注重知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系 類(lèi)比遷移建構(gòu)新知

[摘" 要] 數(shù)學(xué)知識(shí)并非獨(dú)立存在的個(gè)體，知識(shí)與知識(shí)之間存在一定的內(nèi)在聯(lián)系. 關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，是建構(gòu)連貫學(xué)習(xí)路徑的基礎(chǔ). 研究者以“等式與不等式的性質(zhì)”為例，從“回顧舊知，喚醒認(rèn)知”“類(lèi)比遷移，構(gòu)建新知”“例題分析，應(yīng)用新知”以及“總結(jié)反思，鞏固提升”四個(gè)方面設(shè)計(jì)教學(xué)方案，并從知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系以及問(wèn)題引導(dǎo)這兩個(gè)維度談一些思考.

[關(guān)鍵詞] 類(lèi)比;內(nèi)在聯(lián)系;遷移

掌握知識(shí)本質(zhì)的最好辦法是深刻理解知識(shí)的內(nèi)涵與內(nèi)在規(guī)律，在邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的本質(zhì)聯(lián)系，為構(gòu)建連貫的學(xué)習(xí)路徑奠定基礎(chǔ). “等式與不等式”是刻畫(huà)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的基本模型，“數(shù)”是表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界數(shù)量關(guān)系的基本符號(hào)，如果用集合來(lái)描述“數(shù)”，那么它們之間存在“序”的特征，這一特征決定了等式與不等式在運(yùn)算過(guò)程中的穩(wěn)定性[1]. 簡(jiǎn)而言之，等式與不等式的性質(zhì)都是與“序”相關(guān)的代數(shù)表達(dá)，在表達(dá)方式與邏輯特征上均具有相似性.

教學(xué)過(guò)程設(shè)計(jì)

1. 回顧舊知，喚醒認(rèn)知

問(wèn)題1 你們是否還記得在初中時(shí)期學(xué)習(xí)的等式具有哪些性質(zhì)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生自主回顧等式的相關(guān)性質(zhì)，并相互補(bǔ)充. 在教師的引導(dǎo)下，學(xué)生分別從“相等關(guān)系固有的特性”以及“等式在運(yùn)算過(guò)程中的不變性”兩個(gè)角度出發(fā)，提煉出了等式的五個(gè)性質(zhì)（見(jiàn)圖1）.

設(shè)計(jì)意圖 回顧等式的性質(zhì)，成功喚醒了學(xué)生的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn). 在教師的指導(dǎo)下，學(xué)生對(duì)等式的五個(gè)性質(zhì)進(jìn)行了分類(lèi)處理，這為他們接下來(lái)利用類(lèi)比遷移法探索不等式的性質(zhì)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

2. 類(lèi)比遷移，構(gòu)建新知

（1）不等式前四個(gè)性質(zhì)的探索

問(wèn)題2 通過(guò)類(lèi)比等式的性質(zhì)，我們能否推導(dǎo)出不等式的性質(zhì)呢？以等式的性質(zhì)1和性質(zhì)2為例，嘗試推導(dǎo)出不等式的相應(yīng)性質(zhì)，并給出理由和證明.

師生活動(dòng)：教師在多媒體上展示等式的性質(zhì)，供學(xué)生參考. 學(xué)生以小

師：如何確定這兩個(gè)猜想是否科學(xué)且準(zhǔn)確？

生（眾）：嚴(yán)謹(jǐn)求證.

教師肯定了學(xué)生的說(shuō)法，并激勵(lì)學(xué)生驗(yàn)證第一個(gè)猜想. 學(xué)生依據(jù)自己的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行了分析和討論，并將證明過(guò)程詳細(xì)記錄下來(lái). 教師隨后挑選出具有代表性的證明過(guò)程，通過(guò)投影向全班展示. 在這個(gè)環(huán)節(jié)中，學(xué)生掌握了性質(zhì)1：若agt;b，則blt;a;若blt;a，則agt;b. 這一結(jié)論得到了師生的一致認(rèn)可.

問(wèn)題3 在猜想①的求證過(guò)程的啟發(fā)下，我們能否求證猜想②呢？

師生活動(dòng)：因?yàn)橛胁孪擘俚那笞C過(guò)程作為思維基礎(chǔ)，學(xué)生通過(guò)獨(dú)立思考與合作交流迅速提煉出了不等式的性質(zhì)2：若agt;b，bgt;c，則agt;c. 教師對(duì)這一結(jié)論表示了肯定，并鼓勵(lì)學(xué)生將整個(gè)思路流程用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)出來(lái)，為接下來(lái)的探索做鋪墊.

