探究利用數學三角函數知識解決高中物理極值問題

【摘要】在高中物理的學習中，經常會遇到求解極值的問題，而為了方便解決此類問題，常常會選擇借助數學中的某些知識，例如三角函數.本文采取典例精講的形式，對如何利用數學中的三角函數知識解決物理中的極值問題進行探究.

【關鍵詞】高中物理；三角函數；極值問題

三角函數作為高中數學中的重要內容，其在解決高中物理極值問題時具有廣泛應用.在解決此類問題的過程中，可通過利用三角函數的性質，來描述物理量之間的變化情況，從而構建出物理模型，進而達到求解極值的目的.

1 利用三角函數解決共點力平衡中的極值問題

例1 如圖1所示，一個質量為m的小物塊放置在水平桌面上，現用一個與水平方向夾角為θ的拉力F拉動小物塊，使其沿著水平桌面做勻速直線運動.已知重力加速度為g，小物塊與水平桌面之間的動摩擦因數為μ.若增大θ（θ始終小于90°），要使這個小物塊依舊沿著同一水平桌面做勻速直線運動，那么（" ）

（A）拉力F一定減小.

（B）小物塊對水平桌面的壓力一定減小.

（C）小物塊對水平桌面的摩擦力一定減小.

（D）小物塊對水平桌面的作用力一定減小.

問題分析 本題主要利用了數學中的三角函數知識，尤其是對正弦函數與余弦函數的運用.題目中給出的拉力F與水平方向上所成的夾角θ會發生變化，這就導致拉力F的大小和方向均發生變化，將拉力F分為豎直方向和平行于水平桌面的兩個分力，再結合力的平衡條件和牛頓第三定律，進而可分析出小物塊的運動狀態和受力情況.

此外，本題還運用了數學中三角函數的和差公式和三角函數的性質.

解析 首先對小物塊進行受力分析，其受重力、拉力、水平桌面對其的支持力和摩擦力，如圖2所示.

再根據平衡條件與正交分解，有Fcosθ=μFN，FN=mg－Fsinθ，可解得F=μmgcosθ+μsinθ，FN=mg－μmgsinθcosθ+μsinθ=mg1+μtanθ，設y=cosθ+μsinθ=1+μ211+μ2cosθ+μ1+μ2sinθ，令sinα=11+μ2，cosα=μ1+μ2，利用三角函數的和差公式，即sinα+θ=sinαcosθ+cosαsinθ，可解得y=1+μ2sinα+θ，其中tanα=1μ.當α+θ=90°時，y有最大值.由于角度未知，當夾角θ增大時，拉力F可能增大，也可能減小，而小物塊對水平桌面的壓力和摩擦力均一定減小.因此選項（A）錯誤，選項（B）（C）正確.

小物塊對水平桌面的作用力大小F合=μFN2+FN2=1+μ2mg1+μtanθ，進而可得知，當θ增大（θ始終小于90°）時，F合一定減小.因此選項（D）正確.

2 利用三角函數求解電場中的極值問題

例2 如圖3所示，一個帶電荷量為+Q、半徑為R的絕緣圓環豎直放置，電荷量均勻地分布在圓環上.將一帶電荷量為+q的試探電荷，從圓環圓心偏右側一點的位置上（圖中未畫出），由靜止狀態釋放，該試探電荷只在靜電力的作用下沿著中心軸線向右側運動.下列說法正確的是（" ）

（A）該試探電荷向右先加速運動，再減速運動.

（B）該試探電荷的加速度會漸漸變小.

（C）當試探電荷與圓環圓心之間的距離是22R時，其加速度最大.

（D）若圓環所帶的電荷量擴大兩倍，那么其加速度最大的位置將會向右移動.

問題分析 本題考查的是帶電粒子在電場中的運動分析，重點在于理解電場強度的分布以及其對試探電荷運動的影響.

在解決本題的過程中，借助了數學中的三角函數、微積分等知識.在求解電場強度的最大值時，需要利用導數求極值.

解析 根據圓環上正電荷電場的分布具有對稱性，可得知圓環中心軸線上的電場強度，皆是背離圓環圓心沿著軸線向外，由此可得知該試探電荷始終受到方向向右的靜電力，一直做加速直線運動.因此選項（A）錯誤.

如圖4所示，首先把圓環上所帶電荷量平均分割為N份（N需要足夠大），再假設每一小份的電荷量是q0，就會有Nq0=Q，那么每一份電荷在點P處的電場強度即為E0=kq0Rsinθ2，其水平分量E0x=E0cosθ=kq0R2sin2θcosθ，經過微元累加后，再根據對稱性可得知，點P處的電場強度E=kQR2sin2θcosθ，令fθ= sin2θcosθ=cosθ－cos3θ，可求得其導函數f′θ=－sinθ+3cos2θsinθ，當f′θ=0時cos2θ=13，由此可知當cosθ=33，即試探電荷與圓環圓心相距22R時，電場強度最大，該試探電荷的加速度也就最大，且這個位置與圓環所帶的電荷量沒有任何關系.因此選項（C）正確，選項（B）（D）錯誤.

3 結語

通過對兩道例題解題過程的分析，可以看出，數學中的三角函數知識在解決物理中的極值問題時起到了關鍵性作用.將數學與物理相結合，完美地體現了數學知識在解決物理問題中的應用價值，同時還鍛煉了學生的數學代數運算能力和物理思考分析能力.如此跨學科的知識運用，不僅拓寬了學生的解題思路，還培養了學生對知識的綜合運用能力.