基于“四個理解”的數學教學實踐與思考

[摘" 要] 在教學中，若想培養學生用數學眼光觀察現實世界、用數學思維思考現實世界、用數學語言表達現實世界的能力，教師必須深入掌握“四個理解”，持續更新教學理念，優化教學策略，并引導學生親身體驗知識形成與發展的過程.

[關鍵詞] 四個理解;兩角差的余弦公式;數學學科核心素養

在新課程、新教材、新高考的背景下，數學教學不僅是要培養學生掌握知識技能，更重要的是提升學生的實踐與創新能力，發展學生的數學學科核心素養，而這需要教師深入理解數學、理解學生、理解教學、理解技術. 在“四個理解”理論的指導下，教師應當精心挑選教學材料，營造適宜的學習氛圍，并充分利用現代技術的優勢，引導學生主動思考和積極實踐. 本文以“兩角差的余弦公式”教學為例，探討如何踐行“四個理解”教學理念.

教學簡錄

1. 創設情境，激發熱情

問題1 勾股定理的證明思路和基本思想是什么？

師生活動：教師展示一張初中數學課本中的圖形，邀請學生進行觀察、討論并總結規律. 該圖形是由四個相同的直角三角形和一個小正方形構成的一個大正方形. 通過分析面積間的關系，得到一個特定的等

設計意圖 通過引入勾股定理，增強學生的數形結合意識，激發學生的學習興趣. 通過回顧勾股定理的演變過程，建立新舊知識之間的聯系，為后續學習打下了基礎.

問題2 若已知直角三角形的一個銳角為θ，結合勾股定理的研究思路，你能否得到一個關于θ的等式？

設計意圖 通過類比，學生從長度拓展到角度，理解平方關系sin2θ+cos2θ=1，體會知識間的聯系，形成研究思路，提升提問能力，培養直觀想象，積累探究經驗.

2. 合作探究，生成公式

探究 數學研究通常遵循從簡單到復雜、從特殊到一般的路徑. 剛剛得出的結論是基于四個全等的直角三角形構建的. 若將這四個全等的直角三角形轉化為兩對全等的直角三角形，并將一個角拆分為兩個角，我們又能推導出哪些新的結論呢？

問題3 現有兩對斜邊長為1的直角三角形，其中一對直角三角形中的一個銳角為α，另一對直角三角形中的一個銳角為β，請結合前面的證明思路，探究與α和β有關的等式. （提示：如圖1所示，S=absinθ.）

師：非常棒，這就是我們今天要學習的兩角差的余弦公式. 我們通過一般性轉化得到了當α和β同為銳角時，兩角差的余弦公式. 接下來，我們應該研究什么問題呢？

生齊聲答：當α和β為任意角時，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ是否成立？

設計意圖 在教學中，引導學生通過拼接圖形、計算驗證，體驗成功的喜悅，激發探究的熱情. 若學生在菱形拼接環節中遇到困難，教師可使用動畫演示幫助他們解決困難，從而提高他們的課堂參與度. 隨著問題的復雜化和普遍化，學生將體驗數學知識的發展，學會用數學思維和方法解決問題，培養數學學科核心素養.

3. 公式推廣，提升素養

問題4 剛剛我們用兩對斜邊長相等的全等三角形推導出了兩銳角差的余弦公式，那么，如何將其推廣至任意角呢？

在教學中，為了幫助學生順利地推廣公式，教師引導學生思考一個問題：我們是如何將銳角三角函數推廣到任意角三角函數的呢？在教師的啟發與指導下，學生想到了單位圓的輔助.

設計意圖 將問題繼續向一般化推廣，促進學生的思維自然生長. 在教學中，教師通過引導學生比較三角函數的研究方法，幫助他們自然掌握研究思路，理解數學知識之間的內在聯系，并提高他們分析和解決問題的能力.

問題5 如圖3所示，將單位圓放在平面直角坐標系xOy中，以x軸的非負半軸為始邊作任意角α，β，其終邊與單位圓分別相交于點A（cosα，sinα），B（cosβ，sinβ），則如何表示角α-β？

問題給出后，學生首先想到的是用∠AOB表示角α-β（如圖4所示）. 在教師的啟發下，學生又想到了另外一種模型，即以x軸的非負半軸為始邊作角α-β，使其與單位圓相交于點C，則點C的坐標為（cos（α-β），sin（α-β））（如圖5所示）.

