“做數學”依然是培養高中生數學思維能力的重要方式

[摘" 要] 在素質教育背景下，培養學生的思維能力已經成為高中數學教學的重要任務. 在教學實踐中，教師應以學生為主體，突破傳統以教師講授為主的教學模式，積極創造機會引導學生“做中學”“做中思”“做中說”，以此深化學生對知識的理解，促進學生思維能力的提升，培養學生的數學學科核心素養.

[關鍵詞] 思維能力;動手做;數學學科核心素養

“做數學”是以“做”為抓手，引導學生經歷操作、觀察、抽象等活動，讓學生在動手實踐中主動獲取知識，發展數學能力與素養. 可見，“做數學”不僅是一種數學學習的路徑與方法，更是一種數學學習的策略與思想，是培養學生數學思想能力的重要方式[1]. 在講授“正弦函數和余弦函數的圖象”時，筆者采用小組合作的方式，引導學生通過實際操作來探索知識的形成過程. 鼓勵學生在實踐中思考，在思考中學習，通過親身實踐來培養他們的數學技能和思維能力，從而提高他們的數學學科核心素養.

教學分析

1. 教學內容分析

正弦函數和余弦函數的圖象是高中數學的重點教學內容之一，是學習三角函數圖象與性質的入門課. 在學習本節課內容之前，學生已經學習了一次函數、二次函數、指數函數等相關知識內容，具有豐富的研究函數圖象及性質的經驗. 另外，學生已經掌握了正弦函數、余弦函數以及三角函數線的定義和相關知識，具有一定的分析和解決問題的能力. 這些知識技能、思想方法為本節課內容的學習打下了堅實的基礎.

2. 學情分析

高中生思維敏捷、想象力豐富，并具備一定的分析和解決問題的能力. 因此，在教學實踐中，教師應提供充足的時間，鼓勵學生自主探究，充分激發學生的學習主動性和積極性，讓學生深入體驗數學探究的樂趣，享受成功的喜悅，并進一步提高數學能力和素養.

3. 教學目標

（1）結合正弦函數與單位圓之間的聯系，畫出正弦函數的圖象，體會幾何作圖和描點作圖的本質區別，培養利用已有知識解決問題的能力;

（2）學會用“五點法”繪制正弦函數和余弦函數的圖象;

（3）掌握正弦函數與余弦函數之間的聯系，并能運用變換技巧畫出相應的函數圖象;

（4）通過“動手做”經歷函數圖象的產生過程，體會圖象在函數研究中的重要價值;

（5）通過滲透數形結合、由具體到抽象、由特殊到一般等數學思想方法，培養學生邏輯推理、直觀想象、數學抽象等核心素養.

4. 教學重點和難點

（1）理解并掌握正弦函數和余弦函數的圖象的畫法;

（2）用正弦線作正弦函數的圖象，理解正弦函數圖象與余弦函數圖象之間的聯系.

教學過程

1. 創設情境，引出主題

情境 教師指導學生觀察沙擺簡諧振動實驗，并鼓勵學生使用課前準備的器材親自進行沙擺簡諧振動實驗.

師生活動：教師指導學生進行分組實驗，并展示各自的實驗成果. 隨后，教師點評這些成果，并提出問題：從數學的角度來看，我們該如何精確描述這些優美的曲線呢？

設計意圖 教學之初，教師指導學生觀察沙擺簡諧振動實驗，并鼓勵學生動手操作，使學生深刻體驗數學與日常生活的緊密聯系，有效激發學生對數學學習的積極性. 同時，借助實驗結果讓學生直觀感知正弦函數和余弦函數的圖象，從而順利引出本節課的研究主題.

2. 動手操作，探索新知

問題1 什么是正弦函數、余弦函數？

設計意圖 回顧舊知，以便學生可以結合正弦函數和余弦函數的定義畫出它們的圖象.

問題2 繪制函數圖象的基本步驟是什么？

設計意圖 通過精確描繪具有幾何意義的坐標點，讓學生直觀地體驗正弦函數圖象的繪制過程，從而為掌握“五點法”作圖打下堅實的基礎.

問題3 結合以上方法，能否作出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象？

生1：通過描點法可以作出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象，為了使其圖象更加精準，可以選取更多的點.

師：很好，請大家動手畫一畫，看看你得到了怎樣的曲線.

師生活動：教師安排一段時間讓學生親自繪制圖形，隨后利用幾何畫板得到正弦函數y=sinx的圖象（如圖1所示）.

設計意圖 教師鼓勵學生“動手做”，隨后借助幾何畫板進行演示，通過親身體驗正弦函數圖象的構建過程，深化對正弦函數圖象的認識，從而為后續順利引出“五點法”打下基礎.

問題4 雖然使用描點法作圖較為精確，但其過程煩瑣. 那么，有沒有什么方法可以快速地作出y=sinx，x∈[0，2π]的圖象呢？

師生活動：教師安排一段時間讓學生仔細觀察圖1，并結合自己的作圖過程，逐步探索高效的作圖方法.

生2：在畫正弦函數圖象時，若不追求精度，只要選取五個點即可.

師：哦？選取五個點就能畫嗎？選取哪五個點呢？

師：非常好！這就是我們今天重點研究的“五點法”，你能簡單歸納它的基本步驟嗎？

生3：基本步驟為：列表—描點—連線. 這里需要關注的重點為選點，這五個點不是普通的點，而是三個零點和兩個極點.

設計意圖 引導學生通過“動手做”“動眼看”進一步加深對正弦函數圖象的認識，抽象概括“五點法”的基本步驟，培養學生直觀想象、數學抽象、邏輯推理等核心素養.

