條件概率與全概率公式整體教學案例

摘要：本文中重點給出了本節(jié)課七個環(huán)節(jié)的教學過程，以抽簽的公平性作為情境，引出了條件概率的概念，然后再回歸問題情境，教師通過問題引領，學生積極思考探索，親身經(jīng)歷從特殊到一般、從直觀到抽象獲得條件概率概念的形成過程．最后通過一道例題鞏固解決條件概率的兩種方法．

關鍵詞：抽簽公平；條件概率；全概率公式

“條件概率與全概率公式”是在學習了人教A版數(shù)學必修第二冊第十章“概率”的基礎上，于選擇性必修第三冊第七章“隨機變量及其分布”進一步學習的重要內(nèi)容.作為第七章的開章內(nèi)容，全概率公式是在高中數(shù)學課程中首次引入.引入了條件概率后就順其自然牽出了全概率公式和貝葉斯（Thomas Bayes）公式，形成了完整的初等概率論，豐富了概率的運算公式.作為執(zhí)教者要認真吃透教材，領悟編寫意圖，規(guī)劃章節(jié)教學［1］.

1 教學過程

環(huán)節(jié)一復習回顧，引發(fā)思考

回顧1：事件的概率及等可能事件的概率公式.

回顧2：同一試驗中兩個事件A與B同時發(fā)生的概率問題及相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式P（AB）=P（A）P（B）.

思考1抽簽是公平的，但為什么是公平的呢？第一個抽簽人提前公布結(jié)果，對第二個人有沒有影響呢［1］？

師：同學們，我們在必修第二冊的概率學習中已經(jīng)知道抽簽的先后順序不影響抽簽的公平性.5個簽中有1個中獎簽，則每個人的中獎率是15;5個簽中有2個中獎簽，則每個人的中獎率是25，第一個人抽簽中獎概率為25=C12C15，大家知道第二個人抽簽的中獎率25是如何求的嗎？大家思考一下.

生1：C12C15×C11C14+C13C15×C12C14=25×14+35×24=25.

師：能解釋一下每個運算的意義嗎？

生1：第一個人中獎，第二個人在第一個人已經(jīng)中獎的條件下中獎，或第一個人沒有中獎，第二個人在第一個人沒有中獎的條件下中獎.

師：你的解答過程對第一個抽簽人的中簽情況進行了分類，也就是說第二個抽簽人在抽簽時是不知道第一個抽簽人的結(jié)果的.如果第一個抽簽人提前公布了自己的抽簽結(jié)果，那第二個抽簽人的中簽概率還是25嗎？（教室里笑聲不斷）

師：從大家的笑聲里可以聽出，不是25了，那會是多少呢？（學生搶著答道是14或24）

師：生2你來具體說說.

生2：如果第一個人沒有抽到中獎簽，第二個人的中簽概率就是24;如果第一個抽到中獎簽，第二個人的中簽概率就是14.

師：我把你的話換成“在知道第一個人沒有中獎的條件下，第二個人的中獎概率是24；在知道第一個人中獎的條件下，第二個人中獎的概率是14.大家說可不可以？”（可以，意思是一樣的），很好，說明抽簽的公平性是在第一個人抽簽結(jié)果未知的情況下的概率.

教學點評：教學過程中，學生能從生活中感知，第一個抽簽人提前公布結(jié)果，對第二個人有影響.教師引導學生研究第二個抽簽人的中簽概率時，需要考慮第一個抽簽人的兩種抽簽結(jié)果.

思考2在五個簽中有兩個中獎簽的的抽簽中，第一個人抽到中獎簽，第二個人也抽到中獎簽的概率是不是25×25=425？為什么？

生3：根據(jù)剛才的生1的計算，應該是C12C15×C11C14=25×14=110，425肯定是錯的，但我不知道錯因.

生4：110是對的，是不是說明兩個人中獎不是相互獨立事件？

師：很好，大家的回答充分說明了大家在積極思考，生4的回答是正確的.那么如何解決同一試驗中兩個不相互獨立事件同時發(fā)生的概率呢？接下來開啟今天的學習.在剛才的思考與研究基礎上，我們繼續(xù)看下面兩個問題.

環(huán)節(jié)二直觀問題，引出概念

問題1某個班級有45名學生，其中男生、女生的人數(shù)及團員的人數(shù)如表1所示.

