高中數學抽象思維的培養與課堂教學探析

摘 要：數學抽象思維能力是高中學生必備的關鍵素養之一，通過合理設計教學活動，優化課堂結構，可有效培養學生的數學抽象思維。以高中數學必修一第一章《集合與常用邏輯用語》教學為例，從集合概念引入、運算法則推導等環節入手，通過具象到抽象、特殊到一般的思維訓練，引導學生掌握數學抽象方法。在教學實踐中，通過設置遞進式問題、創設生活情境、引導學生主動思考等方式，幫助學生建立數學概念的形象認知，并逐步提升至抽象層面的理解與運用。實踐表明，系統的抽象思維訓練有助于提高學生的數學核心素養，增強學生的邏輯推理能力。

關鍵詞：高中數學；抽象思維；教學設計；集合；思維訓練

數學抽象思維是數學思維的重要組成部分，是學生獲取數學知識、解決數學問題的關鍵能力。高中數學相較于初中階段，概念更加抽象，邏輯推理要求更高，這對學生的抽象思維能力提出了更高要求。集合作為高中數學的基礎知識，其概念本身就體現了數學抽象的特征，通過研究集合的相關內容，不僅可以幫助學生理解數學抽象的本質，還能培養學生的抽象思維能力。在實際教學中，如何設計教學活動、優化課堂結構，引導學生從具象思維向抽象思維過渡，是值得深入研究的重要課題?；诖耍瑥募细拍罱虒W入手，探討高中數學課堂中培養學生抽象思維的有效途徑，對提升數學教學效果具有重要意義。

一、數學抽象思維的教學意義

（一）抽象思維與數學學習的內在聯系

數學抽象思維是認識數學本質、掌握數學規律的關鍵能力。在數學學習過程中，抽象思維幫助學生從具體事物中提取共同特征，形成數學概念和規律。以集合概念的學習為例，學生需要從“1～10之間的偶數”“到直線l的距離等于定長d的所有點”等具體實例中，抽象出“元素”“確定性”等集合的本質特征。抽象思維還支持學生建立數學模型，將實際問題轉化為數學問題。當學生面對“方程的所有實數根組成的集合”時，抽象思維使他們能夠將具體的數值關系抽象為代數表達式，并通過數學運算得到解集{1，2}。抽象思維貫穿于數學學習的全過程，是學生理解數學概念、掌握數學方法、解決數學問題的內在基礎。

（二）培養抽象思維的必要性和可行性

高中數學課程標準明確要求培養學生的抽象思維能力，這是提升數學核心素養的重要途徑。抽象思維使學生能夠從復雜的數學問題中抽取關鍵信息，建立問題解決的思路。在集合的教學中，學生通過抽象思維理解集合間的基本關系，如子集、相等等概念，進而掌握集合的運算規則。教學實踐表明，抽象思維的培養是可行的[1]。通過創設具體情境、設計層層遞進的問題、引導學生歸納總結等方式，教師可以幫助學生逐步提高抽象概括能力。當學生學習集合的交并運算時，通過Venn圖的可視化表示，能夠直觀理解抽象的運算法則，實現從圖形到符號的思維轉換。

（三）抽象思維在高中數學中的地位

抽象思維是高中數學教學的重要目標之一，它與數學的本質特征密切相關。高中數學中的集合、函數、向量等概念都具有高度抽象性，需要學生運用抽象思維理解和掌握。在集合教學中，學生需要理解“元素”“集合”等抽象概念，掌握集合的表示方法和運算規則。這種抽象思維能力的培養為學生后續學習奠定基礎，幫助學生建立數學直覺，形成數學思維方式。從教學角度看，抽象思維培養既是手段又是目的，它既幫助學生理解具體的數學知識，又提升了學生的數學素養[2]。數學教師應當重視抽象思維的培養，將其貫穿于教學全過程，使學生在數學學習中逐步提高抽象概括能力。

二、基于集合教學的抽象思維培養

（一）從具體實例到抽象概念

數學概念的形成過程體現了抽象思維的發展規律。在集合概念的形成中，學生需要經歷從具體事物到抽象概念的認知過程。這個過程包含觀察、比較、分析和概括等多個思維環節。教師需要設計適當的教學情境，引導學生注意到事物的本質特征，忽略非本質特征。在這個過程中，學生的抽象思維得到鍛煉，逐步形成對數學概念的深刻理解。教師應當注重創設多樣化的學習情境，使學生在不同的問題情境中體驗抽象思維的過程，培養其抽象概括能力。

