泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的使用方法探討

摘" 要：學(xué)生在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)過程中易遇到諸多難題，泰勒公式的應(yīng)用研究意義重大。研究泰勒公式有助于深入剖析復(fù)雜函數(shù)，能夠為實際問題求解提供有力數(shù)學(xué)支持，在物理、工程等領(lǐng)域發(fā)揮關(guān)鍵作用。本研究通過研讀教材文獻梳理理論，結(jié)合解題練習(xí)總結(jié)技巧。研究認為，泰勒公式應(yīng)用廣泛，日常學(xué)習(xí)應(yīng)重視，多練習(xí)掌握解題方法，以提高解題效率與正確率，助力高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)。

關(guān)鍵詞：泰勒公式；高等數(shù)學(xué)；解題方法

中圖分類號：O13" " 文獻標識碼：A" " 文章編號：1673-7164（2025）08-0091-04

在高等數(shù)學(xué)解題的過程中，利用泰勒公式時，要加強對泰勒公式內(nèi)涵以及解題要點的深入性分析，要根據(jù)高等數(shù)學(xué)解題的特點，提高解題工作的針對性，靈活的應(yīng)對高等數(shù)學(xué)解題中存在的各項問題，以保障泰勒公式功能的有效發(fā)揮。

一、研究意義

在高等數(shù)學(xué)的知識體系里，學(xué)習(xí)泰勒公式具有非同尋常的重要意義，在知識層面上，在函數(shù)的局部性質(zhì)和整體性質(zhì)之間架起了一座橋梁。利用泰勒公式可以把復(fù)雜函數(shù)變換成多項式函數(shù)進行逼近表示，從而使能夠用多項式觀點認識復(fù)雜函數(shù)并對其進行分析，洞悉其中潛藏的性質(zhì)，加深對函數(shù)實質(zhì)的理解，提升高等數(shù)學(xué)知識架構(gòu)。在實際應(yīng)用中泰勒公式也必不可少，就物理學(xué)科而言，可以借助于泰勒公式對刻畫物體復(fù)雜軌跡的函數(shù)進行化簡，從而幫助建立和分析物理模型；在工程技術(shù)領(lǐng)域中，對復(fù)雜信號、數(shù)據(jù)擬合問題的處理中，泰勒公式能夠提供一種高效的數(shù)學(xué)處理方法，對實際問題的解決提供了有力的數(shù)學(xué)支持，促進了相關(guān)方面的不斷發(fā)展和進步。

二、泰勒公式的概述

泰勒公式也被稱為泰勒級數(shù)展開式，在數(shù)學(xué)分析領(lǐng)域是一種關(guān)鍵的函數(shù)逼近技術(shù)。其以一種特定的方式將函數(shù)在某一點附近的值表示為無窮級數(shù)，這個級數(shù)由函數(shù)在該點的各階導(dǎo)數(shù)確定。泰勒公式不但有其理論意義，更有其實際運用。［1］泰勒公式最核心的思想就是用函數(shù)局部性質(zhì)逼近其整體性質(zhì)。具體來說，泰勒公式通過函數(shù)在某一點的各階導(dǎo)數(shù)信息，構(gòu)造一個多項式函數(shù)，這個多項式函數(shù)在這一點附近與原函數(shù)具有相同的函數(shù)值以及各階導(dǎo)數(shù)值。因此，當需要研究函數(shù)在某一點附近的性質(zhì)時，可以利用泰勒公式將這個函數(shù)近似地表示為一個多項式函數(shù)，從而簡化問題的處理。泰勒公式有很多種形式，其基本形式為泰勒級數(shù)展開式。這個公式將一個函數(shù)表示為以某一點為中心的無窮級數(shù)，級數(shù)的每一項都是該函數(shù)在該點的某階導(dǎo)數(shù)與相應(yīng)階的差分的乘積。該展開式用途很廣，可用于解決函數(shù)極限、研究函數(shù)性質(zhì)和證明定理。另外泰勒公式還存在著麥克勞林公式、拉格朗日余項公式及其他重要變型。這些公式可使泰勒公式在具體情況下的格式得到簡化，從而使計算變得更方便。這些變型還展現(xiàn)出泰勒公式靈活而廣泛的應(yīng)用性。

