走出“模型”定式 回歸概念本源

[摘" 要] 在數學解題教學中，教師應打破“模型”定式的束縛，回歸概念本源，深入探討學科知識的本質. 文章研究內容聚焦于模型與概念之間的關系，以及模型在知識傳遞過程中的作用. 通過案例分析，對比不同解法之間的異同，指出模型過度簡化和刻板化的傾向，從而喚起教師和學生對于數學概念本質的關注，推動學科知識體系的重構，以更接近真實世界及更具靈活性和適應性的方式理解與應用知識.

[關鍵詞] 模型;回歸;概念;基本方法

引言

函數的基本性質，是高中函數的重要內容，也是每年高考數學的必考知識點. 《普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）》（下文簡稱新課標）對于函數性質的基本要求是“借助函數圖象，會用符號語言表達函數的單調性、最大值、最小值，理解它們的作用和實際意義”[1]. 單調性作為高中函數的第一個基本性質，顯然對于學生學習和理解函數的其他性質起著關鍵性的作用. 因此，新課標明確指出，在函數單調性的教學中，要引導學生正確使用符號語言清晰地刻畫函數的性質. 在函數定義域、值域以及函數性質的教學過程中，應避免編制偏題、怪題，避免煩瑣的技巧訓練.

在某些問題模型中，教師強調解題套路和技巧，導致學生往往機械模仿，而忽視了對基本概念的深入理解和對基本解題方法的扎實掌握. 本文以高中數學“函數的單調性”為例，對解題教學進行了深入的分析與探索. 淡化“模型”意識，回歸概念本源. 教師應引導學生分析試題的核心考點，深刻理解概念的本質，準確把握概念的內涵和外延. 抓住知識點，是求解相關問題的關鍵法寶. 走出“模型”定式，回歸基本解題方法. 在復習教學中，教師應引導學生在面對一道試題時，親自體驗“讀題—審題—破題—解題”的過程. 某些“模型”的特殊解法，可以適當給學生介紹一二，但不能唯“模型”論，基本解題方法具有更為普遍的使用范圍，才是學生應該掌握的根本方法.

提出問題——“模型”認知，強化巧解

在日常教學中，特別是在高三復習階段，部分教師為了提高解題速度，會給學生介紹一些特殊的函數單調性模型，例如復合函數的單調性，強調其基本解法是“同增異減”. 即把復合函數y=f（g（x））分解成y=f（t）與t=g（x），其中y=f（t）稱為外層函數，t=g（x）稱為內層函數. 對于復合函數y=f（g（x））來說，若內層函數和外層函數的單調性相同，則y=f（g（x））為增函數;若內層函數和外層函數的單調性相反，則y=f（g（x））為減函數.

【教學片段】

師：同學們，下面我們來看一看2023年全國新課標Ⅰ卷第4題.

設函數f（x）=2在區間（0，1）上單調遞減，則a的取值范圍是 （" ）

A. （-∞，2] B. [-2，0）

C. （0，2] D. [2，+∞）

師：哪位同學來說一說你的想法？

生1：可以采用復合函數法求解. 將函數f（x）=2x（x-a）看作復合函數，令y=2t，t=x（x-a）. 易知y=2t在R上單調遞增，又知f（x）=2x（x-a）在區間（0，1）上單

師：分析得很不錯. 還有其他解法嗎？

師：這種處理方法應該是可行的，但的確有些復雜. 其他同學有什么想法嗎？

生3：這道題是已知函數單調性求參數的取值范圍，我覺得可以用導數法來解決. 由f（x）=2x（x-a）在區間（0，1）上單調遞減，可得其導函數f′（x）≤0在區間（0，1）上恒成立. 但由于f（x）是一個復合函數，其求導過程相對復雜，并且在計算過程中會產生一個無理數ln2，因此我沒有繼續計算下去了.

師：這是高考卷中的第4題，應該屬于簡單題，我們在解答時不能花費太多時間. 因為f（x）=2x（x-a）是復合函數，由“同增異減”將f（x）=2x（x-a）的單調性轉換為內層函數t=x（x-a）的單調性，可以化繁為簡，迎刃而解. 同學們在處理復合函數的單調性問題時，可以優先選擇復合函數法，將函數y=f（g（x））的單調性與其內外層函數的單調性進行相互轉換. 運用轉化思想解題，常常能達到“秒解”的效果.