（二）集合運算中的抽象思維訓練

集合運算為培養抽象思維提供了系統的訓練機會。通過集合的交、并、補等運算，學生需要建立起符號表達與實際含義之間的聯系。這種思維訓練不僅涉及對運算規則的理解，更重要的是培養學生用數學語言描述問題的能力[3]。在運算過程中，學生需要將具體的問題情境轉化為抽象的數學表達，這種轉化過程本身就是抽象思維的重要體現。學生在解決集合運算問題時，通過符號化、形式化的思維過程，逐步提高抽象思維水平。

（三）抽象思維向數學思維轉化

抽象思維的最終目標是培養學生的數學思維能力。在集合教學中，學生通過對具體問題的分析和抽象，逐步形成系統的數學思維方式。這種思維方式包括邏輯推理能力、空間想象能力、數學建模能力等。教師應當注重引導學生在解決問題的過程中，運用抽象思維進行分析和推理，建立起數學概念之間的聯系。通過持續的訓練和積累，學生的抽象思維能力逐步轉化為數學思維能力，為后續的數學學習奠定基礎。

三、教學案例分析：以集合概念教學為例

（一）教學環節設計

1.導入與探究

教師在導入環節以“1～10之間的所有偶數”和“立德中學今年入學的全體高一學生”這兩個實例引入課題。這兩個實例分別代表了數學情境和生活情境，有助于學生建立起對集合概念的初步認識。在探究階段，教師設計了三個層次的問題：引導學生說出這些集合中具體包含哪些元素；思考這些元素有什么共同特征；討論為什么“較小的數”不能構成集合。通過這些問題的層層深入，學生逐漸意識到集合的元素必須是確定的，且互不相同。教師巧妙利用“方程的所有實數根組成的集合”這一數學情境，引導學生認識到集合可以用不同方法表示。在探究過程中，教師采用小組合作學習的方式，讓學生通過討論、交流、辯論等形式，主動發現集合的本質特征。教師適時使用多媒體展示不同類型的集合實例，如幾何圖形集合、數集等，幫助學生從多角度理解集合的概念。

2.概念提煉與總結

例1 試分別用描述法和列舉法表示下列集合：

（1）方程的所有實數根組成的集

合；

（2）由大于10且小于20的所有整數組成的集合.

解：

（1）設，則是一個實數，且。

因此，用描述法表示為。方程有兩個實數根，因此，用列舉法表示為。

（2）設，則是一個整數，即，且10lt;lt;20。因此，用描述法表示為=

。大于10且小于20的整數有11，12，13，14，15，16，17，18，19，因此，用列舉法表示為={11，12，13，14，15，16，17，18，19}.

在集合概念的表示方法學習中，教師通過典型例題引導學生掌握列舉法和描述法兩種表達方式。以方程的解集為例，教師首先引導學生理解題意：這是一個由方程的所有實數根組成的集合。在求解過程中，學生需要先判斷的含義，即是該方程的解，必須滿足。這樣，用描述法可以將集合表示為，其中豎線“|”前面的“”說明取自實數集，后面的“”表明必須滿足的條件。通過解方程，得到，因此用列舉法可以將集合表示為。這個過程體現了從描述法到列舉法的轉化，幫助學生理解兩種表示方法的聯系。對于第二個例子，集合是由大于10且小于20的所有整數組成的集合。用描述法表示時，需要先明確元素的性質（整數）和范圍（大于10且小于20），即=。當轉換為列舉法時，學生通過一一列舉出滿足條件的所有整數{11，12，13，14，15，16，17，18，19}，加深對有限集合的理解。

教師特別強調，描述法和列舉法各有優勢：描述法能夠簡潔地表達集合的特征，尤其適合表示無限集合；列舉法則直觀明了，適合表示有限集合。兩種方法的轉換訓練，有助于學生深入理解集合的本質特征，提高抽象思維能力。在教學過程中，教師還注意培養學生使用規范的數學符號，如集合用大寫字母、表示，元素用小寫字母表示，屬于關系用符號“”表示，這些都是數學語言表達的重要組成部分。通過這樣的教學設計，學生不僅掌握了集合的兩種表示方法，更重要的是理解了集合表示的思維過程，為后續集合運算的學習奠定了基礎。為了鞏固這一知識點，教師可以設計一些轉化練習，如將{1，3，5，7，9}轉化為{是小于10的正奇數}，幫助學生熟練掌握兩種表示方法的轉換。

3.應用與鞏固

為了鞏固學生對集合概念的理解，教師設計了由易到難的多層次練習?；A練習包括判斷給定元素是否屬于某個集合，如判斷“”“”

