“引導-發現”教學模式在初中數學課堂的應用與思考

［摘要］“引導-發現”教學模式強調學生的主體作用，重視學生發現、提出、分析和解決問題能力的培養. 在日常教學中，教師應注重創設有效的教學情境，引導學生主動發現、提出問題，并鼓勵學生主動解決問題. 通過親身體驗知識的發現與形成過程，推動學生全面發展.

［關鍵詞］“引導-發現”教學模式；過程；全面發展

在傳統的數學教學中，尤其是在概念、性質、公式等基礎知識的教學中，部分教師為了“求快、求多”，常常采用“講授+練習”模式讓學生識記、套用.這種模式不利于學生學習能力和思維能力的提升，還容易引發學生的厭倦情緒.因此，在日常教學中，教師應重視引導學生參與知識的形成過程，鼓勵學生自主發現、自主探索、自主應用，讓學生逐步形成適應個人終身發展和社會發展需要的必備品格與關鍵能力［1］.在這一思路的指導下，初中數學教學應迅速采納“引導-發現”教學模式，以滿足數學核心素養的培育要求.在該模式下，“引導”主要針對教師而言，而“發現”則聚焦于學生.教師的引導旨在促進學生的自主發現，兩者呈相輔相成關系.引導與發現相互依存，引導不應簡化為鋪設現成的道路，而應激發學生更深層次的發現.盡管“發現”本質上屬于學生，但鑒于初中生的學習能力和認知特性，他們的“發現”過程無法完全獨立.因此，教師必須超越傳統的教學觀念，從輔助學生發現的角度出發，培養引導技能，促進學生數學學科核心素養的健康發展，這無疑是對許多教師發起了重大挑戰.教師在繼承優秀教學傳統的同時，構建以學生為中心的教學理念，在實踐中不斷積累經驗，提升教學水平.在教授“角平分線的性質”時，筆者運用“引導-發現”教學模式，有效地激發了學生的學習興趣，并促進了他們的個性發展.

教學過程

1. 創設情境，激發探究欲

情境：小明的家正好位于自來水管道和天然氣管道所形成角的平分線上的P 點.若需從P 點鋪設兩條管道，分別連接自來水管道和天然氣管道，如何鋪設才能使總距離最短？這兩條管道的長度存在怎樣的關系？師生活動 教師讓學生畫一畫、量一量， 猜想這兩條管道的長度相等.

設 計意圖 以生活實例為背景，引導學生復習并鞏固角平分線的概念，同時直觀地感受角平分線上任意一點到兩邊的距離相等，能有效地激發學生的探究興趣.學生的探究興趣一旦被點燃，他們在學習過程中更容易有所發現，從而為“引導-發現”教學模式的實施打下堅實的基礎.

2. 探究角平分線的畫法

師 剛才你們是如何畫一個角的平分線的？

生1 我是憑感覺畫的.

師 還有沒有其他方法呢？

生2 可以使用量角器來畫.

師 是個辦法，不過這兩種方法都會產生誤差.你能利用其他方法準確地畫出已知角的角平分線嗎？（學生積極思考）

生3 可以使用尺規來畫.

師 請大家先動手畫一畫，說說你們的發現.（教師預留時間讓學生動手操作）

生4 根據情境可知，我們要畫∠AOB的平分線OC，而兩點確定一條直線，點O 不變，因此我們只需確定另一點C的位置即可.

師 那么，點C 在哪里呢？

生5 我們可以倒過來想，如圖1，假設點P 是∠AOB 平分線上的一點，過點P 作PD ⊥ OB于D，作PE ⊥OA于E.結合角平分線的概念及三角形全等經驗易證△OPE≌△OPD，所以OE=OD. 分別以點D和點E 為圓心，以任意長為半徑畫弧，兩弧交點就是所求的點C.

師 很好.從剛剛的情境入手，發現圖1中蘊含的等量關系，通過逆向推理找到了解決問題的突破口.仔細分析以上過程，談談你們的發現.

生6 點D 和點E 是在已知點P是∠AOB的平分線上的點的前提下找到的，如果不清楚點P 的具體位置，我們該如何尋找OE=OD呢？

生7 以點O 為圓心，任意長為半徑畫弧，交∠AOB 的兩邊于點D和點E，由此可得OE=OD.