在班級里隨機選擇一人做代表.

（1）選到男生的概率是多少？

（2）如果已知選到的是團員，那么選到的是男生的概率是多少？

問題2假定生男孩和生女孩是等可能的，現(xiàn)考慮有兩個小孩的家庭.隨機選擇一個家庭，那么

（1）該家庭中兩個小孩都是女孩的概率是多大？

（2）如果已經(jīng)知道這個家庭有女孩，那么兩個小孩都是女孩的概率又是多大？

生5：問題1第一問是2545=59，第二問是1630=815.

師：大家說他的答案對嗎？（對的！）我們知道概率是事件的概率，那該如何表示以上兩個事件呢？顯然第一問很簡單，我們直接用B=“選到男生”，則n（B）=25，n（Ω）=45，所以P（B）=n（B）n（Ω）=2545=59.第二問需要先有事件A=“選到團員”，“在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生”的概率用P（B|A）表示，則16是既是團員又是男生的數(shù)量，即事件A與事件B同時發(fā)生包含的樣本點數(shù)，而30是所有團員的樣本點數(shù).所以P（B|A）=n（AB）n（A）=1630=815.

師：仔細觀察，第一問選到男生的概率是在全體學生的樣本空間下的概率，第二問選到男生的概率是在全體團員的樣本空間下選到男生團員的概率.那么請大家按照我們剛才的思維方式通過事件的形式解決問題2.

生6：設事件A=“選擇的家庭有女孩”，事件B=“選擇的家庭中有兩個女孩”，則

（1）P（B）=n（B）n（Ω）=14；

（2）P（B|A）=n（AB）n（A）=13.

師：很好，表達得非常清楚.根據(jù)以上兩個問題，我們發(fā)現(xiàn)求解事件的概率首先需要認清是在什么條件下的概率，就像我們平常說的水沸騰的溫度是100℃一樣，默認是在一個標準大氣壓下.所以，我們可以把P（B）寫成P（B|Ω）的形式.

教學點評：引導學生根據(jù)圖表的直觀性積極思考并大膽說出自己的見解，為引出條件概率的概念做準備，從而發(fā)展學生的邏輯推理、數(shù)學運算、數(shù)學抽象和數(shù)學建模的核心素養(yǎng).

環(huán)節(jié)三抽象建構(gòu)，形成概念

思考3在必修第二冊概率部分，我們從集合論的角度用Venn圖（如圖1）的形式來表示事件的關系，那么可不可以Venn圖來理解P（B/A）呢？

生7：從Venn圖中可以看出，事件A，B是同一試驗下的兩個事件，P（B）是在Ω條件下的概率，而P（B|A）是在事件A的條件下AB同時發(fā)生的概率.

師：很好，你表達得很準確.那么我們是不是可以把P（B|A）用樣本空間來表示呢？

生7：可以，應該是P（B|A）=n（AB）n（A）.

師：能繼續(xù)對上式進行代數(shù)處理得到P（B）與P（AB）的運算關系嗎？（學生思考討論中）

生7：這是一個分式，那是不是可以分子分母同時除以n（Ω），即

P（B|A）=n（AB）n（A）=n（AB）n（Ω）n（A）n（Ω）=P（AB）P（A）.

師：很好！從代數(shù)式的角度出發(fā)，這樣做是合理的，同時得到的分子和分母在概率中也是有意義的.

一般地，設A，B為兩個隨機事件，且P（A）gt;0，我們稱

P（B|A）=P（AB）P（A）

為在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率，簡稱條件概率.

也就是說，我們可以通過事件A，B同時發(fā)生的概率與事件A發(fā)生的概率求在事件A發(fā)生的條件下，事件B發(fā)生的條件概率.

教學點評：讓學生親身經(jīng)歷從特殊到一般、從直觀到抽象獲得條件概率概念的過程，培養(yǎng)學生思維的嚴謹性，優(yōu)化學生的思維品質(zhì)，發(fā)展學生的邏輯推理、直觀想象、數(shù)學抽象和數(shù)學運算核心素養(yǎng).

思考4當事件A，B相互獨立時，P（AB）=P（A）P（B），那一般情況呢？

生8：根據(jù)條件概率公式可以得到P（AB）=P（A）P（B|A），也就是說，事件A，B同時發(fā)生即事件A發(fā)生，在A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生.