等。提高練習要求學生靈活運用集合的兩種表示方法，如將集合{1，4，9，16}用描述法表示為{是不大于16的完全平方數}。教師還創設了實際問題情境，如“立德中學參加數學競賽的學生”“平面內距離定點為2的所有點”等，要求學生用集合語言準確描述這些問題。在練習講評中，教師注重引導學生說明思考過程，強調解題思路的重要性。通過這些練習，學生不僅掌握了集合的基本概念和表示方法，更重要的是學會了用集合的思維方式分析和解決問題。教師還通過課堂小測驗及時了解學生的掌握情況，針對共同問題進行重點講解，對個別學生的困惑給予個性化指導。

（二）思維訓練過程

1.從感性認識到理性認識

集合概念的學習始于學生的生活經驗，教師通過創設“一個班級的學生”“一個學校的教師”等具體情境，讓學生從熟悉的事物中獲得感性認識。課堂上，教師引導學生分析這些具體事物的構成要素，理解每個集合都由特定的元素構成。當學生能夠準確說出班級里有哪些同學、學校里有哪些教師時，他們已經具備了對集合的初步認識。教師隨后引入數學情境，如“平面內一條直線上的所有點”“方程的所有解”等抽象實例，幫助學生將思維從具體事物提升到抽象層面。在這個過程中，教師特別注重引導學生發現集合的本質特征：元素的確定性和互異性。通過比較分析不同類型的集合，學生逐步建立起對集合概念的理性認識。在引導學生理解集合概念時，教師還通過“較小的數”這樣的反例，幫助學生深刻理解集合元素的確定性特征。通過對比分析，學生認識到為什么“較小的數”不能構成集合，因為“較小”這個概念是不確定的，不同的人有不同的理解。這種反例的設計幫助學生更清晰地認識到集合的本質特征，使抽象思維的培養更有針對性。這種從具體到抽象、從感性到理性的轉變過程，體現了學生抽象思維發展的軌跡。

2.從特殊到一般的抽象

在集合概念的教學中，教師通過精心設計的教學活動，引導學生經歷從特殊到一般的抽象過程。面對“1～10之間的所有偶數{2，4，6，8，10}”這樣的特殊集合，學生能夠直接列舉出全部元素。教師繼而引入“所有的正偶數”這樣的一般集合，學生發現無法列舉所有元素，需要用描述法{是正偶數}來表示。教師設計了多組類似的例子，如從“第一排的同學”到“全班的同學”，從“等邊三角形”到“全體三角形”，幫助學生理解從有限到無限、從特殊到一般的抽象過程。在這個過程中，學生學會了用數學符號和語言準確描述集合，掌握了集合的一般表示方法。教師通過設置不同層次的問題，引導學生發現集合之間的共同特征，形成對集合概念的一般理解。

3.建立數學思維模型

集合概念的學習最終要形成系統的數學思維模型。教師引導學生將集合的知識與已有的數學經驗聯系起來，如將數集（、、、）納入集合的框架中理解。通過比較不同數集之間的關系，學生認識到集合之間可以有包含關系。教師設計了系列問題，引導學生用集合的思維方式分析和解決問題，如“一個班級參加各種社團的學生分布情況”可以用集合的交并運算來描述。在解決這類問題時，學生學會了將實際問題轉化為集合問題，并用集合運算求解。通過持續訓練，學生形成了用集合語言思考問題的習慣，建立起完整的數學思維模型。這種思維模型不僅適用于集合問題的解決，還能遷移到函數、幾何等其他數學領域的學習中。

（三）教學效果評估

1.學生認知水平提升

集合概念教學后，學生在多個維度表現出認知水平的顯著提升。課堂測試顯示，95%的學生能夠準確識別集合的基本特征，正確判斷給定對象是否構成集合。在集合表示方法的運用上，學生能夠靈活選擇列舉法或描述法表達集合，如將“小于10的自然數”既能表示為{0，1，2，3，4，5，6，7，8，9}，也能表示為{且lt;10}。在實際問題的解決中，學生表現出較強的知識遷移能力，能夠將“參加各種競賽的學生”“平面內特定圖形的點集”等問題轉化為集合的語言。課堂觀察發現，學生在數學表達時更加準確規范，能夠自如運用、等數學符號，說明學生已經形成了較為系統的集合概念認知結構。通過隨堂練習和課后作業的分析，學生對集合的理解從表面的記憶提升到了本質的把握。

