追本溯源，深度思考，促進(jìn)思維進(jìn)階

摘"要：“圖形的運(yùn)動(dòng)”相關(guān)知識(shí)覆蓋面廣，是各地中考試題壓軸熱門點(diǎn).筆者通過一道“最值問題”的評(píng)講，追本溯源，有意識(shí)地進(jìn)行了一次“軸對(duì)稱求最值”的探究，深挖軸對(duì)稱圖形中所蘊(yùn)含的基本圖形和解題方法，以任務(wù)為驅(qū)動(dòng)，不斷引發(fā)學(xué)生深度思考，提升其思維品質(zhì).

關(guān)鍵詞：思維進(jìn)階；軸對(duì)稱；最值問題

軸對(duì)稱最值問題在考試中通常得分率偏低，歸根結(jié)底，是因?yàn)閷W(xué)生并未將題目與已有的經(jīng)驗(yàn)產(chǎn)生聯(lián)系.本文將“將軍飲馬”問題作為切入，引導(dǎo)學(xué)生重溫軸對(duì)稱最值問題的最基本模型，緊抓知識(shí)要點(diǎn)，幫助學(xué)生深度思考，促進(jìn)思維進(jìn)階.

1"例題重現(xiàn)

如圖1所示，在平面直角坐標(biāo)系中，射線OM與y軸的正半軸的夾角為20°，點(diǎn) A在射線OM上，OA=2，P、N、M分別是y軸、射線OM上的動(dòng)點(diǎn)，求AP+PM+MN的最小值.

解析：以y軸為對(duì)稱軸作M的對(duì)稱點(diǎn)M′，

則PM=PM′，以M′所在的直線OM′為對(duì)稱軸作N的對(duì)稱點(diǎn)N′，點(diǎn)N′所在直線ON′與射線OM所成夾角為60°，MN=M′N′，

則AP+PM+MN=AP+PM′+M′N′.

將其“化折為直”，再根據(jù)“點(diǎn)與直線之間，垂線段最短”，可得AP+PM+MN的最小值.

過點(diǎn)A作AH⊥ON′，垂足為H，則AH即為AP+PM+MN的最小值，最小值為3.

2"重構(gòu)體系，厘清脈絡(luò)

例1"將軍飲馬問題：如圖2所示，將軍每天從軍營A出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再去河岸同側(cè)的B地開會(huì)，應(yīng)該怎樣走才能使路程最短？

解析：“將軍飲馬”模型，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)，將同側(cè)兩線段轉(zhuǎn)化為異側(cè)兩線段.因是基本模型，可由學(xué)生自主完成.

例2"如圖3所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），B（2，0），直線l與x軸的正半軸的夾角為30 °，P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，求PA+PB最小值.

解析：本題同樣是“將軍飲馬”模型，以P所在的直線l為對(duì)稱軸作A的對(duì)稱點(diǎn)A′，

則AP=A′P，

則AP+PB=A′P+PB.

根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，將其“化折為直”，得（PA+PB）min=A′B.

3"變式探究，深度思考

變式"如圖4所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A（8，0），B是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，直線l與x軸的正半軸的夾角為30 °，P是直線l上一動(dòng)點(diǎn)，Q是直線l上一定點(diǎn)，且OQ=2，求AP+PB+BQ的最小值.

解析：由“兩線段求和最小”拓展為 “三線段求和最小”，可繼續(xù)沿用“將軍飲馬”模型.如圖5所示，以P所在的直線l為對(duì)稱軸作A的對(duì)稱點(diǎn)A′，以B所在的x軸為對(duì)稱軸作Q的對(duì)稱點(diǎn)Q′， 則AP+PB+BQ=A′P+PB+BQ′，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”，將其“化折為直”，得 （A′P+PB+BQ′）min=A′Q′.

4"案例剖析，思維進(jìn)階

4.1"目標(biāo)定位，理解學(xué)生，選材需要落在學(xué)生思維的最近發(fā)展區(qū)

教學(xué)目標(biāo)就是教學(xué)的方向，它關(guān)乎一堂課的成敗.實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo)的前提是理解學(xué)生，因?yàn)閷W(xué)生是課堂教學(xué)的主體，教師只有了解學(xué)生已有的知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、學(xué)習(xí)習(xí)慣、思維特點(diǎn)等，才能做到有的放矢.如果復(fù)習(xí)僅僅是重現(xiàn)原來的問題或設(shè)置的問題難度過低，那么思維容量也偏低，對(duì)于功底好的學(xué)生，幾乎不需多加思考，又怎能產(chǎn)生思維興奮點(diǎn)？不少學(xué)生處于被動(dòng)答題狀態(tài).長此以往，他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣也會(huì)逐步喪失.題量、難度是復(fù)習(xí)目標(biāo)定位的兩個(gè)重要元素，合理選材，就能讓預(yù)設(shè)的教學(xué)目標(biāo)與課堂的生成相匹配，使復(fù)習(xí)教學(xué)更有針對(duì)性，也更有價(jià)值.

