親歷概念生成，悟出“規(guī)定”之合理

摘要：單元起始課是大單元教學(xué)的起點，本文中以“任意角”教學(xué)設(shè)計為例，闡述起始概念課中要注意：整體教學(xué)、新知引入的必要和合理性、類比遷移、親歷生成以及體現(xiàn)的思想方法這幾點，使核心素養(yǎng)培養(yǎng)切實落地.

關(guān)鍵詞：任意角；起始課；合理性

1 新教材分析

本節(jié)課是人教A版高一數(shù)學(xué)必修第一冊5.1.1的內(nèi)容，通過實際問題，樹立運動變化的觀點，讓學(xué)生動手作圖加深印象，概念建立過程中隱含的抽象、歸納、概括、類比、數(shù)形結(jié)合等思想方法和思維方法則有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提升.

2 教學(xué)過程

2.1 創(chuàng)設(shè)情境，引發(fā)認知沖突

師：前面我們學(xué)習(xí)了冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)，知道每一類函數(shù)都可以用來刻畫現(xiàn)實世界中一類現(xiàn)象的變化規(guī)律，其中周而復(fù)始的現(xiàn)象就普遍存在，請閱讀教材第168頁的章引言并觀察下方的月相圖.

教學(xué)說明：章引言文字交代了“循環(huán)往復(fù)，周而復(fù)始”的變化現(xiàn)象，圖形也顯示了這一特征，明確本章研究內(nèi)容、過程和方法，對后面的學(xué)習(xí)起到先行組織者的作用.

師：古代詩人蘇軾在《水調(diào)歌頭》里提到“人有悲歡離合，月有陰晴圓缺”，這是對月相盈虧圖的完美詮釋.這張圖還在哪里見到過？

生：地理上.

師：我們在研究數(shù)學(xué)的路上從不孤單，這是學(xué)科整合的體現(xiàn).月相的過程大概是29.53天，再如單擺運動、鐘表上指針的旋轉(zhuǎn)，它們都有周而復(fù)始的規(guī)律，這種規(guī)律稱為周期性.本章大單元教學(xué)下研究的三角函數(shù)是最好的模型.把實例具體化，從圓周運動的研究開始，圓O上的點P以A為起點逆時針旋轉(zhuǎn)，如何刻畫點P的位置變化呢？

教學(xué)說明：解釋課本例子顯示的特征規(guī)律，以熟悉的圓周運動做背景，提出要研究的問題.

生：用角來刻畫.

問題1我們回顧一下，初中是怎么定義角的？

師：動態(tài)定義告訴我們角可以通過旋轉(zhuǎn)而來，圓O中以O(shè)A為始邊，逆時針旋轉(zhuǎn)到終止位置OP，形成角α，OP的位置確定，則點P的位置也確定，那OA在繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)一周的過程中，角α大小范圍是什么？

生：齊答0°～360°.

2.2 歸納總結(jié)，完善概念

師：繼續(xù)旋轉(zhuǎn)呢？有必要先對角的范圍進行擴充，這就是本堂課要研究的任意角.

問題2同學(xué)們能舉出生活中超過0°～360°角的例子嗎？

師：摩天輪的旋轉(zhuǎn)，沒坐過摩天輪的同學(xué)可以嘗試下，坐的是摩天輪，旋轉(zhuǎn)的是任意角.

問題3①鐘表慢了5 min，分針如何校對？鐘表快了1.5 h呢？

②將瓶蓋旋轉(zhuǎn)30°，瓶蓋變松了還是變緊了？

師：哪位同學(xué)把你的校對過程展示給大家？（鐘表作為道具.）

教學(xué)說明：從生活實例入手，體現(xiàn)了生活中處處是數(shù)學(xué)，學(xué)生一時不知道用什么詞來刻畫角的方向和大小，教師要有耐心，一步步引導(dǎo)學(xué)生通過自己的發(fā)現(xiàn)得到結(jié)論.

問題4刻畫角的關(guān)鍵量是什么？

師：旋轉(zhuǎn)量表明了旋轉(zhuǎn)度數(shù)的大小，旋轉(zhuǎn)方向呢？為了保證擴充角的過程的合理性，我們回顧數(shù)系擴充中的正數(shù)和負數(shù)之分，由此類比得出.

問題5你能試著將角的定義進行推廣嗎？（PPT展示.）

師：規(guī)定逆時針方向為正角是有它的道理的，生活中也偏愛逆時針，比如操場上跑步，通常都是逆時針方向，這跟人的身體機能有關(guān).

追問：你能從任意角出發(fā)，重新描述鐘表的校對過程嗎？

師：時鐘指針旋轉(zhuǎn)所成角都是負角.角的圖形語言呢？如何畫出210°角和-660°角.（老師示范，強調(diào)箭頭和弧度.）

2.3 深化概念，引進象限角

師：我們定義一個新的對象，除了它的表示，還要研究它的關(guān)系和運算.類比實數(shù)的相反數(shù)，我們引入相等角和α的相反角.

問題6類比實數(shù)的加減運算，如何規(guī)定角的加法呢？請同學(xué)們先閱讀課本第169頁，然后回答問題.

學(xué)生活動：學(xué)生思考討論.

師：每一個實數(shù)都與數(shù)軸上的一個點相互對應(yīng)，比如2+3就是將數(shù)軸上與2對應(yīng)的點向右移動3個單位長度.

我們規(guī)定：α+β是將角α的終邊逆時針旋轉(zhuǎn)β角，這時終邊的對應(yīng)角就是α+β，進而利用相反角，得出α－β=α+（－β）.

問題7利用圖形，解釋30°±50°加減法的幾何意義.