三、泰勒公式在高等數(shù)學(xué)解題中的使用價值

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)中一個重要的工具，在問題的求解中有著不可或缺的地位。泰勒公式既有助于深刻理解函數(shù)的本質(zhì)，又可以為解決復(fù)雜問題提供高效的解題思路與途徑。泰勒公式在解決函數(shù)極限問題方面有很多應(yīng)用，高等數(shù)學(xué)中常需解決某些復(fù)雜函數(shù)極限問題，這類問題通常很難直接用代數(shù)運算或者已知性質(zhì)解決。這時，可應(yīng)用泰勒公式把函數(shù)展開式化為多項式形式以簡化解題。［2］將展開多項式和極限表達式形式進行對比，可較方便地求出極限取值。泰勒公式對定理的證明以及公式的推導(dǎo)也起到了決定性的作用，很多高等數(shù)學(xué)的定理、公式就是根據(jù)泰勒公式導(dǎo)出。通過運用泰勒公式對其展開與變形，可導(dǎo)出多種有益的數(shù)學(xué)公式與定理，豐富數(shù)學(xué)知識與解題技巧。泰勒公式還被廣泛應(yīng)用于求解某些實際問題，以物理學(xué)為例，常常要對物體運動規(guī)律進行研究，物體運動常常能被某些復(fù)雜函數(shù)所描述。通過用泰勒公式展開并逼近這些函數(shù)，可獲得物體運動的大致規(guī)律，使問題處理簡單化。在工程學(xué)、計算機科學(xué)等領(lǐng)域，泰勒公式也可應(yīng)用于多種復(fù)雜系統(tǒng)性能分析與優(yōu)化、算法效率提升等方面。值得指出的是泰勒公式的使用并非單純的公式套用，而需結(jié)合具體題目特點靈活使用。解題時，需根據(jù)題意選擇適當泰勒公式形式和確定適當展開階次。同時，也應(yīng)關(guān)注泰勒公式收斂性及誤差估計問題，保證結(jié)果準確可靠。泰勒公式對高等數(shù)學(xué)解題有很強的應(yīng)用能力。通過對泰勒公式運用方法與技巧的研究與掌握，能夠更好地解決各類復(fù)雜的題目，提升解題能力與數(shù)學(xué)素養(yǎng)。所以，在高等數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中要對泰勒公式的研究與運用給予足夠的重視，并且在反復(fù)實踐的過程中，掌握正確的解題經(jīng)驗，提高解題的正確率。

四、將泰勒公式應(yīng)用于高等數(shù)學(xué)問題求解的方法

（一）用于導(dǎo)數(shù)求解

泰勒公式對解決導(dǎo)數(shù)問題起著舉足輕重的作用。利用泰勒公式展開可把復(fù)雜函數(shù)變換成多項式形式并簡化導(dǎo)數(shù)計算過程。尤其當一些函數(shù)表達式比較復(fù)雜，很難直接用基本導(dǎo)數(shù)公式來解決時，泰勒公式為解決這一問題提供了行之有效的方法。［3］應(yīng)用泰勒公式解導(dǎo)時，必須先確定函數(shù)展開式點和展開式階數(shù)。選取展開點一般要依據(jù)題目要求或者函數(shù)性質(zhì)，其階數(shù)主要由要求的準確性及計算復(fù)雜性決定。展開點及階數(shù)確定后，可按泰勒公式定義展開計算各階導(dǎo)數(shù)。

如對一些復(fù)雜復(fù)合函數(shù)可先用泰勒公式對其部分展開式求導(dǎo)。從而使繁雜的求導(dǎo)過程被分解成若干簡單的環(huán)節(jié)，減小計算難度。另外，利用泰勒公式也可解決高階導(dǎo)數(shù)問題，尤其在函數(shù)高階導(dǎo)數(shù)表達式比較復(fù)雜的情況下，利用泰勒公式能更方便地求出計算結(jié)果。在應(yīng)用泰勒公式求導(dǎo)數(shù)時需保證展開式階數(shù)夠大才能保證計算結(jié)果精確，對泰勒公式收斂性及誤差估計也應(yīng)引起重視，以免由于逼近造成誤差過大的情況。通過對泰勒公式求解導(dǎo)數(shù)方法的研究與掌握，能夠更靈活處理各類復(fù)雜導(dǎo)數(shù)問題，從而提高問題求解效率與精度。

（二）用于解極限問題

泰勒公式對于解極限問題也有廣泛用途。極限在高等數(shù)學(xué)中是一個很重要的概念，泰勒公式為解決各種極限問題提供了有效工具。［4］解極限問題，可先用泰勒公式把函數(shù)展開式成多項式形式，再用多項式性質(zhì)使極限計算簡單化。尤其在極限點周圍函數(shù)行為比較復(fù)雜的情況下，利用泰勒公式對其進行擴展，能夠?qū)O限點處函數(shù)行為有一個比較明確的認識，便于求出極限點處的數(shù)值。［5］

