巧用函數模型解決實際問題

【摘要】函數作為初中數學的重要內容之一，在解決實際問題中有著廣泛的應用．本文結合具體實例，講解如何巧用函數模型解決各類實際問題，同時強調在教學中培養學生運用函數模型解決實際問題能力的重要性．

【關鍵詞】函數模型；初中數學；解題方法

現實生活中的許多問題都可以通過建立數學模型來解決，而函數模型因其強大的描述和分析能力，成為解決實際問題的有力工具．初中階段學生已經學習了一次函數、二次函數等，這些函數在不同的實際情境中有著獨特的應用價值．通過運用函數模型解決實際問題，不僅可以加深學生對函數知識的理解和掌握，還能培養學生的數學思維和解決問題的能力，提高學生的綜合素質．

1" 運用一次函數和反比例函數預判飲水機水溫問題

例1" 學校的自動飲水機，開機加熱時水溫每分鐘上升10℃，加熱到100℃，停止加熱，水溫開始下降．此時水溫y℃與通電時間xmin成反比例關系．當水溫降至20℃時，飲水機再自動加熱．若水溫在20℃時接通電源，水溫y與通電時間x之間的關系如圖1所示，則下列說法正確的是（" ）

圖1

（A）水溫從20℃加熱到100℃，需要7min．

（B）水溫下降過程中，y與x的函數關系式是y=400x．

（C）水溫從100℃降至20℃，所需時間為40min．

（D）水溫不低于30℃的時間為773min．

解析" 因開機加熱時水溫每分鐘上升10℃，所以水溫從20℃加熱到100℃，需要8min，（A）錯誤；

設反比例函數的解析式為y=kx，將點8，100代入，可得k=800，所以水溫下降過程中，y與x的函數關系式是y=800x，（B）錯誤；

將y=20代入y=800x得，20=800x，解得x=40，即40－8=32min，所以水溫從100℃降至20℃，所需時間為32min，（C）錯誤；

因開機加熱時水溫每分鐘上升10℃，水溫從30℃加熱到100℃，需要7min，將y=30代入y=800x得，解得x=803，所以水溫不低于30℃的時間為7+803－8=773，（D）正確．

點評" 本題考查了一次函數和反比例函數的應用，題中給出了函數圖象，因此，數形結合是解決本題的關鍵．先利用待定系數法求函數的解析式，再利用解析式求得對應信息．

2" 運用二次函數模型解決帳篷內擺放椅子問題

例2" 各式帳篷已成為戶外活動的必要裝備，其中拋物線型帳篷支架簡單，攜帶方便，適合一般的休閑旅行使用．

（1）如圖2，某款拋物線型帳篷搭建時張開的寬度AB=4m，頂部高度h=2m，在圖2中以AB所在的直線為x軸，AB的中點為原點，建立平面直角坐標系（畫出坐標系），求帳篷支架對應拋物線的函數表達式；

（2）每款帳篷張開時的寬度和頂部高度都會影響其容納椅子的數量，圖3為一把椅子擺入這款帳篷后的簡易視圖，椅子高度EC=0.72m，寬度CD=0.5m，若在帳篷內沿AB方向擺放一排此款椅子，求最多可擺放的椅子數量；

（3）現要設計一款拋物線型帳篷，要求頂部高度為2.5m，且一排能容納5張高、寬分別為1m和0.5m的椅子．用（1）中的方法建立坐標系后，其拋物線型支架的函數表達式為y=ax2+2.5alt;0，請直接寫出a的最小值．

解析" （1）建立平面直角坐標系，如圖4所示，

因A款帳篷搭建時張開的寬度AB=4m，頂部高度h=2m，

所以A－2，0，B2，0，

設拋物線的函數表達式為y=b（x+2）（x－2），

因拋物線經過點（0，2），

可得2=b0+20－2．

解得b=－12，

所以y=－12x+2x－2=－12x2+2．

（2）由（1）知y=－12x2+2，且椅子高度EC=0.72m，寬度CD=0.5m，

將y=0.72代入y=－12x2+2，

解得x1=1.6，x2=－1.6，

1.6+1.6=3.2m，

3.2÷0.5=6.4（把）．即最多可擺放的椅子數量為6把．

（3）一排能容納5張高、寬分別為1m和0.5m的椅子，

所以令y=1，x=5×0.52=54，

y=ax2+2.5alt;0經過點54，1，

即當y=1時，1=a×542+2.5，

解得a=－2425．

所以a的最小值為－2425．

點評" 本題考查了二次函數的圖象以及平面直角坐標系，正確掌握相關性質是解題的關鍵．第（3）問中，根據“一排能容納5張高、寬分別為1m和0.5m的椅子”，建立方程，即可作答．本題靈活運用二次函數模型解決生活中的實際問題，突出體現了函數模型在解決實際問題中的重要性．

3" 結語

函數模型作為一種重要的數學工具，在解決實際問題中有著廣泛的應用．通過巧用函數模型，可以解決經濟、物理、生活等各個領域中的實際問題．在初中數學教學中，教師應注重培養學生運用函數模型解決實際問題的能力，通過改進教學方法、開展實踐活動和培養思維能力等途徑，提高學生的數學素養和解決問題的能力．同時，學生也應積極主動地參與到函數模型的學習和應用中，不斷提高自己的數學思維和實踐能力，為今后的學習和生活打下堅實的基礎．

參考文獻：

［1］鄭培珺.數學函數模型在解決實際問題中的巧用［J］.中學數學研究（華南師范大學版），2019（02）：20-23.

［2］李靜靜，朱晨.核心素養下高中數學PBL教學模式的研究——以“用函數模型解決實際問題”為例［J］.安徽教育科研，2023（33）：116-118.