分析問題——挖掘內涵，以“小”見“大”

在很多教師看來，這是2023年全國新課標Ⅰ卷的第4題，屬于容易題，難度不大，題型常規，沒有必要花費太多的時間去深度探究這道題. 部分教師在復習教學中，特別是在高三復習階段，往往會向學生傳授一些解題技巧，加強他們對模型的理解，以期形成“條件反射”，從而提升解題效率.

誠然，以“模型”為基礎的解題訓練具有一定的積極意義，但如果一味強調模型的固定解法，而忽視了對概念的深入理解以及基于這些概念的其他基礎方法的探索與研究，不重視培養學生分析和解決問題的能力，那么當學生遇到非典型問題時，他們可能會感到茫然失措.

這道題的核心考點是函數的單調性，利用復合函數法求解，沒有任何問題. 然而，除了這種方法之外，我們還應掌握一些基本方法.

方法2（聯系導數）：記函數f（x）的導函數為f′（x）. 由f（x）=2x（x-a）在區間（0，1）上單調遞減，可得其導函數f′（x）≤0在區間（0，1）上恒成立. 因為f′（x）=2x（x-a）·（2x-a）·ln2≤0，且2x（x-a）gt;0，ln2gt;0，所以2x-a≤0，即a≥2x在區間（0，1）上恒成立.所以a≥2.

點評 方法2把函數單調性與導數聯系起來，將“函數f（x）在區間（0，1）上單調遞減”轉化為“導函數f′（x）≤0在區間（0，1）上恒成立”. 其中，將2x（x-a）·（2x-a）·ln2≤0轉化為2x-a≤0，對學生的運算素養有一定的要求，需要學生觀察出2x（x-a）gt;0和ln2gt;0. 在處理2x-a≤0時，除了采用“參數分離”思想以確保a≥2x在區間（0，1）上恒成立，從而得出a≥（2x）之外，還可以從函數的角度出發，由2x-a≤0在區間（0，1）上恒成立，推導出（2x-a）≤0.

這道題目的難度不大，采用“復合函數模型”進行處理既有效又迅速. 然而，在教學過程中，教師過分強調了這種“模型”的重要性，卻忽視了處理函數單調性問題的基本方法. 此外，當學生提出基本解題思路，但內心感到“復雜”和“困難”時，教師未能提供適當的引導和鼓勵，讓學生嘗試解決，從而錯失了一次培養學生“運算素養”和“科學精神”的良機.

解決問題——淡化“模型”，回歸概念

1. 淡化“模型”意識，回歸基本概念理解

在習題課的教學過程中，教師應當引導學生深入分析試題的核心考點，尤其是通過組織學生研究近年來的高考真題，挖掘高中數學的高頻考點. 這里的“考點”主要指的是關鍵知識點. 盡管高考真題和模擬試題眾多，不是每道試題都遵循某種“模型”，但每道試題都涵蓋一定的考點. 深刻領會高中數學概念的本質，準確掌握概念的內涵與外延，把握住這些知識點，是我們解決相關問題的核心策略. 通過探究典型例題，能夠加深學生對相應的數學概念的理解.

2. 走出“模型”定式，回歸基本解題方法

中共中央、國務院印發的《深化新時代教育評價改革總體方案》指出：“改變相對固化的試題形式，增強試題開放性，減少死記硬背和‘機械刷題’現象. ”這無疑是對死記硬背和“機械刷題”做法的有力遏制. 我們可以觀察到，近年來的高考數學試題正在悄然發生變化，它們圍繞“四基”進行考查，強調“四能”，要求學生具備扎實的分析問題和解決問題的能力. 因此，在教學中，教師應讓學生掌握基本的解題方法，在回答“有什么—是什么—求什么—怎么做”的過程中學會審題和解題. 雖然可以適當向學生介紹某些“模型”的特殊解法，但不能過分依賴“模型”，因為基本解題方法具有更廣泛的適用性，這才是學生應當掌握的核心技能.

參考文獻：

[1] 中華人民共和國教育部.普通高中數學課程標準（2017年版2020年修訂）[M]. 北京：人民教育出版社，2020.