師：如何解釋當事件A，B相互獨立時，P（AB）=P（A）P（B）？

生9：當事件A，B相互獨立時，事件A發(fā)生與否不影響事件B的發(fā)生的概率，所以P（B|A）=P（B）.

師：對任意兩個事件A，B若P（A）gt;0，則

P（AB）=P（A）P（B|A），

我們稱上式為概率的乘法公式.

大家能用概率的乘法公式解釋思考2的問題嗎？

生：P（AB）=P（A）P（B|A）=25×14=110.

師：很好！通過本節(jié)課的學習，我們從會計算概率到會從條件概率的角度計算概率.

教學點評：通過對代數(shù)式的多角度處理與運算，尋找代數(shù)式運算背后的問題本質(zhì)，提升學生數(shù)據(jù)處理、數(shù)學運算等素養(yǎng).

環(huán)節(jié)四例題練習，加深理解

例題在5道試題中有3道代數(shù)題和2道幾何題，每次從中隨機抽出1道題，抽出的題不再放回.求：

（1）第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題的概率；

（2）在第1次抽到代數(shù)題的條件下，第2次抽到幾何題的概率.

師：我們可從兩個角度解決該問題，一是從樣本空間角度來解決，二是從條件概率公式角度來解決.

解法1：設A=“第1次抽到代數(shù)題”，B=“第2次抽到幾何題”，則“第1次抽到代數(shù)題且第2次抽到幾何題”就是事件AB.

（1）P（AB）=n（AB）n（Ω）=C13C12C15C14=310；

（2）P（B|A）=P（AB）P（A）=31035=12.

解法2：根據(jù)條件概率的直觀意義，顯然P（B|A）=12，所以P（AB）=P（A）P（B|A）=35×12=310.

師：在實際問題中，我們可以根據(jù)具體問題，選擇從直觀意義求條件概率還是選擇從公式角度求條件概率.

環(huán)節(jié)五針對練習，鞏固吸收

練習：教材第 48頁練習3.

環(huán)節(jié)六歸納小結(jié)，形成經(jīng)驗

本節(jié)知識歸納小結(jié)如圖2所示.

條件概率條件概率的定義

條件概率公式與概率乘法公式

環(huán)節(jié)七布置作業(yè)，拓展延伸

教材第52頁復習鞏固第1，2題.

2 教學反思

本節(jié)內(nèi)容是人教A版（2019）數(shù)學選擇性必修第三冊第七章“隨機變量及其分布”第一節(jié)“條件概率與全概率公式”的起始課.這部分內(nèi)容是在必修第二冊“概率”基礎上的進一步深入和擴展，是在學生已有的知識基礎上構(gòu)建新知.本節(jié)課重在理解條件概率的概念，會求解一些簡單條件概率問題，能區(qū)分積事件的概率與概率的乘法公式.為了能讓學生更好地理解概念，筆者首先以抽簽的公平性作為情境，帶領學生弄清楚事件A發(fā)生，事件B發(fā)生，事件A，B都發(fā)生和在事件A發(fā)生的條件下事件B發(fā)生的概率的不同，引出了條件概率的概念和研究的必要性.然后再回歸問題情境，帶領學生探求解決條件概率的方法，從而得到計算條件概率的公式.最后通過一道例題鞏固解決條件概率的兩種方法.這一過程體現(xiàn)了從特殊到一般再到特殊的思維過程.另外，在教學的進程中，筆者通過問題引領，激發(fā)學生的主動性，促使他們主動思考、探究問題的解決方法.

合理利用教材，以教材為教學的主要依據(jù)，多深入研究教材，開闊自己的視角和思路，多挖掘教材以外可以延伸的知識，這樣才能對教學有清晰的把控.多挖掘定義和概念的內(nèi)涵與本質(zhì)，更加注重內(nèi)容結(jié)構(gòu)的分析，關注條件概率思維形成過程的培養(yǎng)，多去調(diào)動學生學習的自主性，盡量使他們的思維處于活躍狀態(tài)，注重對學生的引導，培養(yǎng)學生的主動思考和探究精神.

參考文獻：

[1]廖明艷，江中勤，李紅慶.吃透教材、領悟意圖、設計教學——條件概率與全概率公式小節(jié)教學案例[J].中學數(shù)學教學參考，2023（13）：3133，39.