核心素養(yǎng)視域下三角形輔助線構(gòu)造的教學(xué)研究

摘要：三角形是學(xué)生學(xué)習(xí)幾何知識中的重點內(nèi)容，只有理解了輔助線構(gòu)造全等三角形部分的知識，才能夠更好地理解幾何的本質(zhì)，逐漸培養(yǎng)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).然而，當(dāng)前學(xué)生在三角形的證明問題上還存在一些困難，對于一些較為復(fù)雜的問題了解程度不足，不能夠調(diào)動綜合思維解決問題，這體現(xiàn)出學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)方面的不足之處.因此，對于需要輔助線的三角形證明問題，教師要注重給學(xué)生總結(jié)規(guī)律，讓學(xué)生了解輔助線的具體作法，讓整個證明思路更加清晰、明確.

關(guān)鍵詞：核心素養(yǎng)；輔助線；構(gòu)造全等三角形

學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的提升，不僅要求學(xué)生掌握具體的知識點，而且要求提升他們的學(xué)習(xí)能力.本文將輔助線構(gòu)造全等三角形與數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)相互融合，利用相應(yīng)的教學(xué)設(shè)計和教學(xué)案例，讓學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)得到提升，也促進(jìn)教學(xué)創(chuàng)新，將知識點更加清晰地展示出來.輔助線構(gòu)造全等三角形對于學(xué)生的能力提出了更高的要求，不僅需要學(xué)生掌握三角形部分的知識點，還要求學(xué)生能夠?qū)⑦@些知識點綜合運(yùn)用好，在舉一反三中加深對平面幾何本質(zhì)的理解.教師也要在教學(xué)中堅持以學(xué)生為中心的原則，讓學(xué)生及時查漏補(bǔ)缺，在學(xué)習(xí)不熟悉的知識點時及時填補(bǔ)漏洞，逐漸豐富數(shù)學(xué)知識儲備.

1構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形

旋轉(zhuǎn)型全等三角形的概念需要教師在課堂上對學(xué)生進(jìn)行講解，主要是指在一個三角形內(nèi)部，將這個三角形圍繞著平面內(nèi)部的一個點來旋轉(zhuǎn)，將這個旋轉(zhuǎn)的角度控制在0°到180°之間，得到一個新的三角形，此時就可以將這兩個三角形看作是一對旋轉(zhuǎn)型全等三角形.對這兩個三角形進(jìn)行研究，可以發(fā)現(xiàn)它們的對應(yīng)點到旋轉(zhuǎn)中心的距離一樣.現(xiàn)在如果將對應(yīng)點和旋轉(zhuǎn)中心連成一條線段，這個產(chǎn)生出來的夾角就是旋轉(zhuǎn)角.

經(jīng)過小學(xué)和中學(xué)的學(xué)習(xí)后，學(xué)生對于平面圖形的旋轉(zhuǎn)已經(jīng)具備了一定的理解.旋轉(zhuǎn)圖形是考試中很容易出現(xiàn)的一類題目，相對而言難度也不是非常大.學(xué)生要正確地看待圖形的旋轉(zhuǎn)，知道在旋轉(zhuǎn)中，有一些因素發(fā)生了改變，但是也有一些因素沒有發(fā)生改變，與原本的情況相同.考慮到因為旋轉(zhuǎn)角度發(fā)生了一些變化，特殊情況也就需要特殊考慮，將特殊的三角形納入考量范疇中，利用一些特殊三角形配合旋轉(zhuǎn)型全等三角形來解決問題，在此之中有很多變化類型需要學(xué)生了解.［1］在學(xué)習(xí)中，學(xué)生需要注意的旋轉(zhuǎn)知識點包括旋轉(zhuǎn)的方向、旋轉(zhuǎn)的角度、旋轉(zhuǎn)的中心點以及旋轉(zhuǎn)后得到的邊，這些和原本圖形相比，都是不會發(fā)生變化的因素，對于解決某些問題有很大幫助.對應(yīng)點和旋轉(zhuǎn)中心之間存在著一些數(shù)量關(guān)系，將兩者用線段連接起來，就會在它們之間產(chǎn)生一個夾角，這個夾角的大小與旋轉(zhuǎn)角的大小相等.將三角形的某個頂點作為旋轉(zhuǎn)中心時，這個旋轉(zhuǎn)中心就與三角形的某個頂點相互重合，與其他兩個點一起構(gòu)成了完整的三角形.原本的邊長經(jīng)過旋轉(zhuǎn)后，與之后的邊長相比，大小并不會發(fā)生變化，所以根據(jù)這個性質(zhì)進(jìn)行推導(dǎo)，兩條邊之間的旋轉(zhuǎn)角就可以看作是等腰三角形的頂角.當(dāng)旋轉(zhuǎn)了90°時，這個等腰三角形也是一個直角三角形，即為等腰直角三角形.當(dāng)學(xué)生在面對以上條件出現(xiàn)的問題時，從中迅速找到等腰三角形、正方形，以此來進(jìn)行反向思考，構(gòu)造旋轉(zhuǎn)型全等三角形，并將其劃分為具體的三個類別（如圖1），比較它們的旋轉(zhuǎn)角與旋轉(zhuǎn)頂角的大小.

