初中數學教學中逆向思維的培養

楊杰

摘要：逆向思維是創造性思維的一個組成部分，也是進行思維訓練的載體，培養學生逆向思維過程也是培養學生思維敏捷性、拓展學生思維視野的過程。本課例通過提公因式法分解因式教學過程，試圖培養學生的逆向思維。

關鍵詞：逆向思維;數學教學;數學思維;因式分解;提公因式法

一、設計背景及問題分析

因式分解需要把一個多項式化為幾個最簡整式的積的形式，如果從運算角度上考慮，實際上就是把一個表示和的形式，改變式子的結構，寫成乘積的形式，但要保持兩者仍相等，這樣的變形過程與整式乘法之間是互逆的關系.因此，分解因式的變形正是體現了逆向思維的過程，所以我以本節課為課例進行探索研究數學教學中逆向思維的培養過程。

二、培養逆向思維的教學設計

（一）理解公式的形成過程

因式分解的原理來自多項式乘法，比如（a+b）（a-b）=a2-b2 和a2-b2=（a+b）（a-b）是一種逆向變形的關系.教學過程中，既要引導學生借助正向思維去獲得公式，掌握其規律，也要讓學生通過“瓜”來找“藤”，做到來去自如.

對于提取公因式法的學習，我這樣操作：

1.讓學生寫出：a（m+n+q）=am+an+aq，然后利用等式的特征寫出am+an+aq=a（m+n+q）.

2.我可以借助數形結合的方法展示如圖，從而很快讓學生理解：am+an+aq=a（m+n+q）

3.通過比喻的方式讓記住這兩個公式的表達形式：a（m+n+q）=am+an+aq——假如a前去某公司（括號正代表公司的房子）參觀，正好遇到了過去的朋友m，n，q三人都在這家公司工作，于是a分別與這三人握手示好;am+an+aq=a（m+n+q）——握手并在這家公司辦完事情后，a離開了這家公司，所以a已經在括號（公司）的外面了，而原來與他握手的三人還在括號里面.

4.計算25×4+25×34+25×2，在實踐中理解這表示4個25相加，34個25相加，2個25相加，所以一共是40個25相加，與以原式等于40×25，這樣就促進了理解.

5.歸納提取公因式法.

6.加強實戰訓練，嘗試練習提取公因式法.

（二）利用等式性質，作出逆向思考

從命題的角度分析，一個原命題的命題可以是真命題也可以是假命題，比如對于平方差公式：（a+b）（a-b）=a2-b2來說，它只是一種整式乘法的形式，表述成語言就是兩數和與之兩數差的乘積等于這兩數的平方差，那么“如果兩數寫成平方差的形式，其結果是否等于兩數之和與兩數之差的積呢？”有的學生想當然地說這是成立的，理由呢，大家就會一籌莫展，而事實上，a=b成立，b=a就是成立的，用反證法也能證明它.學生就接觸過這樣的例子：因為|5|=5、|-5|=5，所以絕對值等于5的數有5與-5.但同樣5=|5|還是成立的，這里要防止是的把調換兩式位置兩種情況與原逆命題混為一談.比如對于平方差公式的思考方法：因為（a+b）（a-b）=a2-b2，所以等式a2-b2=（a+b）（a-b）右邊部分等于a2-b2，與左邊完全一樣，所以a2-b2=（a+b）（a-b）成立.也可以運用反證法思考（學生還沒有學習過，但其邏輯常識是早已被學生所接受的）：如果a2-b2≠（a+b）（a-b），那么根據（a+b）（a-b）=a2-b2，替換上以后出現a2-b2≠a2-b2的情況，這說明前邊的假設是錯誤的，故a2-b2=（a+b）（a-b）.

三、課堂實踐

【實踐過程】

2019年4月26日，八年級4班。

通過教室電子錄課設備錄下整節課的教學過程，課下與本組老師交流課堂中的關鍵環節，如提取公因式法概念的獲取效果和運用逆向思維解題的正確率。

【片段描述】

師： 分解因式? 5a2x+10ay-25a3xy

生：先統觀全局，適當變化，發現可以逆用分配律，而“a2”與“a3”逆用同底數冪的乘法am·an=am+n，可變成“a·a”與“a·a2”，便于尋找公因式：

解：5a2x+10ay-25a3xy

=5a·ax+5a·2y-5a·5a2xy

=5a（ax+2y-5a2xy）

師：試說明993-99能被100整除

生：993可以逆用同底數冪的乘法法則變成99×992，然后逆用分配律將99×992-99進行分解。

解：993-99

=99×992-99×1

=99×（992-1）

=99×9800

=99×98×100

所以，993-99能被100整除

四、研究結論

在兩輪課堂實踐后，從課堂觀察員教師的觀察事實和微測評數據，驗證了逆向思維對知識獲取的重要性，如果在學習分配律、乘法公式、冪的運算性質時，多進行些逆向思維訓練，那么在學因式分解時，就顯得容易多了。

參考文獻：

[1]馬建林.新課標下初中數學教學逆向思維的開發與探索[J].數學學習與研究，2021（10）：2.

[2]王國森.初中數學教學中學生逆向思維的培養策略[J].知識窗 2021（16）：3.