處理追及和相遇問題的幾種方法

【摘要】追及和相遇問題是高中物理運(yùn)動學(xué)問題中同一直線上兩個物體運(yùn)動時常常涉及的問題，也是勻變速直線運(yùn)動公式在具體問題中的實(shí)際應(yīng)用.許多學(xué)生在解答此類問題時沒有章法，不能夠結(jié)合題目情境列出物體的運(yùn)動方程.本文結(jié)合實(shí)例探究解答追及和相遇問題的幾種方法，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】高中物理；追及相遇；解題方法

1 情境分析法

情境分析法需要建立一幅物體運(yùn)動關(guān)系的情境圖，挖掘題目中的隱藏條件，抓住“物體是否在相同的時刻內(nèi)到達(dá)同一位置”這一解題的關(guān)鍵所在.在使用此方法時要求學(xué)生具有較強(qiáng)的邏輯推理能力，通過作簡圖的方式進(jìn)行思考.

例1 平直道路上有A、B兩車沿同一方向行駛，已知A車的速度vA=4m/s，B車的速度vB=10m/s.當(dāng)B車行駛至A車前方L=7m處時，B車開始以a=－2m/s2的加速度做勻減速直線運(yùn)動.求：

（1）以該時刻為計(jì)時零點(diǎn)，A車追上B車需要的時間；

（2）在A車追上B車之前，兩者之間的最大距離.

解 （1）假設(shè)A車追上B車時，B車還沒有停止運(yùn)動，設(shè)t′時間內(nèi)A車追上B車，如圖1所示.由題意得，A車追上B車需要通過位移sA=sB+L，A車的位移是sA=vAt′.B車的位移是sB=vBt′+12at′2，聯(lián)立解得t′=7s.

但是B車停下來所用時間tB=0－vBa=0－10－2s=5s，比較t′和tB可知，A車是在B車停止運(yùn)動后才追上B車的，因此7s不是A車追上B車的時間，設(shè)A車追上B車的時間為t，即sA=vAt，B車實(shí)際運(yùn)動時間應(yīng)為tB，即sB=vBtB+12at2B，聯(lián)立解得t=8s.

（2）在A車追上B車之前，當(dāng)兩者速度相等時，兩者之間有最大距離Δsmax.

設(shè)此時兩車運(yùn)動時間為t0，且有vA=vB+at0，代入數(shù)據(jù)解得t0=3s，則此時A車的位移s′A=vAt0，B車的位移s′B=vBt0+12at20，所以兩者之間的最大距離Δsmax=s′B+L－s′A，聯(lián)立解得Δsmax=16m.

評析 在運(yùn)用情境分析法時，一般來說被追趕的物體做勻減速直線運(yùn)動，所以代入公式計(jì)算時一定要注意判斷物體在被追上前是否已經(jīng)停止運(yùn)動，若未停止運(yùn)動，則可以直接代入勻變速運(yùn)動位移公式，若停止運(yùn)動，則需要單獨(dú)對停止運(yùn)動的物體位移進(jìn)行計(jì)算.

2 圖像分析法

圖像分析法是畫出兩個物體運(yùn)動的速度—時間關(guān)系或位移—時間關(guān)系圖像，然后利用圖像的幾何意義分析求解相關(guān)問題.例如在速度—時間圖像中，斜率代表加速度的大小和方向，在位移—時間圖像中斜率則代表速度的大小和方向.

例2 平直公路上甲、乙兩車從同一地點(diǎn)出發(fā)沿同一方向做直線運(yùn)動，甲、乙兩車的v－t圖像如圖2所示.下列判斷中正確的是（" ）

（A）乙車啟動時，甲車在前方25m處.

（B）乙車超過甲車后，兩車有可能二次相遇.

（C）乙車啟動15s后正好追上甲車.

（D）運(yùn)動過程中，乙車落后甲車的最大距離為75m.