例題如圖2所示，在△ABC中，將AB繞點A順時針旋α至AB′，將AC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)β至AC′（0°lt;αlt;180°，0°lt;βlt;180°），得到△AB′C′，∠BAC+∠B′AC′=180°，請證明：S△ABC=S△AB′C′.

構(gòu)造思路：根據(jù)材料中給出的有效信息，經(jīng)過提取后可以發(fā)現(xiàn)一個新的概念，那就是旋補(bǔ)三角形，將其用數(shù)學(xué)符號表達(dá)出來，可以得到AB=AB′，AC=AC′，∠BAC+∠B′AC′=180°.通過各種手段，將△ABC≌△AB′C′這個條件證實，或者在不能夠滿足前者的條件下，退而求其次地證明△ABC與△AB′C′同底等高或者同高等底，最終也可以達(dá)到目標(biāo)，得到S△ABC=S△AB′C′.學(xué)生根據(jù)對旋轉(zhuǎn)知識點的理解，知道邊長的對應(yīng)關(guān)系可以拿來當(dāng)條件使用，AB=AB′，AC=AC′，條件已經(jīng)給出∠BAC+∠B′AC′=180°，當(dāng)∠BAC=∠B′AC′=90°時，有α=β=90°，會有△ABC≌△AB′C′且S△ABC=S△AB′C′.只要保證∠BAC+∠B′AC′=180°就有S△ABC=S△AB′C′.采用等量代換的方法，明確S△ABC=S△AB′C′，然后通過旋轉(zhuǎn)來引入兩個等腰三角形，反向延長AB′至點E，證得△ABC≌△AEC′.△AEC′與△AB′C′同高等底，即有S△ABC=S△AEC′=S△AB′C′.

2構(gòu)造中心對稱型全等三角形

與剛才探究的幾何知識相比，中心對稱型全等三角形具有特殊性，可以被當(dāng)作是一種特例.數(shù)學(xué)教師將其單獨(dú)地歸納出來，有利于學(xué)生思考其中隱含的條件變量.［2］學(xué)生可以發(fā)現(xiàn)當(dāng)旋轉(zhuǎn)圖形后，變成了常見的全等變換；當(dāng)將旋轉(zhuǎn)角度設(shè)置為180°，就會圍繞一個中心對稱進(jìn)行旋轉(zhuǎn).當(dāng)學(xué)生面對此類問題時，首先必然存在一個原本的△ABC，然后將這個原本的三角形繞平面內(nèi)某一點旋轉(zhuǎn)180°，得到△A′B′C′，這樣就可以將△A′B′C′視為是△ABC的對稱型全等三角形，兩者存在著對應(yīng)關(guān)系.旋轉(zhuǎn)后出現(xiàn)的兩個三角形有密切的聯(lián)系，它們的對應(yīng)邊是平行的關(guān)系，并且邊長相等.

