三角形中的最值或范圍問題

在高中數學知識體系中，三角形中的最值（范圍）問題占據重要地位.這類問題常常緊密結合三角形的邊角關系、三角函數、函數與不等式等知識，全面考查學生對多方面知識的綜合運用能力與數學思維水平.

三角形中的最值（范圍）問題是一類重要且具挑戰性的題型.它不僅綜合考查三角函數、函數與不等式等多方面知識，還對學生的數學思維與解題能力有較高要求.求解此類問題，需靈活運用各種數學方法與技巧.學生在面對此類問題時，往往因涉及知識眾多、解題方法靈活多變而感到困難.本文中將詳細介紹利用三角函數的性質、構造新元函數以及運用基本不等式這三種常用方法.

1 利用三角函數的性質求最值（范圍）

例1在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos 2A＋cos 2B-cos 2C＝1-2sin Asin B.

（1）求角C的大小；

（2）求sin A＋sin B＋sin C的取值范圍.

解：（1）因為cos 2A＋cos 2B-cos 2C＝1-2sin Asin B，所以

1-2sin2A＋1-2sin2B-（1-2sin2C）＝1-2sin Asin B.

整理，得sin2A＋sin2B-sin2C＝sin Asin B.

由正弦定理，得a2＋b2-c2＝ab.

由余弦定理，得cos C＝a2＋b2-c22ab＝12.

又C∈（0，π），所以C＝π3.

（2）由（1），可得

sin A＋sin B＋sin C＝sin A＋sin2π3-A＋32＝sin A＋sin2π3cos A-cos2π3sin A＋32＝32sin A＋32cos A＋32＝3sinA＋π6＋32.

在△ABC中，由C＝π3，得0＜A＜2π3.

所以π6＜A＋π6＜5π6，則12＜sinA＋π6≤1，可得3＜3sinA＋π6＋32≤332.

所以sin A＋sin B＋sin C的取值范圍為3，332.

點評：先利用正弦定理化角為邊，再利用三角形內角和定理和輔助角公式，將目標函數轉化為只含一個角的三角函數，最后利用三角函數的性質求解.

例2在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，2sin A+11-2cos A＝sin Ccos C.

（1）若B＝π6，求C；

（2）若B∈π6，π4，求cb的取值范圍.

解：（1）因為2sin A+11-2cos A＝sin Ccos C，所以可知cos C≠0，

cos A≠22，即C≠π2，

A≠π4.

所以2sin Acos C＋cos C＝sin C-2cos Asin C，即2sin（A＋C）＝sin C-cos C.

又A＋B＋C＝π，所以2sin B＝2sinC-π4.

所以B＝C-π4或B＋C-π4＝π（舍去），當B＝π6時，C＝5π12.

（2）由（1）結合正弦定理，得

cb＝sin Csin B＝sinB＋π4sin B＝22（sin B＋cos B）sin B＝221＋1tan B.

因為B∈π6，π4，所以tan B∈33，1.

因為函數y＝221＋1x在33，1上單調遞減，所以cb的取值范圍為2，6＋22.

2 構造轉化為新元函數求最值（范圍）

例3△ABC的三個內角為A，B，C，求當A為何值時，cos A＋2cosB＋C2取得最大值，并求出這個最大值.

解：由A＋B＋C＝π，得B＋C2＝π2-A2，則cosB＋C2＝sinA2.

所以cos A＋2cosB＋C2＝cos A＋2sinA2＝1-2sin2A2＋2sinA2.

令t＝sinA2，由0＜A＜π，得0＜A2＜π2，則t∈（0，1），所以原式可看作關于t的二次函數，即

y＝-2t-122＋32.

故當t＝12，即sinA2＝12，A＝π3時，cos A＋2cosB＋C2取得最大值，最大值為32.

點評：利用換元法構造關于新元且熟知的函數（如一次函數，二次函數，指數函數，對數函數等），在新元所在的區間內求最值（范圍），有時也可利用導數求最值（范圍）.

3 運用基本不等式求最值（范圍）

例4在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知3（a2＋c2-b2）＝-2absin C.

（1）求角B；

（2）若D為AC的中點，且BD＝2，求△ABC面積的最大值.

解：（1）由3（a2＋c2-b2）＝-2absin C，可以得到3（a2＋c2-b2）＝-2acsin B，即

3（a2＋c2-b2）2ac＝-sin B.

由余弦定理，得3cos B＝-sin B.

因為cos B≠0，所以tan B＝-3.

又0＜B＜π，所以B＝2π3.

（2）由BD＝12（BA＋BC），可得

BD2＝14BA2＋12BA·BC＋14BC2.

所以14c2＋12accos2π3＋14a2＝4，即

a2＋c2-ac＝16.

又a2＋c2≥2ac，所以ac≤16.

所以S△ABC＝12acsin2π3≤12×16sin2π3＝43，當且僅當a＝4，c＝4時取等號.

故△ABC面積的最大值為43.

點評：在解三角形問題中，常利用a+b≥2ab（a，bgt;0，當且僅當a=b時取等號）及其變形來求解最值，解題時需注意滿足“一正二定三相等”條件.

例5記△ABC的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知cos C＋（cos B-22sin B）cos A＝0.

（1）求cos A的值；

（2）若b＋c＝1，求a的取值范圍.

解：（1）由cos C＋（cos B-22sin B）cos A＝0，及cos C＝-cos（A＋B）＝-cos Acos B＋sin Asin B，可得

-cos Acos B＋sin Asin B＋cos Acos B-22sin Bcos A＝0.

整理，得sin Asin B-22sin Bcos A＝0.

又因為0＜B＜π，0＜A＜π，則sin B≠0，所以sin A＝22cos Agt;0.結合sin2A＋cos2A=1，可得9cos2A＝1，又A為銳角，所以cos A＝13.

（2）由余弦定理，知

a2＝b2＋c2-2bccos A＝（b＋c）2-83bc.

因為bc≤b＋c22，所以a2≥13（b＋c）2＝13，于是a≥33，當且僅當b＝c＝12時，等號成立.

又a＜b＋c＝1，所以a的取值范圍為33，1.

利用三角函數性質，關鍵在于準確把握三角函數的有界性與單調性，通過邊與角的相互轉化構建與三角函數相關的表達式，進而求解最值（范圍）.構造新元函數方法，需要依據三角形的邊長或角度關系，巧妙引入新變量，將復雜的幾何問題轉化為函數問題，借助函數的各種性質來確定最值（范圍）.基本不等式的應用則著重于對其條件的精準把握和靈活變形，通過對三角形邊或角關系的分析，合理運用基本不等式及其變形公式來得出最值（范圍）.