基于深度學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)施與思考

摘"要：在數(shù)學(xué)教學(xué)活動(dòng)中，教師應(yīng)當(dāng)基于深度理解新課標(biāo)和教材，在單元視角下形成有個(gè)性的教學(xué)設(shè)計(jì)，促使學(xué)生深度學(xué)習(xí)的發(fā)生；學(xué)生則應(yīng)當(dāng)通過(guò)多樣化的學(xué)習(xí)方式，開(kāi)展促進(jìn)高階思維發(fā)展的、有深度的學(xué)習(xí)活動(dòng)，構(gòu)建知識(shí)內(nèi)部邏輯，提升數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

關(guān)鍵詞：深度學(xué)習(xí)；數(shù)學(xué)教學(xué)；對(duì)數(shù)函數(shù)

核心素養(yǎng)時(shí)代要求學(xué)習(xí)超越“有知識(shí)無(wú)素養(yǎng)”的淺表化學(xué)習(xí)，超越教學(xué)實(shí)踐中對(duì)三維目標(biāo)表述的割裂，走向深度學(xué)習(xí).深度學(xué)習(xí)是指在教師引導(dǎo)下，學(xué)生圍繞著具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)主題，全身心積極參與，體驗(yàn)成功，獲得發(fā)展的有意義的學(xué)習(xí)過(guò)程.［1］下面筆者以“對(duì)數(shù)函數(shù)（第一課時(shí)）”為例，具體闡述如何在高中數(shù)學(xué)課堂中開(kāi)展深度學(xué)習(xí).

1"教材分析

“對(duì)數(shù)函數(shù)”是蘇教版《普通高中教科書(shū)數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)》的內(nèi)容，是在一般函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)，冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)以及對(duì)數(shù)及其運(yùn)算性質(zhì)的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì).學(xué)生已積累了研究函數(shù)基本方法的經(jīng)驗(yàn)，本節(jié)課的研究思路為后續(xù)研究三角函數(shù)搭建了“腳手架”.本節(jié)課注重類(lèi)比思想的運(yùn)用，通過(guò)指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系，類(lèi)比構(gòu)建對(duì)數(shù)函數(shù)的研究路徑，歸納其圖象和性質(zhì)；注重特殊到一般思想的運(yùn)用，通過(guò)對(duì)具體對(duì)數(shù)函數(shù)的研究，推廣到一般情況；注重?cái)?shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用，從幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)角度研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì).

2"教學(xué)過(guò)程

2.1"創(chuàng)設(shè)情境，引入對(duì)象

問(wèn)題1"良渚遺址位于浙江省杭州市余杭區(qū)良渚和瓶窯鎮(zhèn)，1936年首次發(fā)現(xiàn).考古學(xué)家利用遺址中遺存物碳14的殘留量測(cè)定，古城存在時(shí)期為公元前3300年—前2500年.你知道考古學(xué)家在測(cè)定遺址年代時(shí)用了什么數(shù)學(xué)知識(shí)嗎？

追問(wèn)1"動(dòng)植物死亡后，它機(jī)體內(nèi)原有的碳14不再產(chǎn)生，且原有的碳14會(huì)自動(dòng)衰變，大約每經(jīng)過(guò)5730年（碳14的半衰期）衰減為原來(lái)的一半.如果碳14的原始含量為1，生物體內(nèi)碳14含量與死亡年數(shù)之間有怎樣的聯(lián)系？

追問(wèn)2"已知死亡生物體內(nèi)碳14的含量，如何得知它死亡了多長(zhǎng)時(shí)間呢？

追問(wèn)3"死亡時(shí)間x是碳14含量y的函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：教師提出問(wèn)題，引導(dǎo)學(xué)生從實(shí)際情境中出抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題.根據(jù)指數(shù)和對(duì)數(shù)的關(guān)系，經(jīng)運(yùn)算推理，得到死亡時(shí)間x與碳14含量y之間的關(guān)系式.師生合作，先直觀認(rèn)識(shí)直線y=y0（0lt;y0≤1）與圖象只有一個(gè)交點(diǎn)（x0，y0），再回歸定義說(shuō)明對(duì)于任意y∈（0，1］，都有唯一確定的x與之對(duì)應(yīng)，因此x是y的函數(shù).習(xí)慣上，用x表示自變量，得到函數(shù)y=log573012x.