如對一些0/0型極限問題可采用泰勒公式把分子與分母均展開成多項式形式后再用多項式進行除法運算求極限。該方法可避免直接運用洛必達法則所帶來的煩瑣計算和解題過程。另外泰勒公式也可用來解決無窮大大于無窮大的極限。利用泰勒公式展開可使函數(shù)變?yōu)橐滋幚硇问?，便于求極限。應(yīng)當指出，用泰勒公式解極限問題時需選取適當?shù)恼归_點及階數(shù)才能保證展開準確及結(jié)果準確。還要注意泰勒公式收斂性及誤差估計等問題，以免逼近所帶來的錯誤對計算結(jié)果造成影響。［6］通過對泰勒公式解極限問題方法的研究與掌握，能夠更有效地應(yīng)對各類復(fù)雜極限問題，從而提高問題求解的效率與精度。

（三）用于求解無窮小量

泰勒公式對無窮小量問題的求解也有重要影響。無窮小量作為高等數(shù)學(xué)的重要概念常出現(xiàn)于極限，微分與積分問題的解答之中。泰勒公式有助于對無窮小量的更深入認識與處理，使有關(guān)問題得到更精確的解決。［7］利用泰勒公式對無窮小量進行處理時一般都會注意到泰勒公式高階無窮小項的存在。這些高階無窮小項通常可忽略于極限過程，簡化了解題。忽略這些高階無窮小項就能使復(fù)雜函數(shù)或者表達式近似于較簡單的形式，方便后續(xù)求解。

例如在解一些含有無窮小量極限的問題中，可采用泰勒公式對函數(shù)進行展開而忽略高階無窮小項。通過這種方法，能夠獲得較簡明的極限表達式以便于尋找極限的數(shù)值。另外泰勒公式也可應(yīng)用于處理有關(guān)無窮小量的微分及積分。通過對泰勒公式進行擴展，可使復(fù)雜的微分或者積分表達式變成容易處理的格式，使解題過程得到簡化，當用泰勒公式來處理無窮小量的時候，必須保證忽略掉的高階無窮小項對于計算結(jié)果的影響能夠被忽略掉。這一般要求認真分析判斷泰勒公式展開階數(shù)及誤差估計。通過對泰勒公式用于無窮小量問題求解方法的研究與掌握，能夠?qū)o窮小量問題的本質(zhì)與行為有更深刻的認識，從而提高問題求解的精度與效率。這也將為后續(xù)學(xué)習(xí)和應(yīng)用高等數(shù)學(xué)中的其他概念和方法打下堅實的基礎(chǔ)。

（四）用于高等數(shù)學(xué)級數(shù)問題的求解

泰勒公式也是級數(shù)解題的一個常用公式，級數(shù)是高等數(shù)學(xué)中的重要分支之一，它涉及無窮序列求和。泰勒公式將函數(shù)展開式成多項式序列形式，從而為解決級數(shù)問題提供了一種新思路、新途徑。［8］解決級數(shù)求和問題時，可采用泰勒公式把函數(shù)展開式成多項式序列后再進行逐項求和。該方法尤其適合那些很難直接求和的級數(shù)，利用泰勒公式展開可把問題化為多項式序列求和，使計算過程得到簡化。泰勒公式也可應(yīng)用于級數(shù)斂散性的判定。將泰勒展開式多項式序列和已知斂散性級數(shù)進行對比，可推導(dǎo)出原始級數(shù)斂散性。該方法對級數(shù)斂散性的判定提供了有效工具。值得注意的是，用泰勒公式解級數(shù)問題時需保證展開式階數(shù)夠大才能保證計算結(jié)果的精度。對泰勒公式收斂半徑及收斂域也需關(guān)注，以免求和時發(fā)散。通過對級數(shù)問題求解中泰勒公式的研究與掌握，能夠更靈活處理各類級數(shù)問題，從而提高問題求解的效率與精度。［9］

（五）證明不等式類問題求解方法

泰勒公式還被廣泛應(yīng)用于不等式類題的論證。不等式在數(shù)學(xué)上是一個很重要的概念，泰勒公式為證明各類不等式提供了有效工具。［10］由泰勒公式展開可把函數(shù)變換成多項式形式并用多項式性質(zhì)證明不等式。該方法對于不易直接驗證的不等式尤其適用，利用泰勒公式可使問題變?yōu)槔枚囗検降男再|(zhì)，使論證過程得以簡化。

如在一些函數(shù)不等式的證明中，可應(yīng)用泰勒公式把函數(shù)展開成多項式形式，應(yīng)用多項式單調(diào)性和凹凸性的特點證明不等式。另外，泰勒公式也可應(yīng)用于證明某些與級數(shù)有關(guān)的不等式中，對比級數(shù)中的項和泰勒展開式中多項式項間的關(guān)系就可獲得不等式證明結(jié)果，用泰勒公式進行不等式證明時，必須保證展開式階數(shù)夠大，才能確保證明準確、嚴密。對泰勒公式收斂性及誤差估計也應(yīng)引起重視，以免逼近造成證明錯誤。通過對泰勒公式證明不等式類題的研究與掌握，能更靈活地處理各類不等式，從而提高解題效率與精度，泰勒公式對于高等數(shù)學(xué)問題的求解有著廣泛的應(yīng)用。泰勒公式不僅在導(dǎo)數(shù)求解、極限問題、無窮小量處理、級數(shù)求解、近似值求解和不等式證明方面提供了有效的解決方案和工具，通過對泰勒公式運用方法的研究與掌握，能夠更深刻地認識高等數(shù)學(xué)中的思想與方法，并且找到問題的解決方法，厘清各個信息之間的關(guān)系，從而提高問題求解的效率與準確性。