教學(xué)說明：類比數(shù)系的擴充，將角的概念推廣到任意角，繼續(xù)提出要研究的問題是角的關(guān)系和運算，獲得新知識的同時，培養(yǎng)學(xué)生利用類比提出問題、分析與解決問題的能力.

學(xué)生活動：學(xué)生在本子上分別畫出30°，-330°，-150°角.

師：為了后面更好地研究三角函數(shù)，我們通常把角放到直角坐標系中，使得角的頂點與坐標原點重合，始邊與x軸的非負半軸重合.此時又如何對角進行分類呢？標準是什么？

學(xué)生活動：學(xué)生相互討論，老師補充.

問題8剛才所畫角是第幾象限角？銳角是第幾象限角？第一象限角一定是銳角嗎？

探究在平面直角坐標系中，象限角之間有怎樣的關(guān)系呢？如果給定角，角的終邊唯一確定嗎？反之，給定終邊，角唯一確定嗎？終邊相同的角之間有怎樣的關(guān)系呢？

師：問題具體化，與30°終邊相同的角有什么聯(lián)系？

學(xué)生活動：探究與30°終邊相同的角.（學(xué)生討論，教師指導(dǎo).）

學(xué)生回答后，教師動態(tài)演示幾個終邊相同角的旋轉(zhuǎn)過程，引導(dǎo)學(xué)生理解并得出與30°終邊相同角的集合表示為S={β|β=30°+k×360°，k∈Z}.

追問：將30°推廣到一般，得到與α終邊相同的角的集合S={β|β=α+k×360°，k∈Z}.

教學(xué)說明：從數(shù)上再次體現(xiàn)了角“周而復(fù)始”的規(guī)律，也通過化歸的方式將任意角和0°～360°角之間搭起一座橋梁.采取從特殊到一般的探索方法，培養(yǎng)學(xué)生提出問題與抽象獲得一般結(jié)論的能力.

2.4 嘗試應(yīng)用，預(yù)設(shè)生成（略）

3 反思與建議

本節(jié)課以學(xué)生為主體，教師為主導(dǎo)，由章引言引入，創(chuàng)設(shè)情境，其中月相變化圖與地理中最近所學(xué)知識不謀而合，除吸引學(xué)生的興趣外，更重要的是體現(xiàn)了學(xué)科整合，以提高學(xué)生核心素養(yǎng)為目標.教學(xué)過程中采取問題串的形式給予學(xué)生思考的方向，當(dāng)預(yù)設(shè)和生成出現(xiàn)沖突時，教師及時指導(dǎo)，要讓學(xué)生意識到推廣角的合理性，不單單是“規(guī)定”這么簡單，要有理有據(jù)，有背景支撐，在發(fā)現(xiàn)初中角的范圍“不夠用”的時候，學(xué)生能自然接受這種角的擴充.概念教學(xué)，要讓學(xué)生主動參與，在概念生成的過程中“揭開”它的真面目，這才是成功的教學(xué).

類比實數(shù)，完善圖形表示，最主要的教育價值在于以知識為載體，讓學(xué)生真真切切體會研究數(shù)學(xué)的思路和貫穿其中的思想方法，理解每一次擴充、新引入的合理性，體會構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的方法.本節(jié)課基本完成最初構(gòu)想，達到了預(yù)期效果，但學(xué)生利用終邊相同的角將任意角化歸到0°～360°還有些生疏.

3.1 搭建知識框架，體現(xiàn)學(xué)科整合

作為典型的開頭概念教學(xué)課，最主要的任務(wù)是讓學(xué)生了解“循環(huán)往復(fù)、周而復(fù)始”現(xiàn)象的刻畫，讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)地理中的數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)中的地理，課堂之上，學(xué)科之內(nèi)，教學(xué)中的每一步都要置于單元教學(xué)之中[1].與初中所學(xué)角做比較時，找到?jīng)_突，推廣角的概念；在以30°角為特例探究終邊相同角的過程中，通過動圖演示再次體會這種周而復(fù)始的規(guī)律，其蘊含的數(shù)學(xué)思想方法在后續(xù)的研究中會體現(xiàn)出價值.

3.2 類比探究引領(lǐng)，親歷概念生成

由學(xué)生已有的知識儲備，教師有目的性地喚醒所學(xué)經(jīng)驗，順利進行新課的探究，重現(xiàn)已有經(jīng)驗的獲得過程，這樣既達到了新舊知識的有效銜接，還引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會了類比遷移.該過程中教師拋出的問題都可以激發(fā)學(xué)生的興趣，使學(xué)生積極思考，發(fā)展智力，用真問題促進學(xué)生的思維爬坡式遞進，學(xué)生也愿意主動參與課堂活動.當(dāng)學(xué)生親歷這種概念生成的全過程后，就覺得一切新知識的獲得很自然，核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落到實處.

3.3 緊扣教材，體現(xiàn)“三新”教學(xué)

“三新”占據(jù)了新時代的教育高地，以發(fā)展觀重構(gòu)教育教學(xué)行為，以創(chuàng)造觀賦能學(xué)生素養(yǎng)提升，課堂上，大單元教學(xué)是對知識結(jié)構(gòu)、方法體系和思想方法的整體教學(xué)，要做好前后的有效銜接，那么教師就要仔細研究教材、教參，教學(xué)設(shè)計必須以教材為基石，結(jié)合教師自己的亮點設(shè)計把一堂課講清楚，這也是新授概念課的最基本要求.高中學(xué)生的思維正處于一個由經(jīng)驗邏輯思維向抽象思維過渡發(fā)展的階段，學(xué)生所依賴的就是教師對教材的精確分析和自己固有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗的積累，從而認識自己所理解的數(shù)學(xué).

參考文獻：

[1]王華.數(shù)學(xué)單元起始課教學(xué)設(shè)計的原則和方法[J].教學(xué)與管理，2020（7）：3942.