問(wèn)題2"某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)……這樣的細(xì)胞分裂x次后，得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y與x有怎樣的關(guān)系？已知細(xì)胞個(gè)數(shù)y，如何確定分裂次數(shù)x？

【設(shè)計(jì)意圖】從兩個(gè)實(shí)際問(wèn)題中抽象出數(shù)學(xué)問(wèn)題，引入本節(jié)課研究的對(duì)象——對(duì)數(shù)函數(shù).學(xué)生體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用性以及與其他學(xué)科的聯(lián)系，激發(fā)學(xué)習(xí)興趣，為深度學(xué)習(xí)的開(kāi)展提供了先決條件，同時(shí)提升學(xué)生的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng).這兩個(gè)問(wèn)題在指數(shù)函數(shù)中已接觸過(guò)，從舊知引出新知，符合學(xué)生認(rèn)知規(guī)律.從形和數(shù)兩個(gè)方面理解定義，為后續(xù)生成和深入理解對(duì)數(shù)函數(shù)的概念作鋪墊.

2.2"抽象概念，理解定義

問(wèn)題3"結(jié)合上述兩類(lèi)具體指數(shù)函數(shù)得到新函數(shù)的過(guò)程，能否推廣到一般情況？

追問(wèn)"你能舉出其他的對(duì)數(shù)函數(shù)嗎？

師生活動(dòng)：學(xué)生觀察、分析、合作探究，自主抽象概括出對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.教師引導(dǎo)學(xué)生類(lèi)比指數(shù)函數(shù)概念的敘述，完善對(duì)數(shù)函數(shù)的定義.

【設(shè)計(jì)意圖】本節(jié)課的難點(diǎn)之一是抽象對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，區(qū)別于指數(shù)函數(shù)由特殊到一般歸納共性得到定義，對(duì)數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)通過(guò)演繹推理得到的.學(xué)生已有兩個(gè)具體指數(shù)函數(shù)得到相應(yīng)對(duì)數(shù)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，因此具備自主抽象概括定義的能力，很自然地突破本節(jié)課的難點(diǎn)，提升數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).

2.3"合作探究，歸納性質(zhì)

問(wèn)題4"類(lèi)比冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的研究，你能構(gòu)建對(duì)數(shù)函數(shù)的研究路徑、內(nèi)容和方法嗎？

追問(wèn)1"如何研究對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)？

追問(wèn)2"具體研究哪些性質(zhì)？

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生回憶冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)歷，構(gòu)建對(duì)數(shù)函數(shù)的研究路徑.教師總結(jié)此路徑、內(nèi)容和方法為研究函數(shù)的一般順序.

【設(shè)計(jì)意圖】以研究函數(shù)的一般方法為指導(dǎo)，借鑒冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)研究對(duì)數(shù)函數(shù)，加深并掌握建構(gòu)函數(shù)知識(shí)的研究框架.基于單元視角看待新知識(shí)，實(shí)現(xiàn)高階思維發(fā)展、學(xué)習(xí)遷移等能力的培養(yǎng).

小組探究1"在同一個(gè)直角坐標(biāo)系中作出y=log2x，y=log12x，y=log3x，y=log13x，y=lgx的圖象.

追問(wèn)1"如何作出y=log2x與y=log12x的圖象？

追問(wèn)2"觀察y=log2x與y=log12x的圖象，你發(fā)現(xiàn)了什么？能否從代數(shù)角度解釋圖象的這種關(guān)系？

追問(wèn)3"如何將此結(jié)論推廣到一般情況？

追問(wèn)4"已知y=log3x的圖象，你有哪些方法作出y=log13x的圖象？

【設(shè)計(jì)意圖】指數(shù)函數(shù)中，學(xué)生已學(xué)習(xí)了y=ax與y=1ax（agt;0，a≠1）圖象的對(duì)稱(chēng)關(guān)系，能利用對(duì)稱(chēng)關(guān)系來(lái)作圖，但并不熟練.因此，教學(xué)中先通過(guò)觀察y=log2x與y=log12x的圖象，喚醒學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，并從代數(shù)角度解釋對(duì)稱(chēng)關(guān)系，得到一般性結(jié)論之后，再應(yīng)用于函數(shù)y=log13x的作圖，從“以形助數(shù)”和“以數(shù)助形”兩個(gè)方面體會(huì)數(shù)形結(jié)合思想.教師布置有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，讓學(xué)生獨(dú)立思考、自主合作探究，全身心參與，促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的發(fā)生.