2.抽象思維能力發展

通過集合概念的學習，學生的抽象思維能力得到顯著提升。在課堂討論中，學生能夠從具體事物中提取共同特征，如從“正方形”“長方形”“菱形”等具體圖形中抽象出“平行四邊形”的概念。在解決問題時，學生表現出較強的抽象概括能力，能夠將復雜的問題條件轉化為集合的語言表達。例如，面對“既參加數學競賽又參加物理競賽的學生”這樣的問題，學生能夠準確地用集合的交集表示。在集合運算的學習中，學生逐步形成了符號化思維的能力，能夠運用交集、并集、補集等運算符號準確表達集合間的關系。通過課堂觀察和作業分析，學生在數學語言的運用、邏輯推理的嚴密性等方面都表現出明顯進步，說明其抽象思維能力已經達到了較高水平。

3.數學核心素養形成

集合概念的教學過程中，學生的數學核心素養得到全面發展。在數學抽象方面，學生能夠理解并運用集合這一基本的數學工具，將現實問題抽象為數學模型。在邏輯推理方面，學生能夠運用集合的基本定義和性質進行演繹推理，如判斷兩個集合是否相等、一個集合是否為另一個集合的子集等。在數學表達方面，學生掌握了用集合語言描述問題的方法，能夠準確使用數學符號和術語。問題解決能力的提升體現在學生能夠運用集合的知識分析和解決實際問題，如處理數據分類、解決計數問題等。通過課堂表現和期末測評的綜合分析，學生在數學思維、數學運算、數學表達等方面都形成了較為完整的數學核心素養體系。

四、抽象思維培養的教學建議

（一）把握循序漸進原則

教師在集合概念教學中應當嚴格遵循數學認知規律設計教學環節。在概念引入時，可通過設置數形結合的系列問題，如從具體的點、線、面幾何圖形入手，引導學生認識集合的基本特征。教學設計應遵循“由具象到抽象”“由特殊到一般”“由簡單到復雜”的遞進路徑。例如，在講解集合的表示方法時，先用列舉法表示有限集合，再過渡到描述法表示無限集合；在講解集合運算時，先從兩個簡單集合的交并運算入手，再逐步擴展到多集合的復合運算[4]。教師還需要注意知識間的內在聯系，將集合概念與學生已掌握的數集知識建立聯系，幫助學生形成系統的知識結構。針對不同層次的學生，教師要設計多層次的教學目標和練習內容，實現因材施教。

（二）課堂組織形式多元互動

課堂教學中應當創設多樣化的教學形式，激發學生的學習主動性。教師可以采用“探究式”和“啟發式”相結合的教學方法，通過設置問題鏈，引導學生主動發現集合的性質和運算規律。例如，在探究集合間的包含關系時，可以讓學生通過操作實物模型、繪制Venn圖等方式，直觀感受集合的關系。課堂組織形式要靈活多樣，可以采用“個人思考—小組討論—全班交流”的模式，讓學生在交流中碰撞思維火花，形成對集合概念的深刻理解[5]。教師要善于設計開放性問題，如“請你創造一個既是方程的解集又是函數的定義域的集合”，培養學生的創造性思維。在教學過程中，要重視學生的主體地位，鼓勵學生提出不同的解題思路和方法。

（三）持續深化的思維訓練

抽象思維的培養是一個持續深化的過程，需要通過系統的訓練才能實現。教師要在日常教學中有意識地滲透抽象思維訓練，如引導學生用集合語言描述生活中的現象，用集合思維分析數學問題?？梢栽O計一些需要多步驟思考的綜合性問題，如“用集合語言描述函數的單調性”“用集合運算表達幾何圖形的性質”等，培養學生的邏輯推理能力。教師應當注重培養學生數學語言的準確性，引導學生用規范的數學符號和術語表達思維過程。在習題設計上，要注重典型性和層次性，通過基礎訓練—鞏固提高—拓展應用的遞進模式，幫助學生形成系統的抽象思維能力。同時，要重視數學思維方法的總結，幫助學生形成解決問題的思維模式。

結束語

抽象思維能力的培養是一個循序漸進的過程，需要在日常教學中系統設計、持續訓練。教師應當把握學生認知特點，通過創設情境、設置問題、引導探究等方式，幫助學生建立數學概念的具象認知，進而提升到抽象層面的理解。在集合概念的教學中，教師需要注重思維過程的引導，讓學生經歷從具體到抽象、從特殊到一般的思維訓練。同時，要重視數學語言的準確性，培養學生用數學語言表達抽象思維的能力。通過系統的教學設計和實踐，學生的抽象思維能力必將得到有效提升。

參考文獻

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