設(shè)計(jì)意圖 在類(lèi)比思想的作用下，學(xué)生積極思考與交流，基于知識(shí)與方法的正遷移揭露了不等式的性質(zhì)2. 此過(guò)程不僅彰顯了數(shù)學(xué)思維的適應(yīng)性和整合性，還助力學(xué)生有效地積累了探索數(shù)學(xué)問(wèn)題的基本經(jīng)驗(yàn)，增強(qiáng)了學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理和抽象概括能力，為培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

問(wèn)題4 在以上探索過(guò)程中，大家通過(guò)類(lèi)比等式的“相等關(guān)系的固有特性”，順利猜想并證明了不等式的兩個(gè)性質(zhì). 除此之外，等式在運(yùn)算過(guò)程中還具有不變性. 若與這些性質(zhì)進(jìn)行類(lèi)比，能否獲得不等式的其他性質(zhì)呢？請(qǐng)大家自行推測(cè)并驗(yàn)證.

師生活動(dòng)：教師利用多媒體展示了與“運(yùn)算過(guò)程中的不變性”相關(guān)的

追問(wèn)1 若從運(yùn)算這一角度來(lái)看，可否將猜想③和猜想④合并成一個(gè)性質(zhì)？

追問(wèn)2 可否從多個(gè)角度對(duì)各個(gè)猜想進(jìn)行驗(yàn)證？

在教師的點(diǎn)撥下，學(xué)生通過(guò)互動(dòng)與思考，認(rèn)為猜想③和猜想④具備一致性，因此可將它們羅列到一起，構(gòu)成一個(gè)性質(zhì). 證明過(guò)程如下：

證法1 （作差法）因?yàn)閍gt;b，所以a-bgt;0. 所以，（a+c）-（b+c）=a+c-b-c=a-bgt;0. 由此可確定a+cgt;b+c.

證法2 （圖形法）已知點(diǎn)A，B與數(shù)軸上的a，b相對(duì)應(yīng)，結(jié)合數(shù)軸上點(diǎn)的幾何意義，確定a，b的大小關(guān)系為agt;b. 將點(diǎn)A，B同時(shí)向右或向左移動(dòng)相同的單位長(zhǎng)度c（見(jiàn)圖2），A，B兩點(diǎn)之間的相對(duì)位置關(guān)系保持不變，也就是保持a+cgt;b+c或a-cgt;b-c.

教師將學(xué)生的求證過(guò)程通過(guò)投影展示出來(lái)，并著重將猜想③和猜想④合并成不等式的性質(zhì)3：若agt;b，則a+cgt;b+c.

問(wèn)題5 基于運(yùn)算的角度進(jìn)行分析，可否將猜想⑤和猜想⑥合并成一個(gè)性質(zhì)？

通過(guò)類(lèi)比不等式性質(zhì)3的研究過(guò)程，學(xué)生的思維得到了啟發(fā)，他們中的大多數(shù)認(rèn)為可以將這兩個(gè)猜想合并成一個(gè)性質(zhì). 為了驗(yàn)證這一說(shuō)法是否準(zhǔn)確，教師同樣通過(guò)追問(wèn)的方式引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行思考.

追問(wèn) 關(guān)于猜想⑤和猜想⑥，它們是否具有科學(xué)性？若想要求證，至少需要滿足哪些條件？

師生活動(dòng)：在問(wèn)題的驅(qū)動(dòng)下，學(xué)生通過(guò)思考與交流，提出用反例來(lái)求證一個(gè)錯(cuò)誤的猜想更便捷;而要求證一個(gè)猜想是否科學(xué)且準(zhǔn)確，必須借助嚴(yán)謹(jǐn)?shù)淖C明過(guò)程來(lái)支撐. 結(jié)合探索經(jīng)驗(yàn)與這兩個(gè)猜想的特性，所有學(xué)生都積極主動(dòng)地投入到探索與交流中，并提煉出了不等式的性質(zhì)4：若agt;b，cgt;0，則acgt;bc;若agt;b，clt;0，則aclt;bc. 教師板書(shū)學(xué)生提煉出來(lái)的性質(zhì)，并將其與先前的性質(zhì)整理匯總，為后續(xù)的探究活動(dòng)打下基礎(chǔ).

設(shè)計(jì)意圖 猜想是嚴(yán)謹(jǐn)求證的起點(diǎn)，在此基礎(chǔ)上，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)反例法來(lái)證偽錯(cuò)誤命題，能夠有效提升他們的思辨能力，積累寶貴的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn). 這為深入探索更多定理與法則奠定了堅(jiān)實(shí)的方法基礎(chǔ)，是提高學(xué)習(xí)能力的關(guān)鍵步驟.