小組探究2"推測(cè)y=2x與y=log2x的圖象關(guān)系，并推廣到一般情況.

師生活動(dòng)：學(xué)生獨(dú)立思考得到同底的指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱(chēng).教師給出結(jié)論，即y=ax與y=logax（agt;0，a≠1）互為反函數(shù)，定義域和值域互換.

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)圖象關(guān)系的研究，學(xué)生進(jìn)一步積累從代數(shù)角度研究圖象的經(jīng)驗(yàn).

小組探究3"結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，歸納性質(zhì)，完善表格.

師生活動(dòng)：學(xué)生通過(guò)幾個(gè)特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，類(lèi)比指數(shù)函數(shù)圖象，直觀感知并作出對(duì)數(shù)函數(shù)底數(shù)agt;1，0lt;alt;1兩類(lèi)圖象.教師利用GGB，動(dòng)態(tài)作出對(duì)數(shù)函數(shù)圖象，驗(yàn)證學(xué)生猜測(cè).

【設(shè)計(jì)意圖】通過(guò)信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程的深度融合，提高教學(xué)的實(shí)效性.類(lèi)比指數(shù)函數(shù)性質(zhì)，從圖象歸納對(duì)數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)讓學(xué)生根據(jù)所得性質(zhì)進(jìn)一步分析函數(shù)的圖象.經(jīng)歷由形到數(shù)、由數(shù)到形的過(guò)程，培養(yǎng)學(xué)生深度學(xué)習(xí)基礎(chǔ)上的高階思維.

2.4"例題精析，鞏固新知

例1"求下列函數(shù)的定義域.

（1）y=log0.2（4-x）；（2）y=log（2-x）（5x-4）.

例2"比較下列各題中兩個(gè)值的大小.

（1）log23.4，log28.5；（2）log0.31.8，log0.32.7；

（3）loga1.8，loga2.7（agt;0，a≠1）；（4）log0.46，log0.56，20.4.

【設(shè)計(jì)意圖】檢驗(yàn)學(xué)生對(duì)對(duì)數(shù)函數(shù)范圍的理解，以及利用性質(zhì)解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力.

2.5"總結(jié)提煉，提升素養(yǎng)

問(wèn)題5"概述本節(jié)課知識(shí)發(fā)生、發(fā)展過(guò)程的基本脈絡(luò).

問(wèn)題6"通過(guò)本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你是否對(duì)研究函數(shù)的內(nèi)容和方法有了進(jìn)一步的認(rèn)識(shí)？

【設(shè)計(jì)意圖】師生回顧本節(jié)課的學(xué)習(xí)過(guò)程，掌握研究具體函數(shù)的路徑、內(nèi)容和方法.學(xué)生理解從幾何直觀和代數(shù)運(yùn)算兩個(gè)角度研究函數(shù)的圖象和性質(zhì)，掌握類(lèi)比、特殊到一般、數(shù)形結(jié)合等思想方法.

3"幾點(diǎn)思考

3.1"單元視角下的教學(xué)內(nèi)容是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)

新課改以來(lái)，一線教師在新課程的理念下積極地轉(zhuǎn)變教學(xué)模式，開(kāi)展以生為本的教學(xué)活動(dòng)，但是實(shí)施過(guò)程中還是存在許多困惑，如教師認(rèn)真教，學(xué)生認(rèn)真學(xué)，作業(yè)反饋卻發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生只會(huì)就題論題，難以發(fā)現(xiàn)知識(shí)間的聯(lián)系.究其根本，其中一個(gè)很重要的因素就是教學(xué)內(nèi)容的碎片化，導(dǎo)致學(xué)生只會(huì)使用淺層的學(xué)習(xí)方式完成學(xué)習(xí)任務(wù).

