探析分段函數單調性

摘要：考查分段函數單調性的試題在高考中多次出現，但學生在解決這類問題時，卻經常失分.本文中基于函數單調性的定義，結合數形結合思想，利用相關圖象，讓學生能夠深刻理解分段函數的單調性，提高解決該類問題的能力.

關鍵詞：分段函數；單調性；數形結合

1 呈現問題

已知函數f（x）=3x-1，xlt;1，

ax，x≥1，其中a為實數，若f（x）在R上單調遞增，求實數a的取值范圍.

2 思考問題

常見解答：當x≥1時，若f（x）=ax單調遞增，則agt;0；當xlt;1時，f（x）=3x-1單調遞增，從而可得agt;0.

請同學們思考一下，這種解答對嗎？

這種解答是錯誤的，以上解法只能說明函數f（x）在（-∞，1），［1，+∞）上分別單調遞增，但并不能保證函數f（x）在R上單調遞增.這種錯誤也是同學們容易犯的.那么怎么來解決這個問題呢？下面我們一起來探究.

3 探究問題

3.1 分段函數是增函數

（1）若函數f（x）=g（x），xlt;a，

m（x），x≥a，其中a為實數，f（x）在R上單調遞增，請問下面哪個圖形符合？

根據函數單調遞增的定義：對于某個區間上自變量的任意兩個值x1，x2，當x1lt;x2時，都有f（x1）lt;f（x2），則函數f（x）在這個區間上單調遞增.很顯然，對于圖2，有g（x1）gt;m（x2），不滿足定義；圖1符合.

結論1：對于分段函數f（x）=g（x），xlt;a，

m（x），x≥a，若其是定義域上的增函數，則需要滿足3個條件，即g（x）單調遞增，

m（x）單調遞增，

g（a）≤f（a）.

3.2 分段函數是減函數

（2）有函數f（x）=g（x），xlt;a

m（x），x≥a，其中a為實數，f（x）在R上單調遞減，請問下面哪個圖形符合？

根據函數單調遞減的定義：對于某個區間上自變量的任意兩個值x1，x2，當x1lt;x2時，都有f（x1）gt;f（x2），則函數f（x）在這個區間上單調遞減.很顯然，對于圖4，有g（x1）lt;m（x2），不滿足定義；圖3符合.

結論2：對于分段函數f（x）=g（x），xlt;a，

m（x），x≥a，若其是定義域上的減函數，則需要滿足3個條件，即g（x）單調遞減，

m（x）單調遞減，

g（a）≥m（a）.

以上得到的兩個結論，不需要死記硬背，圖象簡單一畫，即一目了然，便于理解.

4 解決問題

我們現在回到文章開始的問題：已知函數f（x）=3x-1，xlt;1，

ax，x≥1，其中a為實數，f（x）在R上單調遞增，求實數a的取值范圍.

分析：首先簡單作出函數圖象，如圖5，然后看圖寫話即可.

解：作出f（x）的大致圖象，如圖5.

①當x≥1時，若m（x）=ax單調遞增，則agt;0.

②當xlt;1時，g（x）=3x-1單調遞增.

③根據g（1）≤m（1），可得3-1≤a，即a≥2.

綜上所述，實數a的取值范圍是［2，+∞）.

5 高考真題

題1（2024年全國高考新課標Ⅰ卷第6題）已知函數f（x）=-x2-2ax-a，xlt;0，

ex+ln（x+1），x≥0在R上單調遞增，則a的取值范圍是（）.

A.（-∞，0］B.［-1，0］

C.［-1，1］D.［0，+∞）

解：要滿足f（x）在R上單調遞增，需分段討論.

①當x≥0時，y=ex和y=ln（x+1）均單調遞增，那么f（x）=ex+ln（x+1）單調遞增.

②當xlt;0時，由y=-x2-2ax-a的圖象（如圖6）知，要使其在（-∞，0）上單調遞增，則其對稱軸x=--2a2×（-1）≥0，則a≤0.

③由-a≤e0+ln 1，解得a≥-1.

綜上所述，a的范圍是［-1，0］.故選：B.

題2（2006年北京卷理科第5題）已知函數f（x）=（3a-1）x+4a，xlt;1，

logax，x≥1是（-∞，+∞）上的減函數，那么a的取值范圍是（）.

A.（0，1）B.0，13

C.17，13D.17，1

解：依題意，作出示意圖7.

①當x≥1時，若g（x）=logax單調遞減，則易知0lt;alt;1.

②當xlt;1時，若h（x）=（3a-1）x+4a單調遞減，則易知3a-1lt;0，解得alt;13.

③由h（1）≥g（1），得7a-1≥0，則a≥17.

綜上所述，a∈17，13.故選：C.

題3（2016年天津卷理科第8題）已知函數f（x）=x2+（4a-3）x+3a，xlt;0，

loga（x+1）+1，x≥0（agt;0，且a≠1）在R上單調遞減，且關于x的方程|f（x）|=2-x恰有兩個不相等的實數解，則實數a的取值范圍是（）.

A.0，23B.23，34

C.13，23∪34D.13，23∪34

解：由f（x）在R上單調遞減，有

0lt;alt;1，

-4a-32≥0，

02+（4a-3）×0+3a≥loga（0+1）+1.

解得13≤a≤34.

易知，在［0，+∞）上，|f（x）|=2-x有且只有一個解，則在（-∞，0）上，|f（x）|=2-x同樣有且只有一個解.

當3agt;2，即agt;23時，令x2+（4a-3）x+3a=2-x，即x2+（4a-2）x+3a-2=0，由Δ=（4a-2）2-4（3a-2）=0，解得a=1或a=34，其中a=1舍去.

當1≤3a≤2，即13≤a≤23時，由圖象知符合題意.

故選：C.

6 變式提升

變式1若函數f（x）=x|x-a|+2x在R上單調遞增，則實數a的取值范圍是.

變式2已知函數f（x）=（a-2）x，x≥2，

-18x-12，xlt;2，滿足對任意的實數x1≠x2，都有f（x1）-f（x2）x1-x2lt;0成立，則實數a的取值范圍為（）.

A.（-∞，2）B.-∞，138

C.（-∞，2］D.-∞，138

答案：變式1填［-2，2］；變式2選D.

7 問題總結

在講解一個比較復雜的知識點的時候，讓學生清晰、直觀地去探索問題是非常有必要的.本文中基于函數單調性的定義，結合相關函數的圖象，引導學生自我總結、自我體會，提高了他們分析問題、解決問題的能力，這樣他們在以后遇到該知識點的考查時，也能從容不迫，提高勝算！