對一道中考試題的分析和拓展

【摘要】本文對2024年南通市中考數學第17題進行深入分析，揭示此題考查的知識點及其蘊含的幾何模型.同時，根據原題的解答思路，將試題進行縱向拓展，以期幫助學生更深入地把握試題的本質，提升解題能力.

【關鍵詞】平面幾何；初中數學；解題方法

對典型中考試題進行深入分析和變式拓展，有助于教師更好地把握教學重點，了解命題趨勢，同時也能幫助學生提升解題能力，深化對知識的理解.本文選取2024年南通中考數學第17題進行探究和拓展.

1" 試題呈現

（2024年南通中考數學第17題）如圖1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=5.正方形DEFG的邊長為5，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，則BG的長為""" .

圖2

此題是平面幾何綜合問題，難度較大，涉及的主要平面幾何知識點有等腰三角形的性質和判定、正方形的性質、三角形全等的性質和判定、勾股定理等.此外，還涉及解一元二次方程.可見，此題考查了初中數學的多個核心知識點，要求學生對所學的知識進行靈活運用，具有較高的區分度.

2" 試題解析

如圖2，過點G作GH⊥AC， 則∠AHG=∠GHD=90°.

因為∠ACB=90°，AC=BC=5，

所以AB=52，∠A=∠B=45°，

所以∠AGH=45°=∠A，

所以AH=HG.

設AH=HG=x，

則CH=AC－AH=5－x.

因為四邊形DEFG是正方形，

所以DG=DE，∠GDE=90°，

所以∠HDG+∠CDE=90°.

又GH⊥AH，

所以∠HGD+∠HDG=90°，

所以∠HGD=∠CDE.

因為∠DCE=∠GHD=90°，

所以△GHD≌△DCE，

所以CD=GH=x，

所以DH=CH－CD=5－2x.

在 Rt△GHD中，由勾股定理，得GD2=DH2+GH2，

所以（5）2=（5－2x）2+x2，

解得：x=2.

所以AH=2，CH=3.

易知HG∥BC，

所以BGAG=CHAH=32，

所以BG=35AB=35×52=32.

故答案為：32.

評析" 以上解答的關鍵是通過作輔助線GH構造出“一線三等角”模型，這一模型經常出現在中考試題中［1-2］，其常見構圖如圖3所示，其中AB⊥BD，DE⊥BD，AC⊥CE.在圖3中，容易證明△ABC≌△CDE.根據“一線三等角”模型可知，圖2中△GHD∽△DCE，又因為DG=DE，所以△GHD≌△DCE，再根據全等三角形的性質可以得到圖2中線段之間的數量關系，最后根據勾股定理列出方程即可解決問題.

圖3

3" 試題拓展

下面我們將以上中考真題進行拓展，并采用與原題類似的思路進行解答.

拓展1" 如圖1，在 Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=a.正方形DEFG的邊長為m，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，求BG的長.

解析" 如圖2，過點G作GH⊥AC，設AH=GH=x.

類似原題的解答易知△GHD≌△DCE，所以CD=GH=x.

所以DH=CH－CD=a－2x.

在Rt△GHD中，由勾股定理得GD2=DH2+GH2，

所以m2=a－2x2+x2，

化簡得5x2－4ax+a2－m2=0，

解得x1=155m2－a2+2a，

x2=152a－5m2－a2，

即AH=155m2－a2+2a

或152a－5m2－a2.

類似原題的解答可知BGAG=CHAH，

所以BGAB=CHAC，

故BG=CHAC·AB=2aa－xa

=2a－x，

所以BG=253a－5m2－a2或

BG=253a+5m2－a2.

因此，一般情況下，BG有兩個解.而當5m2=a2時，BG只有一個解，原題所給的數據恰好滿足這一條件.可見，原題中的數據是經過了命題專家的充分考量的，以便減輕學生分類討論的負擔.

將等腰直角三角形一般化為任意直角三角形，可以得到如下拓展.

拓展2" 如圖4，在 Rt△ABC中，BC=a，AC=b.正方形DEFG的邊長為m，它的頂點D，E，G分別在△ABC的邊上，求BG的長.

圖4

以上拓展的解決思路與原題類似，但此時涉及的字母運算較為復雜，故這里不再展開討論.

4" 結語

對中考試題進行深入的分析探究是初中數學教學和學習過程中不可或缺的環節.中考試題是命題專家智慧的結晶，通過深入分析，可以挖掘出題目背后所考查的核心知識，以及隱藏其中的數學思想方法.一般來說，中考試題都有深入推廣的價值.對中考真題進行深度探究，不僅有助于教師把握教學重難點，調整教學策略，提高教學質量，還能幫助學生更好地理解數學知識，提升解題能力，培養數學思維，為未來的學習和發展奠定堅實的基礎.

參考文獻：

［1］劉家良.“一線三等角”型中考題例析［J］.數理化學習（初中版），2024（05）：16-18.

［2］陳濤.例談幾何模型之“一線三等角”［J］.數學通訊，2023（09）：37-41.