設計意圖 學生通過直觀觀察得到第一種模型，緊接著，教師引導學生從任意角三角函數的定義出發，尋找α-β的終邊，得到第二種模型. 通過開放性問題引導學生建立新知與舊知之間的聯系，為后續公式的推廣奠定基礎. 同時培養學生分析和解決問題的能力，提高他們的數學素養.

問題6 結合已有經驗，如何證明對于任意角α，β，cos（α-β）=cosαcosβ+sinαsinβ成立呢？

由于公式證明較為抽象，因此教師啟發學生先思考兩個問題：①如何求α-β的余弦值？②cosαcosβ+sinαsinβ與我們之前所學的哪種式子類似？這樣，在針對性問題的引導下，學生想到了向量的數量積. 不過，兩向量的夾角的取值范圍為[0，π]，而α-β為任意角，于是教師又啟發學生利用誘導公式將任意角的余弦值轉化為[0，π]內的角的余弦值. 設兩向量，的夾角為θ，則α-β=2kπ+θ或α-β=2kπ-θ（k∈Z），所以cos（α-β）=cos（2kπ±θ）=cosαcosβ+sinαsinβ. 由此，在教師的引導下，構建了一個完整的證明思路.

問題7 剛剛從“數”的角度出發，證明了兩角差的余弦公式，如果從“形”的角度出發，是否也能證明這一公式呢？

設計意圖 教師引導學生從“數”和“形”兩個角度來證明兩角差的余弦公式，旨在深化學生對知識的理解，拓展他們的數學思維，并提升他們的邏輯推理能力. 教師未直接提供證明過程，而是以學生思維為核心，設計問題并給予指導，促進學生獨立思考和合作學習，幫助他們克服學習難點，更好地理解和掌握知識，同時發展和提高邏輯推理素養.

4. 課堂小結，深化思維

在這個環節中，教師指導學生運用知識框架圖來整理知識和思想方法，旨在幫助學生清晰地追溯問題的根源和脈絡，優化個人的知識結構，并培養他們的歸納和總結能力.

教學感悟

在數學教學過程中，教師應摒棄傳統的以講授為中心的教學模式，轉而踐行“四個理解”教學理念，即重視引導學生體驗知識產生和發展的過程，從而促進學生從“學會”轉變為“會學”.

1. 理解數學

兩角差的余弦公式作為幾何中最重要的理論之一，揭示了單角三角函數與復角三角函數之間的內在聯系，開辟了三角函數研究的新領域. 在教學中，教師巧妙地設計問題，引導學生親歷知識產生與發展的過程，滲透數形結合、從特殊到一般的數學思想方法. 這有助于學生理解數學知識并掌握數學研究方法，提升數學學科核心素養.

2. 理解學生

課堂教學主體是學生，因此教師應以學生為中心，緊密圍繞學生的最近發展區來設計教學活動，確保每位學生都能積極參與，有效激發學生的學習熱情，并促進學生數學學科核心素養的發展. 例如，在本節課教學中，在突破兩個任意角之差的余弦公式這一難點問題時，教師啟發學生聯想任意角三角函數，由直角三角形模型過渡到單位圓模型，有利于打破思維局限，促進學生數學能力和思維能力的發展.

3. 理解教學

優秀的數學教學不僅應傳授學生知識，更關鍵的是培養學生學會思考和自主學習. 例如，在本節課教學中，教師沒有直接將兩角差的余弦公式及其證明過程講授給學生，而是在研究方法上加以指導，著重培養學生的“四基”和“四能”，落實數學學科核心素養.

4. 理解技術

在本節課教學中，教師充分發揮信息技術的優勢，借助其精準、直觀、快捷等特點幫助學生突破思維難點，提升教學效率. 例如教師用GeoGebra軟件動畫展示AB=CD不會因為α，β的變化而改變，從而幫助學生突破思維難點. 在教學中，教師應適時采用直觀展示的方法，以縮短學生與數學之間的距離，激活學生的數學思維，并激發他們的探究欲望.

總之，在高中數學教學中，教師應該認真地研究數學、研究教學、研究學生、研究技術，在“四個理解”的基礎上開展教學設計，以此確保因材施教的教學目標得以實現，培養學生的理性思維習慣，并促進知識與思想方法的相互融合，切實提升學生的綜合能力和素養.