學具操作：促進學生空間觀念進階

［摘 要］空間觀念是學生必備的關鍵能力之一，是形成空間想象力的經驗基礎。文章以“長方體和正方體的認識”為例，圍繞學具識別、學具分析、學具解構、脫離學具等操作，引導學生在觀察觸摸中積淀空間感知、在拼搭體驗中建立空間表象、在運動解構中發展空間想象、在多元表征中促進空間推理，從而促進學生空間觀念的進階。

［關鍵詞］學具操作；空間觀念；思維進階

［中圖分類號］ G623.5 ［文獻標識碼］ A ［文章編號］ 1007-9068（2025）08-0086-04

《義務教育數學課程標準（2022年版）》（以下簡稱《課程標準》）指出，“空間觀念主要是指對空間物體或圖形的形狀、大小及位置關系的認識。能夠根據物體特征抽象出幾何圖形，根據幾何圖形想象出所描述的實際物體；想象并表達物體的空間方位和相互之間的位置關系；感知并描述圖形的運動和變化規律?！笨梢?，空間觀念不僅是對圖形的形狀、大小、位置關系、特征等方面的認識，也是形成空間想象力所需的經驗基礎，是學生必備的數學關鍵能力之一。

一、小學生空間觀念發展的階段性特征

相關研究表明，學生空間觀念的發展呈現一定的階段性。皮亞杰認為，學生空間概念的發展可分為拓撲、歐氏幾何、空間度量三個階段；范希爾夫婦將幾何思維的發展劃分為視覺、分析、非形式化演繹、形式化演繹和嚴密性五個水平；孫學東教授認為空間觀念的發展是一個思維進階的過程，表現為空間感知、空間表象、空間想象和空間推理等認知水平的階段性遞進發展。由此可見，學生處在不同的年齡階段呈現出不同的思維水平。在研究圖形時，學生需要經歷對具體圖形形狀及特征的了解、抽象、概括、分析與綜合的思維進階過程。

二、學具操作對于空間觀念發展的作用

皮亞杰認為，空間觀念的形成不像拍照，要想建立空間觀念，必須經歷動手做的過程?？梢姡ㄟ^實際操作學具對學生空間觀念的發展具有顯著的促進作用。教師可依據小學生思維發展的特點和《課程標準》的教學建議，結合教材內容所需，引導學生操作學具，使學生在手腦協同的作用下逐層深入地參與到空間思維的活動中。

在學習任務的引領和教學活動的組織實施中，學具的使用不局限于單一的觀察，也不止于純粹的操作，而是融觀察、操作、想象、推理等多種元素為一體的數學思維活動。因此，充分發揮學具的教學功能，合理地設計學習任務，有效組織學習活動，可以幫助學生經歷實物識別、圖形認識、圖形分析和圖形解構的過程，發揮學具巨大的效能，從而實現學生空間觀念的進階。

三、學具操作促進空間觀念進階的策略

長方體和正方體是小學階段圖形與幾何領域涉及的第一組立體圖形，這一知識點的學習標志著學生對圖形的認識從平面圖形向立體圖形跨越，并為將來研究圓柱和圓錐等其他立體圖形奠定堅實的基礎。

在實際教學中，教師不僅要重視高學段學生空間觀念的發展，更要強化低學段學生空間觀念的形成，以避免出現學生空間觀念發展“斷層”的現象。下面以“長方體和正方體的認識”一課為例，參考孫學東教授提出的“做數學”理念，構建學生空間思維進階的四層階段：空間感知、空間表象、空間想象和空間推理。以學具操作為主要活動形式，在實踐中思考并形成“學具操作”為核心的空間觀念進階教學策略（如圖1）。

（一）在觀察觸摸中積淀空間感知

空間感知構成了空間表象的基礎，涉及對客觀世界空間屬性的感知，包括對物體的大小、距離、形狀和方位等的直覺。學生對長方體和正方體的認知需要經歷對學具的觀察、觸摸等空間感知階段。若忽略這些階段，就忽略了學生對圖形的空間感知和從具體實物中抽象概念的過程，限制了學生空間表象的發展。