師 補充得非常好.現在，請大家總結歸納作角平分線的方法，并利用該方法作一個已知角的平分線.

在教學中，教師應預留時間讓學生動手操作，并指導學生將操作步驟一一記錄下來.當大部分學生完成任務后，教師應利用投影儀展示學生的作品，并邀請學生口頭描述繪圖過程，然后讓學生相互點評.通過這種動手實踐和口頭表達的方式，能夠使學生更深入地理解角平分線的畫法，同時鍛煉他們的語言表達技巧，有助于培養學生的邏輯思維能力.

設計意圖 教師從學生的已有知識和經驗出發，引導他們經歷一個從無到有的自主探究過程，使他們能夠發現、理解并掌握已知角的平分線的畫法.在這個過程中，教師以學生為中心，運用發現式探究方法，有效地激發學生的數學思維能力和推理能力，促進理性思維習慣的養成.深入研究學生的學習過程不難發現，學生最初大多是依靠直覺來畫角平分線，也有學生嘗試使用量角器，這些都是基于直覺的解決數學問題的方法.這時，教師應引導學生從直覺走向理性，即讓學生超越直覺認識，將解決問題的思路建立在作圖工具和數學知識的基礎之上，這就是學生的發現過程，既有學生的初步探索，也有成功之后的深入研究.可以說，學生是在自身成就動機的推動下進行深入研究的，而教師則發揮了關鍵性的引導作用.

3. 探究角平分線的性質

師 在研究幾何圖形時，我們通常遵循哪些思路呢？

生8 以平行線為例，我們首先探討其概念，隨后深入研究其性質、判定定理以及應用.

師 我們已經掌握了角平分線的定義，并熟悉了角平分線的畫法，接下來你們希望探索哪些內容呢？

生齊聲答 角平分線的性質.

設計意圖 教師通過引導學生將新知識與已有知識進行類比，不僅順利過渡到下一個研究主題，而且幫助學生領悟到數學知識之間存在某種內在聯系，這對于培養學生的理性思維和構建數學知識體系具有積極意義.

師 請大家按照如下步驟作圖：①任意畫一個∠AOB；②作∠AOB 的平分線OC；③在OC 上任取一點P，過點P 作PE ⊥ OA， PD ⊥ OB， 垂足分別為E，D.

師 由于大家所作的角的大小各不相同，因此得到的圖形也各不相同.分析這些不同的圖形，你認為有哪些是保持不變的？又有哪些是發生了變化的？

生9 大家所作的角的大小各不相同，所以角的大小是變化的；由于點P 是OC 上的任意一點，因此點P 在OC 上的位置是變化的；隨著點P 的位置的變化，PE，PD 的長度也會隨之變化，不過，無論點P 的位置如何變化， ∠PEO = ∠PDO =90°和PE = PD 始終不變.

師 分析得非常好，在變與不變中找到了兩個相等關系. 那么，PE = PD 為什么始終不變呢？你們能給出具體的理由嗎？

生10 根據已知條件均可證明△OPE≌△OPD，所以PE = PD.師 結合以上變與不變的關系，請說一說你們的發現.

生11 無論∠AOB 的大小如何變化，以及點P 在角平分線上的位置如何變化，總有PE = PD.也就是說PE = PD 與角的大小及點P 在角平分線上的位置無關.

師 你們能用數學語言進一步歸納總結這一發現嗎？

教師引導學生進行歸納總結，并組織學生互動交流.隨后，教師總結討論內容，得出角平分線的性質：角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.

師 對于這一性質定理，如何證明呢？

教師啟發學生思考已知條件和結論，然后結合已知條件畫出圖形，利用符號語言表示已知和結論，最后運用所學知識進行邏輯證明.

師 你能將這一性質定理轉化為一道證明題嗎？

生12如圖1，已知OC平分∠AOB， 點P 是OC上一點， 作PE ⊥ OA 于E， 作PD ⊥ OB 于D，求證：PD=PE（證明過程略） .

設計意圖 教師滲透變與不變的思想方法，引導學生在變化中逐步辨識出不變的實質，進而掌握角平分線的性質.在此過程中，教師鼓勵學生運用所學知識進一步驗證角平分線的性質定理，以此深化對角平分線性質定理的理解，并提升學生的數學推理能力.