問題5 畫出函數y=1+sinx，x∈[0，2π]的圖象.

師生活動：教師引導學生分析，若用“五點法”畫函數y=1+sinx，x∈[0， 2π]的圖象，需要選取哪五個關鍵點？

設計意圖 為學生提供機會，讓他們運用新知去解決問題，進而培養他們的數學應用意識，發展他們的數學思維能力，并提高他們的數學素養.

問題6 你能畫出y=sinx，x∈R的圖象嗎？

師生活動：教師引導學生深入理解“周而復始”的本質，徹底掌握“終邊相同的角的三角函數值相等”這一知識點，并發現正弦函數的變化周期為2kπ（k∈Z），獲得y=sinx，x∈[0，2π]的圖象后，只需持續將其向左或向右平移2π個單位，便能生成函數y=sinx在R上的圖象.

設計意圖 引導學生將函數的定義域從[0，2π]擴展至R，即通過平移操作得到函數y=sinx在定義域R上的圖象.

問題7 對于余弦函數y=cosx，x∈[0，2π]，你能作出它的簡圖嗎？

設計意圖 引導學生利用正弦函數圖象的研究經驗，通過“五點法”繪制余弦函數的圖象.

問題8 余弦函數與正弦函數具有怎樣的關系？結合正弦函數的圖象，你能通過變換得到余弦函數的圖象嗎？

設計意圖 通過引導學生對比正弦函數與余弦函數的圖象，培養他們的類比探究能力. 同時，教師指導學生關注正弦函數與余弦函數之間的聯系，并通過平移變換來構建余弦函數的圖象，以此培養他們思維的多樣性和靈活性.

問題9 畫出y=-cosx，x∈[0，2π]的圖象.

設計意圖 通過分析典型例題，進一步加深學生對“五點法”的理解，使學生深刻體會變換在繪制函數圖象中的重要性.

3. 應用練習，理解新知

例1 畫出以下函數的簡圖.

（1）y=2sinx，x∈[0，2π];

（2）y=cosx，x∈[0，2π];

（3）y=1-sinx，x∈[0，2π];

（4）y=sinx，x∈[-2π，2π].

設計意圖 引導學生深入掌握“五點法”作圖技巧，通過多樣化的手段繪制函數圖象，從而提升學生的繪圖技能，并促進其直觀想象能力的發展.

例2 求方程lgx=sinx的實數根的個數.

師：對于例2，你打算如何求解呢？

生4：該方程為超越方程，很難直接求解，不過可以通過畫函數圖象來解決，即分別作出y=lgx與y=sinx的圖象，觀察兩圖象交點的個數即可判斷方程根的個數.

師：非常好，請大家動手畫一畫，給出草圖.

學生作出如圖4所示的圖形，從而得到方程lgx=sinx有三個實數根.

設計意圖 通過讓學生在解題過程中親身體驗函數圖象的實際應用，培養他們將數學概念與圖形相結合的意識，進而提高他們分析問題和解決問題的能力.

4. 課堂小結，升華知識

問題10 通過本節課的學習，你掌握了哪些知識內容？有哪些心得體會？

師生活動：教師鼓勵學生積極分享自己的思考、感受和收獲，并指導他們運用思維導圖來歸納和總結本節課的關鍵點和難點. 根據學生的反饋，教師對知識框架圖進行了進一步的優化（如圖5所示）.

設計意圖 通過課堂小結，幫助學生整理知識點，理解知識的脈絡，構建知識體系，從而促進知識的理解和深化，并培養歸納概括能力.

教學反思

在高中數學教學中，教師應基于實際教學情況，融合課程內容與學生的具體學習狀況，設計一系列探究性活動. 這些活動能使學生親身經歷知識的構建過程，從而加深對知識的理解和掌握. “做數學”不僅是一種教學策略，也是一種教學工具，是探索數學新概念的關鍵途徑. 誠然，“做數學”可能會占用更多時間，但通過實際操作，抽象概念得以具體化，更便于學生理解和吸收. 為了最大化“做數學”的正面效應，教師可以考慮以下幾個方面.

1. 立足教材，深挖實驗素材

教材是教師開展教學活動的重要依據，是培養學生思維能力的重要素材. 在實踐教學中，教師應細讀、精讀教材，深挖教材中實驗素材，鼓勵學生動手操作，從而幫助學生更好地理解抽象性、邏輯性很強的數學知識，激發學生學習數學的興趣.

2. 創設問題，引領數學探究

在高中數學教學中，教師需深入剖析教學內容，并深入了解學生的需求，基于教學實際情況精心設計問題，激發學生在問題驅動下主動操作、觀察、思考和交流，從而鞏固知識及發展其思維能力. 此外，教師在設計問題時應注重問題的多樣性，引導學生從多個角度分析問題，以此培養學生的發散性思維，提升他們的思維品質.

3. 以生為本，激發思維活力

在素質教育的熏陶下，教師應當始終秉持“以生為本”的教學理念，不斷革新教學策略和方法，為學生創造一個積極向上的學習環境，有效地挖掘和激發學生的潛力，點燃他們探索知識的熱情. 同時，在教學中，教師應盡可能地為學生安排一些實踐操作，讓學生通過“動手做”更深刻地掌握知識，促進學生綜合能力與素養的提升.

總之，在高中數學教學中，教師需深入鉆研教材，深入挖掘其中的實驗素材，并精心策劃問題情境，以激發學生在問題驅動下積極思考和主動操作. 通過實踐操作，學生能夠深化對知識的理解，并全面提升思維能力和數學能力.

參考文獻：

[1] 劉洪娟. 做數學：一種結構化教學視角[J]. 數學教學通訊，2024（1）：9-11.