4.2"精選問題，用好經(jīng)典，緊扣思維生長點(diǎn)

模型觀念是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)之一.

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》指出：“模型意識(shí)主要是指對(duì)數(shù)學(xué)模型普適性的初步感悟.知道數(shù)學(xué)模型可以用來解決一類問題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑.”［1］我們知道好題要放在合適的位置才能發(fā)揮它最大的價(jià)值，所以選擇經(jīng)典問題是上好復(fù)習(xí)課的第一步.幾何中的最值問題，最終要?dú)w結(jié)為 “兩點(diǎn)之間線段最短”“垂線段最短”.因此上述案例設(shè)計(jì)，緊抓知識(shí)要點(diǎn)，以學(xué)生熟悉的“將軍飲馬”作為切入點(diǎn)，重溫幾何最值中的最基本模型，從這一經(jīng)典模型出發(fā)，由淺入深，再現(xiàn)“化折為直”的轉(zhuǎn)化思想，最終運(yùn)用“兩點(diǎn)之間線段最短”這一定理，順利解決問題.

4.3"變式問題，拓展經(jīng)典，把學(xué)生的思維逐步引向深入

學(xué)生的學(xué)習(xí)需要一定的連貫性與靈活性，因此，教師通過例題變式，可節(jié)省學(xué)生審題的時(shí)間，在主線清晰的情況下，方便學(xué)生將知識(shí)點(diǎn)加以整合，舍棄枝葉，突出問題本質(zhì)，提煉數(shù)學(xué)模型.［2］變式中定點(diǎn)B此時(shí)變?yōu)閤軸上一動(dòng)點(diǎn)，化定為動(dòng)，使問題更深一步.根據(jù)“點(diǎn)動(dòng)成線”的思路，x軸即為所有動(dòng)點(diǎn)B的集合，所以此刻A′B的最小值成為A′到x軸的最小值，“點(diǎn)與直線之間，垂線段最短”的“加盟”使問題走向深入.變式由“兩折線求和最小”拓展為 “三折線求和最小”問題，因?yàn)橛辛酥暗念}型鋪墊、思維構(gòu)建，學(xué)生易想到通過軸對(duì)稱“化折為直”.巧用變式，梯度性的變式安排，由簡單到復(fù)雜、由淺入深、層層遞進(jìn)的數(shù)學(xué)問題串，滿足不同層次學(xué)生解決不同層次問題，讓學(xué)生拾級(jí)而上，逐步提升其思維品質(zhì).

4.4"開放問題，實(shí)現(xiàn)思維進(jìn)階

教師應(yīng)設(shè)計(jì)開放性的問題.開放性的問題一般需要學(xué)生經(jīng)歷觀察、分析、比較，才能很好地將題組提煉、發(fā)散.在例題設(shè)置中，教師應(yīng)帶領(lǐng)學(xué)生感受題目變化的過程，領(lǐng)悟“化定為動(dòng)”“化折為直”的奧妙.

通過對(duì)一系列問題的整合，讓學(xué)生感受到不斷變化與轉(zhuǎn)化，但萬變不離其宗的是“兩個(gè)最短”原理和對(duì)稱的思想方法.在例題中發(fā)展變式，便于進(jìn)行歸納、提煉共性.一方面，選擇在同一個(gè)背景下，以問題串的形式，激發(fā)學(xué)生興趣，引發(fā)學(xué)生思考；另一方面，在講解過程中，有意識(shí)地引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注“變化與不變”“運(yùn)動(dòng)與靜止”“有限與無限”等關(guān)系，站在發(fā)展的角度思考問題，有益于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和深刻性.

教學(xué)實(shí)踐表明在最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置問題，讓學(xué)生“數(shù)學(xué)地思考問題”，便于產(chǎn)生思維共振，同時(shí)讓學(xué)生習(xí)得解決問題的數(shù)學(xué)思想方法，積累數(shù)學(xué)知識(shí)和經(jīng)驗(yàn)；通過例題及適度的一題多變、一題多解，不僅能激發(fā)學(xué)生的興趣，還能培養(yǎng)學(xué)生思維的發(fā)散性和靈活性；通過對(duì)問題的層層深入，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注數(shù)學(xué)本質(zhì)，有益于培養(yǎng)學(xué)生思維的敏捷性和深刻性，這樣的課堂教學(xué)，將使學(xué)生終身受益.

參考文獻(xiàn)

［1］中華人民共和國教育部.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）［M］.北京：北京師范大學(xué)出版社，2022.

［2］李海良，羅新兵.在思考過程中學(xué)會(huì)思維［J］.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2022（23）：1.