解 如圖2所示，v－t圖像中圖線與時間軸包圍的面積表示位移的大小，所以乙在t=10s時啟動，此時甲的位移為s=12×10×10m=50m，即甲車在乙車前方50m處，選項(xiàng)（A）錯誤；

乙超過甲之后，由于乙的速度大，故不可能再次相遇，選項(xiàng)（B）錯誤；

因?yàn)閮绍噺耐坏攸c(diǎn)出發(fā)沿著同一方向做直線運(yùn)動，據(jù)此可設(shè)甲車啟動t′兩車位移相等才相遇，列式（t′－20）+（t′－10）2×20=t′+（t′－10）2×10，解得t′=25s，即乙車啟動15s后正好追上甲車，選項(xiàng)（C）正確；

當(dāng)兩車的速度相等時相距最遠(yuǎn)，最大距離為Δs=12×（5+15）×10m－12×10×5m=75m，所以選項(xiàng)（D）正確.

評析 在運(yùn)用圖像分析法時主要有兩個步驟：一是轉(zhuǎn)換，即根據(jù)物體在不同階段的運(yùn)動情況，通過定量計(jì)算分階段、分區(qū)間作出s－t圖像或v－t圖像等；或根據(jù)已知的運(yùn)動圖像分析物體的運(yùn)動情況；二是識圖，利用圖像中斜率、面積、截距、交點(diǎn)等的幾何意義解決相關(guān)問題.

3 函數(shù)分析法

設(shè)相遇時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于位移s與時間t的函數(shù)關(guān)系，由此判斷兩物體追及或相遇情況.

例3 一司機(jī)駕駛貨車在平直公路上以54km/h的速度勻速行駛，行駛過程中在某一時刻突然發(fā)現(xiàn)在其正前方14m處有一輛自行車以5m/s的速度向前勻速行駛.司機(jī)在經(jīng)過0.4s的反應(yīng)時間后，開始剎車并鳴笛提示前車，則：

（1）為避免相撞，假設(shè)自行車保持勻速行駛，則司機(jī)剎車的加速度大小至少為多少？

（2）若汽車剎車時加速度大小只有4m/s2，自行車在聽到鳴笛聲后立即以一定的加速度開始加速，為保證兩車不相撞，則自行車加速的加速度至少為多大？

解 （1）設(shè)汽車的加速度大小為a，初速度v汽=54km/h=15m/s，初始距離d=14m，在經(jīng)過反應(yīng)時間0.4s后，汽車與自行車相距d′=d－（v汽－v自）t′=10m，從汽車剎車開始計(jì)時，自行車的位移為s自=v自t，汽車的位移為s汽=v汽t－12at2.

假設(shè)汽車能夠追上自行車，此時有s汽=s自+d′，代入數(shù)據(jù)整理得12at2－10t+10=0，要保證不相撞，即此方程最多只有一個解，即得Δ=102－20a≤0，解得a≥5m/s2，則汽車的加速度至少為5m/s2.

（2）設(shè)汽車的加速度為a′，同理得s′汽=s′自+d′，其中s′汽=v汽t－12at2，s′自=v自t+12a′t2，即（12a′+2）t2－10t+10=0，要保證兩車不相撞，方程最多只有一個解，則Δ=102－20a′－80≤0.

解得a′≥1m/s2，則自行車的加速度至少為1m/s2.

評析 設(shè)運(yùn)動時間為t，根據(jù)條件列方程，得到關(guān)于二者之間的距離Δs與時間t的二次函數(shù)關(guān)系，Δs=0時，表示兩者相遇.若Δgt;0，即運(yùn)動方程有兩個解，說明兩者可以相遇兩次；若Δ=0，即運(yùn)動方程只有一個解，說明剛好追上；若Δlt;0，方程無解，說明追不上.當(dāng)t=－b2a時，函數(shù)有極值，代表兩者距離的最大值或最小值.

4 結(jié)語

通過對上述三道例題的分析可以看出，解答追及和相遇問題的關(guān)鍵在于明確速度和位移之間的關(guān)系，在此過程中需要合理運(yùn)用圖像的幾何意義并列出相應(yīng)的運(yùn)動方程綜合分析，根據(jù)解出的物理量大小或者是對方程根的個數(shù)的判斷即可得到答案.