1.實現二維到三維的自然跨越

長方體和正方體作為基礎的立體圖形，是學生從二維平面向三維空間認知過渡的起點。在第一學段，學生已經對一些立體圖形有了初步的了解，并能夠進行基礎的辨識。為此，筆者向學生提供了長方體實物（如圖2-1）和長方體框架模型（如圖2-2），引導學生進行看一看、摸一摸、找一找、說一說，幫助他們在直接感知下明晰長方形和長方體之間的區別和聯系。

2.注重幾何概念的深刻理解

學生對概念的掌握程度直接影響其空間觀念的形成，他們對長方體和正方體的認識不應是淺層的、單薄的，而應是從對概念的記憶，到對概念的內涵以及概念與概念之間關系的認識，再到豐富的、多層次的問題解決的能力建構。因此，學生對于立體圖形面、棱、頂點的理解和認知不能僅僅局限于理論知識，還需借助對學具的觀察和觸摸，多視角、全方位地體驗面、棱和頂點的實際位置，從而深刻理解概念、積淀空間感知。

（二）在拼搭體驗中建立空間表象

空間表象是空間觀念的關鍵。通過有效的操作活動，學生能夠構建正確的空間表象。在教學中，組織學生運用學具拼搭長方體和正方體模型，讓學生在操作中深入地認識和理解長方體和正方體的特征，從而在真正意義上完整地經歷從空間感知到建立空間表象的過程。

在探索長方體和正方體特征時，筆者安排了以下兩個教學活動。

活動1：四人小組合作，用長方形磁力片（如圖3-1）、不同顏色、長度的小棒和連接頭（如圖3-2）等學具，拼搭出不同類型的長方體或正方體。

【教學片段】

師：仔細觀察長方體和正方體的面、棱和頂點，你有什么發現？并分享你觀察的學具。

生1：我發現長方體有6個面。

師：你是怎么想的？能用算式表示自己的想法嗎？

生1：長方體的前后、上下、左右分別相同，因此有2×3=6（個）面。

師：真棒！生1不僅發現了長方體的面的個數，還發現相對的面完全相同。

生2：長方體放在桌面上，從一個方向最多能看到3個面，看不見的面也有3個，一共6個面。

師：看來相同的結果也可以有不同的想法。還有其他發現嗎？

生3：我發現長方體有12條棱，（指著圖4）紅色、黃色、藍色各4條，一共有4×3=12（條）。

生4：我也認為有12條棱，不過數法和生3的不同，我發現上面一圈有4條棱，下面一圈有4條棱，豎著的還有4條棱，所以一共有4×3=12（條）棱。

生5：我發現長方體有8個頂點。

……

只有操作經驗支持的空間表象才能夠長久地“印刻”在學生的腦海中，并且在將來解決問題時，學生能夠有效地提取和應用這些知識。在操作的過程中，學生不斷地調整和思考，經歷了長方體和正方體搭建的完整過程，在操作體驗中建立了空間表象。通過這些直接經驗，學生能夠對長方體和正方體的特征有更全面的理解和掌握，這將為學生空間想象能力的發展提供堅實的基礎。

（三）在運動解構中發展空間想象

空間想象是指在現實世界的基礎上，對空間表征進行加工和重塑，以創造新形象的能力。它是發展空間觀念的重要途徑，是在空間感知、空間表象基礎上的更高層次的思維活動。引發學生進行空間想象，需要有效的載體，即教師要為學生提供良好的情境或新穎的材料，這是促進學生主動進行空間想象的內驅力。

材料的創新性依賴于具體的問題和在具體情境中的操作。傳統的長方體和正方體模型是學具操作后的靜態產物，能夠幫助學生形成空間感知，促進學生空間表象的豐富構建，此時，教師通過結合具體問題，引導學生運用動態移動或拆解等操作，可以進一步促進學生空間想象力的發展。

1.在圖形運動中發展過程想象能力

在幾何學中，“點動成線、線動成面、面動成體”從而建立了點、線、面、體之間的關聯。在教學中，引導學生使用長方形磁力片學具在三維空間平移，演示圖形運動的過程，以此幫助學生感受圖形元素在空間的運動軌跡，建立長方形與長方體的聯系。

