維、問題解決能力及應用意識的發展，是培養學生數學素養的重要途徑之一.

1 知識點梳理

（1）兩角和與差的正弦、余弦與正切公式

①sin（α±β）=sin αcos β±cos αsin β；

②cos（α±β）=cos αcos βsin αsin β；

③tan（α±β）=tan α±tan β1tan αtan β.

（2）二倍角公式

①sin 2α=2sin αcos α；

②cos 2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α；

③tan 2α=2tan α1-tan2α.

（3）降冪公式

sin αcos α=12sin 2α;

sin2α=1-cos 2α2;

cos2α=1+cos 2α2.

（4）輔助角公式

asin α+bcos α=a2+b2sin（α+φ）其中sin φ=ba2+b2，cos φ=aa2+b2，tan φ=ba.

（5）三角形角的關系

①△ABC中，A+B+C=π，A2+B2+C2=π2；

②sin（A+B）=sin（π-C）=sin C，

cos（A+B）=cos（π-C）=-cos C；

③sinA+B2=sinπ2-C2=cosC2，

cosA+B2=cosπ2-C2=sinC2.

2 解三角形與三角函數、幾何圖形及平面向量結合的三類問題2.1 解三角形與三角函數結合

解題路徑分析：仔細閱讀題目，確保理解題目所要求的內容.識別問題中涉及的三角形和三角函數的相關概念；根據題目提供的信息，繪制出所涉及的三角形，確保按照題目給出的條件準確繪制，這有助于更清晰地理解問題；利用三角函數的定義和性質，分析所給的條件與需要求解的未知量之間的關系.例如，利用正弦定理、余弦定理，以及正弦、余弦和正切等函數的定義來建立方程或者關系式，將所得到的方程或者關系式化簡，以便求解未知量.這可能涉及代數運算、三角函數值的計算等.

例1已知函數f（x）=2sin（ωx+φ）ωgt;0，-π2lt;φlt;π2的部分圖象如圖1所示.

（1）求函數f（x）的解析式；

（2）在銳角△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，若f（A）=3，b=2，且△ABC的面積為332，求a.

解析：（1）據圖象可得3T4=5π12--π3=3π4，故T=π.由T=2πω=π，得ω=2.由f5π12=2sin2×5π12+φ=2，得sin5π6+φ=1.由-π2lt;φlt;π2，得π3lt;5π6+φlt;4π3，則5π6+φ=π2，解得φ=-π3.

所以f（x）=2sin2x-π3.

（2）由f（A）=3，可得sin2A-π3=32.

由A∈0，π2，得2A-π3∈-π3，2π3，所以2A-π3=π3，則A=π3.由題意得△ABC的面積為12×2×c×sinπ3=332，解得c=3.由余弦定理得a2=b2+c2-2bccos A=22+32-2×2×3cosπ3=7，所以a=7.

2.2 解三角形與幾何圖形結合

解題路徑分析：解答解三角形與幾何圖形相結合類問題有兩個關鍵.（1）分析幾何關系.厘清題目中所涉及的三角形和幾何圖形的基本關系，包括確定角度、邊長、面積等幾何屬性之間的關系，可以利用相似性、對稱性等幾何性質來簡化問題.（2）運用三角函數.根據題目要求，應用三角函數的定義和性質，建立與角度相關的方程或者關系式.這可能涉及正弦、余弦、正切等函數.

例2如圖2，在平面四邊形ABCD中，AB=33，AC=43，cos∠ABC=1313，∠BAC=∠CAD，△ACD的面積為243.求AD.

解析：在△ABC中，由余弦定理可得AC2=AB2+BC2-2AB×BCcos∠ABC，即48=27+BC2-2×33×BC×1313，則13BC2-639BC-7×39=0，解得BC=39，所以cos∠BAC=AB2+AC2-BC22AB·AC=27+48-392×33×43=12.又因為∠BAC∈（0，π），所以∠BAC=π3，所以∠CAD=∠BAC=π3.因為S△ACD=12×AD×ACsin∠CAD=12×AD×43×32=243，解得AD=83.

2.3 解三角形與平面向量結合

解三角形與平面向量結合的常見題型共有7類，具體見表1.

解題路徑分析：確定向量表示.首先，根據題目給出的信息，確定三角形的頂點或者特殊點的向量表示.這可能涉及使用向量的起點和終點來表示各邊對應的向量或者從頂點到特殊點的向量.

運用向量運算解決幾何問題.在確定了向量表示后，通常要利用向量的加法、減法、數量積、向量積等運算來解決具體的幾何問題.例如，通過向量的數量積計算角的關系，或者通過數量的數量積計算面積等.

利用向量證明或推導幾何關系.在解題過程中，有時候需要利用向量運算來證明或者推導三角形的幾何關系，如證明三角形的某些線段平行或者相等，或者推導出三角形的面積計算公式等.

例3如圖3，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于交于點M，N.

（1）求BD·DC的值；

（2）若Q是BC的中點，求QM·QN的取值范圍；

（3）若P是平面上一點，且滿足2OP=λOB+（1-λ）OC，求PM·PN的最小值.

解析：（1）由題意，可得

BD·DC=（BC+CD）·DC=-CD2=-4.

（2）由在正方形ABCD中，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于交于點M，N，知點O為線段MN的中點，則QM·QN=（QO+OM）·（QO+ON）=QO2-OM2.由正方形ABCD的邊長為2，Q是BC的中點，知|QO|=1，1≤|OM|≤2則-1≤QM·QN≤0即QM·QN的取值范圍為-1，0.

（3）PM·PN=（PO+OM）·（PO+ON）=PO2-OM2.令OT=2OP，由OT=2OP=λOB+（1-λ）OC，可知點T在BC上，則|OT|≥1.從而|OP|≥12.因為1≤|OM|≤2，所以PM·PN=PO2-OM2≥14-2=-74，即PM·PN的最小值為-74.