中心對稱型全等三角形的變化過程需要得到學(xué)生的關(guān)注，其定義和性質(zhì)也就更加容易被學(xué)生判斷，存在中點、對頂角，平行也是很特殊的條件.當(dāng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)在試卷題目中有著相等線段、中線、對頂角等關(guān)鍵詞或者符號時，就可以和這個中心對稱型全等三角形的知識聯(lián)系起來，作等長或者是平行的輔助線，將圖形更好地還原出來.［3］在操作后可以直觀地看到，選擇的這個中點或者頂點就變成了對稱中心點，以此為中心就可以構(gòu)造出對稱型三角形.在還原成為初始的狀態(tài)后，應(yīng)該畫輔助線的地方也就自然而然地浮現(xiàn)在學(xué)生的眼前，學(xué)生就可以按照對稱中心點來將不同的情況分別討論（如圖3）.

例題已知△ABC是等邊三角形，點D是射線AB上的一個動點，延長BC至點E，使CE=AD，連接DE交射線AC于點F.

（1）如圖4所示，當(dāng)點D在線段AB上時，思考CF與BD的關(guān)系.

（2）如圖5所示，當(dāng)點D在線段AB的延長線上時，思考CF與BD的數(shù)量關(guān)系是否仍然成立.

構(gòu)造思路：要先結(jié)合一定的有效條件，找到CF和BD之間的數(shù)量關(guān)系，然后以此作為突進(jìn)下一個部分的重要環(huán)節(jié)，在已知目標(biāo)線段后，才能夠?qū)蓚€目標(biāo)線段放在同一個直線上去進(jìn)行分析.

再次對各個條件進(jìn)行分析，在前面的已知條件中已經(jīng)給出了CE=AD這個有用的要素，所以CE和AD就不會在同一個三角形內(nèi)部，這對于全等條件有很大幫助.教師和學(xué)生都對線段進(jìn)行轉(zhuǎn)化，找到題目中其他可以使用的條件.對線段的部分進(jìn)行轉(zhuǎn)化，明確△ABC為等邊三角形，就可以得出AB=AC=BC，∠A=∠B=∠ACB=60°，過點D作DG∥BC交AC于點G，△ADG也是等邊三角形，就這樣將線段關(guān)系成功地轉(zhuǎn)化了出來，可得BD=CG.再經(jīng)過推導(dǎo)，最終可以證得△ECF≌△DGF，證得2CF=BD.在完成問題（1）的解答后，問題（2）也就迎刃而解，通過相似的原理和步驟，基于同樣的思路來解決問題.

3構(gòu)造軸對稱型全等三角形

軸對稱型全等三角形的概念也需要教師來給學(xué)生講解.在某個平面中，畫出一個三角形，將這個畫好的三角形沿著某條直線翻折180°，得到一個新的三角形.將這兩個三角形看作是一對軸對稱型全等三角形，對于解決某些特定問題有很大幫助.如果已知條件中已經(jīng)給學(xué)生提供了對稱軸，那就可以表明垂線、角平分線等線段已經(jīng)存在.在等腰三角形中，因為三線合一的知識點，很多時候都需要學(xué)生將對稱軸補(bǔ)齊，才能夠成功地構(gòu)造出軸對稱型全等三角形.在部分圖形中，因為對稱軸這個要素不夠明晰，所以垂直平分這個重要條件也就隱藏在圖形的內(nèi)部，需要學(xué)生正確地添加對稱軸，才能夠更好地解決某類問題.

可以將軸對稱型全等三角形主要分為五種類型（如圖6）.與之前所學(xué)習(xí)的概念進(jìn)行對比，學(xué)生會發(fā)現(xiàn)知識之間的互通之處.中心對稱與軸對稱都屬于對稱.學(xué)生經(jīng)過觀察和比較后，就能夠提升對平面圖形的想象能力，將它們正確地區(qū)分開，不至于混淆.雖然在具體的應(yīng)用中并不完全相同，但是可以被納入同一個模型中去考查.