【教學片段】

師：如果將一組相對的底面為正方形的長方體的4條側棱逐漸縮短（配合肢體語言演示），想象一下，可能會變成什么圖形？

（學生答略）

學生在想象圖形運動的過程中，感受到長方體與正方體之間的內在關聯，即正方體是長、寬、高都相等的特殊長方體。

2.在圖形解構中發展結構想象能力

長方體和正方體是常見的立體圖形，有著自身獨有的結構特征。為了讓學生對長方體和正方體有更加深入的認識，筆者設計了“殘缺的框架”和“給框架配面”兩個教學活動。

活動1：殘缺的框架。圖5中有4個殘缺的長方體框架，請想象并還原長方體的原有結構。

學生在還原的過程中引發思考：不同的長方體部分，為什么有的只能還原出一種長方體，而有的卻還原出不同長方體呢？

活動2：給框架配面。這里有一些長方形和殘缺的長方體框架模型（如圖6），請你給殘缺的長方體框架“配面”，還原長方體的原有結構。

通過這樣的方式，學生能夠直觀地感知長方體的內部結構，并通過想象體會到長方體棱長與面的邊長關系。

（四）在多元表征中促進空間推理

空間推理是促進學生空間觀念進階的重要思維方式，是以空間形體及其相互關系為基礎的推理活動，是空間觀念的重要內涵。學具是典型的工具型教學支架，柯林斯等學者所提出的“漸隱”概念，即逐步減少支架式支持，對學生的自主探究具有顯著的促進效果。因此，學具的運用旨在實現“漸隱”——脫離學具，通過學具輔助的分析與解構過程，幫助學生深化對空間推理的理解，從而促進對現有知識的深入認知，并進一步發展其空間觀念。

面、棱與頂點是長方體和正方體的基本特征，然而在傳統教學中，這些元素之間的內在聯系往往未受到足夠重視?；趯W生對長方體和正方體的面、棱、頂點數量的了解，引導學生通過空間推理進行邏輯驗證與分析，能夠讓他們對自身已有知識進行新的發現和創造性思考。

【教學片段】

師：關于長方體和正方體，你還有什么發現？

生1：1個頂點處有3條棱。

師：是的，生1發現了頂點和棱之間的關系。還有嗎？

生2：1個面上有4個頂點和4條棱。

生3：我發現不用數也可以算出棱的數量。既然一個1個頂點有3條棱，那么8個頂點就共有3×8=24（條）棱，因為每一條棱都算了兩次，所以一共有24÷2=12（條）棱。

師：此處應該有掌聲。真了不起！生3他根據頂點和棱的關系推出了棱的數量計算方法。還有其他想法嗎？

生4：1個面上有4個頂點，那么6個面上就有24個頂點，每個頂點都算了3次，所以一共有6×4÷3=8（個）頂點。

師：真棒！生4找到了面和頂點之間存在的內在關聯。

雖然空間感知（作為前提）、空間表象（構成基礎）、空間想象（作為動力）和空間推理（提升、空間觀念形成的標志）在空間認知水平上呈遞進關系，但在教學活動中，針對具體的教學內容進行層級設計時不應將其割裂開。多種表現在不同的環境中是交錯共存、互相影響的，即在不同的情境下，同一學生可能會表現出不同的空間認知水平；相同的情境下，不同的學生也有可能表現出相同的空間認知水平。因此，“學具操作”促進學生空間觀念進階并非一種嚴格劃分的表現形式，而是一種通常情況下的描述。在多數情況下，教師仍需根據學生的具體學習情況，在課堂上靈活地進行調整和實施。

［ 參 考 文 獻 ］

[1] 中華人民共和國教育部.義務教育數學課程標準（2022年版）[S].北京：北京師范大學出版社，2022.

[2] 曹泓鈺.具身認知下小學生數學空間觀念發展的教學策略研究[D].重慶：西南大學，2023.

[3] 孫學東.“做數學”促進學生空間觀念發展[J].教學與管理，2022（6）：90-93.

【本文系江蘇省中小學教學研究第十四期重點自籌課題“提升區域小學生‘直觀想象’整體水平的實踐研究——基于學測數據分析的跟進式改進”（課題編號：2021JYJC14-ZB14）的階段性研究成果?！?/p>

（責編" " 梁桂廣）