4. 應用練習，理解新知

例1 如圖2，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線， 且BD=CD，DE⊥AB， DF⊥AC， 垂足分別為E，F.求證：EB = FC.

師生活動 例1的難度適中，教師首先讓學生獨立證明，隨后引導學生闡述證明思路，最后教師展示完整的證明過程.在例1得到妥善證明之后，教師接著提出兩道變式題目：

變式1：在△ABC 中，若∠C =90°， AD 是∠BAC 的平分線，DE ⊥ AB 于E，F 在AC 上，且BD =DF，求證：CF = EB.

變式2： 在△ABC 中，若∠C =90°，AD是∠BAC的平分線，DE ⊥ AB于E，BC = 8，BD = 5，求DE.

設計意圖 教師引導學生直接運用角平分線的性質定理解決問題，以進一步鞏固和加強角平分線性質定理的理解，提升學生的數學知識應用能力.同時，在這一過程中，通過一題多變策略，可以有效地拓展學生的數學思維，拓寬解題思路，進而培養數學知識的運用能力.

5. 課堂小結，促進內化

師 通過本節課的學習，你們有哪些收獲？還存在哪些困惑？請從知識、技能、思想方法等方面談談你們的想法.

師生活動 教師引導學生進行歸納，鼓勵他們主動交流，最后由教師進行總結，營造一種充滿活力的課堂氛圍.

設計意圖 教師安排時間讓學生歸納總結，能有效激發學生的主動參與意識，提升學生的數學語言表達能力和歸納總結能力，促進知識和思想方法的內化.

教學思考

在初中數學教學中，教師應注重對學生的引導作用，鼓勵他們積極投身于知識海洋的探索.重視并運用“引導-發現”模式，促進教學過程的持續改進，從而提高學生的綜合學習能力和學習水平［2］ .在日常教學中，教師不僅要關注學生對知識和技能的理解與掌握，還應注重思想方法和情感態度的全面發展.這樣，學生在學習過程中不僅能獲得知識，還能將學到的數學思想和數學方法應用于其他問題的分析和解決，從而達到培養終身學習能力的目的.

“引導-發現”模式的應用，能夠為學生在數學知識的學習與運用中帶來良好的學習體驗和精神狀態——這是一種既滿足學生認知發展又關照情感需求的教學方式，同時也有助于構建師生之間更加自然和諧的教學關系.教師必須深刻認識到數學教學并非是讓學生機械記憶數學概念，然后用于解答問題的過程，數學教學應是學生在內在動機驅動下主動構建數學知識，并在此過程中掌握數學思維方法、提升數學學科核心素養的過程.這種教學方式對于學生而言，通常意味著一種無壓力的、純粹的數學探究經歷，而探究過程中產生的各種情感體驗，又可能進一步激發學生的學習熱情，推動他們向更高層次邁進.豐富的教學實踐證明，當學生處于主動探索的學習狀態時，教師自然而然地轉變為適時的引導者角色.因此，教師需要培養觀察學生學習過程的能力，識別學生在哪些環節需要引導，以及引導應達到何種程度……通過這種“引導”，學生的“發現”能力將得到有效提升.從此視角審視上述案例，我們發現無論是問題的設置與提出，還是變式的提供，本質上都是在學生探索過程中進行引導的嘗試，而學生確實在這一過程中實現了持續成長.

深入分析上述案例，我們發現在本課程的教學實踐中，教師十分注重融入變與不變的思想方法.引導學生觀察變化的圖形，學生從中發現了一個不變的規律：無論角的大小如何變化，角平分線上的任意一點到兩邊的距離總是相等.這一發現讓學生在變與不變之間歸納出角平分線的性質定理.此外，教師在教學過程中鼓勵學生獨立思考、主動探索和相互交流，在獨立思考與合作探究中激發思維碰撞的火花.這種方法能有效地激發學生的主動性和積極性，提升他們分析問題和解決問題能力.

總之，在日常教學中，教師應注重引導學生主動探索數學知識，讓學生主動發現、提出、分析和解決問題，切實提升學生參與課堂的積極性，培養學生勇于實踐、敢于探索的學習精神，發展學生的數學能力和數學核心素養. 教師應擺正自己作為“引導者”的角色定位，并且恰如其分地發揮“教學”作用，進而鞏固數學學科核心素養發展的基礎.