（2）不等式性質(zhì)5至性質(zhì)7的探索

問(wèn)題6 不等式的性質(zhì)3與性質(zhì)4，都是基于“agt;b”這個(gè)不等式的兩邊同時(shí)針對(duì)同一個(gè)數(shù)或式運(yùn)算而來(lái)的. 那么，如果在不等式的兩邊應(yīng)用兩個(gè)不同的數(shù)或式（以c，d為例）進(jìn)行運(yùn)算，又會(huì)形成怎樣的結(jié)論呢？例如，在agt;b，cgt;d的情況下，能提出哪些猜想？嘗試自主驗(yàn)證.

師生活動(dòng)：一般情況下，面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，學(xué)生首先會(huì)考慮使用減法或除法進(jìn)行分析. 為了避免學(xué)生的思維出現(xiàn)偏差，教師適時(shí)進(jìn)行引導(dǎo)，提醒學(xué)生運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想來(lái)簡(jiǎn)化分類(lèi)過(guò)程. 隨著師生的積極互動(dòng)，學(xué)生在合作和交流的基礎(chǔ)上提出了以下兩個(gè)猜想：⑦若agt;b，cgt;d，則a+cgt;b+d;⑧若agt;b，cgt;d，則acgt;bd.

為了進(jìn)一步深化學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)的理解，教師鼓勵(lì)學(xué)生運(yùn)用先前掌握的不等式性質(zhì)去驗(yàn)證猜想⑦. 學(xué)生積極探索，教師巡視并適時(shí)給予提示. 隨著互動(dòng)的不斷深入，師生共同提煉出不等式的性質(zhì)5：若agt;b，cgt;d，則a+cgt;b+d.

設(shè)計(jì)意圖 從等式與不等式的共性出發(fā)，學(xué)生通過(guò)自主探索性質(zhì)研究的方向，從“對(duì)不等式兩邊進(jìn)行相同數(shù)或式的運(yùn)算”轉(zhuǎn)化為“對(duì)不等式兩邊進(jìn)行不同數(shù)或式的運(yùn)算”，學(xué)生的思維逐漸深化，對(duì)性質(zhì)的理解也越發(fā)深刻，從而促進(jìn)了深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

追問(wèn) 猜想⑧是否正確呢？回顧不等式性質(zhì)4的探索過(guò)程，思考該如何完善這一猜想.

師生活動(dòng)：師生共同探討并分析，在嚴(yán)謹(jǐn)求證的基礎(chǔ)上，得出了不等式的性質(zhì)6：若agt;bgt;0，cgt;dgt;0，則acgt;bd. 教師將這一性質(zhì)與其他性質(zhì)并列板書(shū). 整齊的板書(shū)為學(xué)生帶來(lái)了愉悅的視覺(jué)體驗(yàn).

設(shè)計(jì)意圖 學(xué)生親歷提出、驗(yàn)證、修正和證明猜想的過(guò)程，從而實(shí)現(xiàn)命題的完整建構(gòu).

問(wèn)題7 與不等式的性質(zhì)6相聯(lián)系，能不能發(fā)現(xiàn)不等式在其他運(yùn)算中的不變性？

師生活動(dòng)：符號(hào)問(wèn)題是探索不等式乘法類(lèi)運(yùn)算必須重點(diǎn)關(guān)注的領(lǐng)域，因此在描述性質(zhì)6時(shí)必須強(qiáng)調(diào)“agt;bgt;0”，以此激發(fā)學(xué)生思考，引導(dǎo)他們形成猜想⑨：若agt;bgt;0，則angt;bn（n∈N，n≥2）. 針對(duì)這一猜想，學(xué)生繼續(xù)以小組討論的形式進(jìn)行驗(yàn)證. 教師將學(xué)生得出的結(jié)論記錄在黑板上，從而形成了性質(zhì)7：若agt;bgt;0，則angt;bn（n∈N，n≥2）. 隨著研究的深入，學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)的理解逐漸變得更加全面，進(jìn)而構(gòu)建起了一個(gè)完整的性質(zhì)框架（如圖3所示）.

3. 例題分析，應(yīng)用新知

要解決這個(gè)問(wèn)題，首先必須幫助學(xué)生梳理清晰的解題思路. 在問(wèn)題得到簡(jiǎn)化之后，再進(jìn)行證明和分析，可以提升教學(xué)成效.