單元視角下的教學(xué)內(nèi)容即教師將教學(xué)的視野從課時(shí)拓展到單元，甚至是整個(gè)知識(shí)模塊，摒棄以課時(shí)和離散知識(shí)點(diǎn)為設(shè)計(jì)單位的碎片化設(shè)計(jì)，以單元為內(nèi)容組織的最小單位，對(duì)課程內(nèi)容進(jìn)行結(jié)構(gòu)化組織，強(qiáng)調(diào)知識(shí)間的聯(lián)系.對(duì)數(shù)函數(shù)雖為新知，但與之前的冪函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的研究?jī)?nèi)容和方法是一脈相承的.因此，教學(xué)內(nèi)容可以以函數(shù)模塊為設(shè)計(jì)單位，引導(dǎo)學(xué)生感受知識(shí)生成過(guò)程的同時(shí)，整體把握研究函數(shù)的基本方法，把握單元的整體脈絡(luò)，構(gòu)建可遷移的學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn).

3.2"多樣化的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)是實(shí)現(xiàn)深度學(xué)習(xí)的抓手

設(shè)定教學(xué)目標(biāo)之后，教師還需要組織多樣的教學(xué)活動(dòng)，給學(xué)生提供多樣化的學(xué)習(xí)機(jī)會(huì)來(lái)促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的真實(shí)發(fā)生.深度學(xué)習(xí)需要教與學(xué)方式的根本性轉(zhuǎn)變，將教學(xué)內(nèi)容轉(zhuǎn)化為“引領(lǐng)性的學(xué)習(xí)主題”.教師設(shè)置具有挑戰(zhàn)性的學(xué)習(xí)任務(wù)，也可以利用螺旋式的問(wèn)題串稚化思維，吸引學(xué)生深度參與.教師根據(jù)任務(wù)的難度，引導(dǎo)學(xué)生閱讀自學(xué)、獨(dú)立思考、動(dòng)手實(shí)踐、合作探究等，從個(gè)體學(xué)習(xí)走向師生、生生共同學(xué)習(xí)和合作交流，構(gòu)建學(xué)習(xí)共同體.本節(jié)課抽象對(duì)數(shù)函數(shù)的概念是一個(gè)難點(diǎn)，教學(xué)時(shí)由y=2x得到y(tǒng)=log2x的過(guò)程可以師生共同探討，y=12x得到y(tǒng)=log12x的過(guò)程可以小組合作探究，y=ax得到y(tǒng)=logax（agt;0，a≠1）的過(guò)程可獨(dú)立思考.同底對(duì)數(shù)函數(shù)的對(duì)稱(chēng)關(guān)系以及同底指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系的發(fā)現(xiàn)可根據(jù)學(xué)情，設(shè)置更開(kāi)放的研討氛圍，整個(gè)過(guò)程可由學(xué)生合作探究發(fā)現(xiàn)結(jié)論并代數(shù)證明，教師從旁指導(dǎo)即可，真正創(chuàng)設(shè)適應(yīng)學(xué)情的以生為本的課堂.

3.3"指向素養(yǎng)培養(yǎng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)是深度學(xué)習(xí)的歸宿

《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）》指出：“全面落實(shí)立德樹(shù)人要求，深入挖掘數(shù)學(xué)學(xué)科的育人價(jià)值，樹(shù)立以發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)為導(dǎo)向的教學(xué)意識(shí)，將數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的培養(yǎng)貫穿教學(xué)活動(dòng)的全過(guò)程.”［2］指向核心素養(yǎng)的學(xué)習(xí)目標(biāo)既是深度學(xué)習(xí)的出發(fā)點(diǎn)，也是歸宿.上述案例中，基于學(xué)生已有函數(shù)的研究經(jīng)驗(yàn)，教師通過(guò)問(wèn)題串的形式，引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用特殊到一般、演繹推理、類(lèi)比推理等方法，得到對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理素養(yǎng).函數(shù)圖象描述的是函數(shù)的形，函數(shù)性質(zhì)呈現(xiàn)的是函數(shù)的數(shù)，建立數(shù)與形的聯(lián)系，在探究過(guò)程中感受數(shù)形結(jié)合思想，提升直觀想象素養(yǎng).

參考文獻(xiàn)

［1］劉月霞，郭華.深度學(xué)習(xí)：走向核心素養(yǎng)（理論普及讀本）［M］.北京：教育科學(xué)出版社，2018.

［2］中華人民共和國(guó)教育部.普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版2020年修訂）［M］.北京：人民教育出版社，2020.