例題如圖7所示，在銳角三角形ABC中，∠A=60°，點D，E分別是邊AB，AC上的動點，連接BE交直線CD于點F.若ABgt;AC，且BD=CE，∠BCD=∠CBE，求∠CFE的度數(shù).

構(gòu)造思路：從這個問題來進(jìn)行考查，需要明確地知道這個角的度數(shù)，此時并不能夠從結(jié)論中反推出一些有效信息，所以并不能通過綜合法來解決問題.綜合已有條件，題目中只給出了∠A的確切度數(shù)，需要計算的∠CFE的度數(shù)會與∠A之間存在著某些聯(lián)系，可能與∠A互余，也可能與∠A互補(bǔ)，所以思考的重點就是要將兩者之間建立起聯(lián)系，才能夠從一個角的度數(shù)中計算出另一個角的度數(shù).四邊形內(nèi)角和、鄰補(bǔ)角、對頂角、三角形內(nèi)角和等都可以被使用在這個題目中，以此來實現(xiàn)角之間的轉(zhuǎn)化，最終證得∠CFE與∠A相等.

4構(gòu)造平移型全等三角形

在平移型全等三角形中，需要學(xué)生回憶起比較簡單的平移知識，將某個三角形按照某個方向移動一些距離，在平移后得到一個新的三角形.學(xué)生聯(lián)系熟悉的知識，即這兩個三角形經(jīng)過平移后得到，相應(yīng)的點也都處于同樣一條直線上.平行和相等是需要重點關(guān)注的部分，通過截取線段的方法，平移型全等三角形就可以被構(gòu)造出來.因為平移和旋轉(zhuǎn)、中心對稱等相比更為簡單，所以該部分知識的考查對于學(xué)生而言并不是非常困難，只要關(guān)注一些特定的題型，大部分學(xué)生都可以順利地解決問題.以下是兩種情況（如圖8），學(xué)生注意區(qū)分不同的條件，找到解決問題的側(cè)重點.

例題如圖9所示，在△ABC中，D，E在邊BC上，且BD=EC.求證：AB+ACgt;AD+AE.

構(gòu)造思路：要證明AB+ACgt;AD+AE，經(jīng)過轉(zhuǎn)化后，將△AEC平移到△A′BD的位置（點A向左平移|BE|的距離得到點A′），△AEC≌△A′BD，最終即可完成證明.

5結(jié)語

核心素養(yǎng)是教師在教學(xué)中需要重點關(guān)注的地方，也是貫徹落實新課程標(biāo)準(zhǔn)的必要途徑，對于學(xué)生解題能力的提升有很大幫助.從平面幾何的角度來進(jìn)行教學(xué)研究，優(yōu)化教學(xué)設(shè)計，可以發(fā)現(xiàn)全等三角形之間的知識點互相連通，都需要學(xué)生首先熟練掌握全等三角形的知識，然后在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步拓展思維，將基礎(chǔ)知識逐漸轉(zhuǎn)化為更加復(fù)雜的知識，最后在考試和證明題目中靈活運(yùn)用.教師引導(dǎo)學(xué)生添設(shè)輔助線，增添已知條件，解決數(shù)學(xué)試卷上的題目.對于數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的培養(yǎng)和構(gòu)造全等三角形的知識點，教師也要進(jìn)一步加強(qiáng)理論研究，明確兩者之間的密切聯(lián)系，為學(xué)生提供高質(zhì)量的課堂教學(xué).

參考文獻(xiàn)

［1］劉海燕.基于數(shù)學(xué)抽象思維的初中數(shù)學(xué)解題教學(xué)策略——以探索三角形全等條件為例［J］.數(shù)理天地（初中版），2024（21）：50-51.

［2］涂椿仙.初中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中數(shù)學(xué)抽象的應(yīng)用及解題技巧——以“探索三角形全等條件”為例［J］.數(shù)理化解題研究，2024（23）：42-44.

［3］楚立軍.聚焦課堂交流提升核心素養(yǎng)——以“等腰三角形的軸對稱性”教學(xué)為例［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)通訊，2024（20）：41-43.