設(shè)計(jì)意圖 梳理解題思路有助于學(xué)生明晰思維，為他們提供明確的思考方向，從而深入理解“分析法探路，綜合法求證”的理念，為增強(qiáng)學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

4. 總結(jié)反思，鞏固提升

要求學(xué)生回顧不等式性質(zhì)的探究過(guò)程，并從以下兩個(gè)方面談一談本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會(huì)：①等式與不等式的性質(zhì)有何異同？②如何從等式的性質(zhì)類(lèi)比推導(dǎo)出不等式的性質(zhì)，這一過(guò)程中經(jīng)歷了哪些步驟？你又有哪些收獲和感悟？

設(shè)計(jì)意圖 從等式的性質(zhì)類(lèi)比推導(dǎo)出不等式的性質(zhì)是本節(jié)課的教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn). 在總結(jié)環(huán)節(jié)，鼓勵(lì)學(xué)生回顧并梳理整個(gè)課堂的探究過(guò)程，明確等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)的差異與共性，這有助于深化學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，有效積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，并為后續(xù)知識(shí)與方法的正向遷移打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ).

思考與感悟

1. 知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系是類(lèi)比遷移的基礎(chǔ)

數(shù)學(xué)是一門(mén)系統(tǒng)化的學(xué)科，每一個(gè)知識(shí)都有著與之相關(guān)聯(lián)的上下位知識(shí). 探究知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，不僅能夠加深學(xué)生對(duì)教學(xué)內(nèi)容的理解，還能進(jìn)一步鞏固學(xué)生已有的知識(shí)基礎(chǔ)和研究方法，為類(lèi)比和遷移奠定基礎(chǔ). 然而，一些教師尚未認(rèn)識(shí)到知識(shí)內(nèi)在聯(lián)系的重要性，他們?cè)趥魇谛轮獣r(shí)往往只專(zhuān)注于知識(shí)點(diǎn)本身，而忽視了將新知與舊知的研究方法進(jìn)行類(lèi)比，這導(dǎo)致學(xué)生只能接收到零散的知識(shí)碎片，無(wú)法構(gòu)建起體系化的知識(shí)結(jié)構(gòu). 真正意義上的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，應(yīng)當(dāng)注重知識(shí)間的內(nèi)在聯(lián)系，這是完善認(rèn)知結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ).

從高中階段的教學(xué)內(nèi)容來(lái)看，不等式的性質(zhì)是一個(gè)單獨(dú)存在的知識(shí)體系，但聯(lián)系到初中階段所學(xué)的等式性質(zhì)，會(huì)發(fā)現(xiàn)它們之間有著高度的相關(guān)性. 將等式性質(zhì)的分類(lèi)方法與研究過(guò)程遷移到不等式性質(zhì)的研究中來(lái)，不僅能提升課堂教學(xué)效率，還能幫助學(xué)生積累探索經(jīng)驗(yàn)，為形成結(jié)構(gòu)化的知識(shí)體系服務(wù).

2. 恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題是發(fā)展學(xué)力的根本

問(wèn)題是數(shù)學(xué)的心臟. 利用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)學(xué)生的思維，不僅能讓學(xué)生明確接下來(lái)探索的具體方向，還能提升學(xué)生的數(shù)學(xué)理解能力. 在本節(jié)課中，教師通過(guò)問(wèn)題鏈引導(dǎo)學(xué)生深入思考，從而逐步加深學(xué)生對(duì)不等式性質(zhì)的理解. 不等式的性質(zhì)在問(wèn)題的引領(lǐng)下，仿佛抽絲剝繭般逐漸顯現(xiàn). 這證明了，恰當(dāng)?shù)膯?wèn)題設(shè)置能夠顯著提高學(xué)生的數(shù)學(xué)邏輯推理能力，并對(duì)學(xué)生的學(xué)術(shù)能力發(fā)展起到關(guān)鍵的推動(dòng)作用.

綜上所述，面對(duì)具有共同起源或背景的教學(xué)內(nèi)容，教師應(yīng)從宏觀角度引導(dǎo)學(xué)生逐步探索它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，并運(yùn)用類(lèi)比法促進(jìn)知識(shí)與方法的遷移. 這是揭示數(shù)學(xué)本質(zhì)，培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的關(guān)鍵途徑之一.

參考文獻(xiàn)：

[1] 張偉，劉秀軍，周遠(yuǎn)方. 基于深度學(xué)習(xí)的高中數(shù)學(xué)問(wèn)題驅(qū)動(dòng)教學(xué)實(shí)踐與思考：以“等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)”的教學(xué)為例[J]. 中國(guó)數(shù)學(xué)教育，2024（6）：4-7+18.