（六）極限解題應(yīng)用

泰勒公式是極限計算中十分有效而又普遍采用的公式。利用泰勒公式展開可把復(fù)雜函數(shù)變換成多項式形式以簡化極限計算過程。下面舉例說明泰勒公式極限應(yīng)用的幾個具體實例。

1. 計算函數(shù)在某一點的極限值?？紤]函數(shù)f（x）時，需計算其極限值為x≠a。由泰勒公式可把f（x）展開成x=a的多項式序列。x向a靠攏后，泰勒公式高階無窮小項會趨向于0，故可忽略這些項，僅保留前項為f（x）近似。接下來，可以直接對這個多項式在x=a的位置進行計算，從而確定f（x）在x=a位置的最大值。比如對一個函數(shù)f（x）=sin（x）來說，需要計算其極限值為x=0。sin（x）可由泰勒公式展開式到x-x3/3！+x5/5-...。當x趨近于0時，高階項將逐漸趨近于0，因此可以近似地認為sin（x）≈x。因此sin（x）在x=0的位置上的最大值是0。

2. 求解復(fù)雜函數(shù)極限，有時會碰到某些復(fù)雜函數(shù)，它們極限的計算過程十分煩瑣。此時可試圖用泰勒公式把函數(shù)展成多項式的形式以簡化計算。選取適當?shù)恼归_點及階數(shù)可獲得足夠準確的逼近多項式，再運用多項式的特性進行極限計算。例如，當考慮函數(shù)f（x）=（e^x-1）/x時。當x趨近于0時，這個函數(shù)的最大值是什么？直接計算可能會很困難，但可以利用泰勒公式將e^x展開為1+x+x^2/2！+...。代入原函數(shù)可得有關(guān)x的多項式分式。接下來，可以借助多項式的特性來確定這個分式在x趨近于0時的最大可能值。從計算中可看出該極限值是1。

泰勒公式為極限計算提供了有效而靈活的手段。通過把復(fù)雜函數(shù)變換成多項式形式可使計算過程簡化，獲得準確的極限值。泰勒公式成了求解極限問題最重要的手段之一。不管是在處理簡單函數(shù)或復(fù)雜函數(shù)時，均可提供強有力支撐。

五、學(xué)生學(xué)習(xí)泰勒公式的實用價值

泰勒公式是高等數(shù)學(xué)的一個重要工具，對于學(xué)生的學(xué)習(xí)具有非同尋常的意義，熟練掌握用法可以幫助學(xué)生克服許多數(shù)學(xué)難題。學(xué)用泰勒公式，學(xué)生必須先深入理解其中的基本原理，并清楚地認識到怎樣用多項式來近似函數(shù)，泰勒公式以不同階的多項式片段逐漸準確拼湊出原來函數(shù)的樣子。學(xué)生可以先從簡單函數(shù)開始，例如普通指數(shù)函數(shù)和三角函數(shù)一樣做泰勒展開習(xí)題，細心觀察隨展開階數(shù)升高、逼近效果是怎樣改變的，這樣就可以直觀地體會到泰勒公式的妙用。在實踐中，面對極限計算，函數(shù)近似求值等此類問題，泰勒公式可以一顯身手，例如在某些復(fù)雜極限的求法中，利用函數(shù)展開式為泰勒級數(shù)的方法，使復(fù)雜函數(shù)形式變成容易處理的多項式形式，從而使極限求解簡潔明了。對函數(shù)近似求值問題，學(xué)生可根據(jù)特定的精度要求，確定適當?shù)恼归_階數(shù)，然后求出準確近似值。

六、結(jié)語

在高等數(shù)學(xué)解題中融入泰勒公式所發(fā)揮的作用較為突出，因此在日常學(xué)習(xí)的過程中，要加強對這一公示方法的有效利用，結(jié)合解題的需求以及在其中所產(chǎn)生的難點在關(guān)鍵環(huán)節(jié)融入這一公式，找到問題的解決思路，發(fā)展解題思維。

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（薦稿人：周根全，西安翻譯學(xué)院副教授）

（責(zé)任編輯：邵秋露）

作者簡介：謝天遙（2003—），男，學(xué)士在讀，南開大學(xué)，研究方向為數(shù)學(xué)專業(yè)知識。