位值制記數(shù)的演變之勢(shì)、呈現(xiàn)之形、教學(xué)之道

［摘 要］位值制記數(shù)作為數(shù)學(xué)計(jì)算的基礎(chǔ)，其從最初的簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)到現(xiàn)代完善的計(jì)數(shù)系統(tǒng)的演變過程，反映了數(shù)學(xué)符號(hào)和計(jì)數(shù)方法的逐步發(fā)展，對(duì)數(shù)學(xué)運(yùn)算具有重要意義。教師應(yīng)在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”教學(xué)中，立足講通位值制記數(shù)的原理；在“數(shù)的運(yùn)算”教學(xué)中，注重引導(dǎo)學(xué)生把握算法的本質(zhì)，幫助學(xué)生理解運(yùn)算規(guī)則和算理；在教學(xué)過程中，適當(dāng)拓展數(shù)學(xué)史素材，讓學(xué)生了解位值制記數(shù)的歷史背景和演變過程，增強(qiáng)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣和文化自信。

［關(guān)鍵詞］位值制記數(shù)；演變之勢(shì)；呈現(xiàn)之形；教學(xué)之道

［中圖分類號(hào)］ G623.5 ［文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼］ A ［文章編號(hào)］ 1007-9068（2025）05-0052-03

“數(shù)與運(yùn)算”是小學(xué)數(shù)學(xué)數(shù)與代數(shù)領(lǐng)域的重要主題，是學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識(shí)的重要奠基。位值制記數(shù)作為“數(shù)數(shù)”活動(dòng)最早的思想方法，能夠幫助學(xué)生在從數(shù)量到數(shù)的形成過程中，理解算理、掌握算法，體會(huì)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。

一、位值制記數(shù)的演變之勢(shì)

位值制記數(shù)的演變反映了人類對(duì)數(shù)學(xué)認(rèn)知的深化。中國(guó)的記數(shù)方法源遠(yuǎn)流長(zhǎng)，最早可追溯到舊石器時(shí)期。起初，人們通過手指、小石頭、竹片等實(shí)物進(jìn)行記數(shù)，隨后逐漸發(fā)展為結(jié)繩記數(shù)和刻痕記數(shù)。記數(shù)的本質(zhì)在于一一對(duì)應(yīng)和不斷累加，但隨著對(duì)數(shù)需求的增大，簡(jiǎn)單的“加1”方式變得低效，因此需要發(fā)展出更為簡(jiǎn)潔和實(shí)用的記數(shù)方法 。古人在尋找簡(jiǎn)便記數(shù)的過程中發(fā)揮智慧，形成了用算籌表示數(shù)的方法，這是位值制記數(shù)的早期形式。在最初使用算籌表示數(shù)時(shí)，0用空位替代；后發(fā)展出專門符號(hào)“0”，標(biāo)志著十進(jìn)制計(jì)數(shù)法的完善。從甲骨文的十進(jìn)累加法到算籌的十進(jìn)位值制，均采用了將大數(shù)視為新計(jì)數(shù)單位的方法，使不同單位對(duì)應(yīng)不同位置，從而允許大數(shù)由較小數(shù)和計(jì)數(shù)單位組合來表達(dá)，使計(jì)數(shù)的過程具有簡(jiǎn)化性和包容性，進(jìn)而促進(jìn)了數(shù)學(xué)運(yùn)算的發(fā)展。

通過分析位值制記數(shù)的演進(jìn)，可以發(fā)現(xiàn)人類記數(shù)活動(dòng)的發(fā)展主要體現(xiàn)在兩個(gè)方面：一是記數(shù)符號(hào)的演變，從實(shí)物符號(hào)到象形符號(hào)，再到抽象的數(shù)學(xué)符號(hào)；二是記數(shù)方法的進(jìn)步，從非進(jìn)位制到進(jìn)位制，從非位值制到位值制 。進(jìn)位制是數(shù)學(xué)的基本概念之一，其含義是“累計(jì)若干個(gè)基本單位即形成下一個(gè)單位”，它允許用有限的計(jì)數(shù)單位表示無限大的數(shù)。位值制則是由進(jìn)位制概念進(jìn)一步發(fā)展而來的概念，其含義是“數(shù)字的大小不僅取決于它本身，還取決于它所在的位置”，即數(shù)字所在的位置表示其計(jì)數(shù)單位對(duì)應(yīng)的倍數(shù)。這種記數(shù)規(guī)則極大地簡(jiǎn)化了記數(shù)過程，提高了數(shù)學(xué)運(yùn)算的效率，使得記數(shù)過程更加簡(jiǎn)潔和包容 。位值制解決了非位值制中的問題，且保留了進(jìn)位制的核心——計(jì)數(shù)單位。因此，記數(shù)活動(dòng)的本質(zhì)在于計(jì)數(shù)單位的再創(chuàng)造過程，將生活中的大數(shù)抽象為簡(jiǎn)潔的符號(hào)以適應(yīng)需求，由進(jìn)位制的生成到計(jì)數(shù)單位的疊加產(chǎn)生的位值制，正說明位值制記數(shù)具有迎合時(shí)代發(fā)展的普適性。

二、位值制記數(shù)的呈現(xiàn)之形

位值制記數(shù)在教材（人教2022年版）中的呈現(xiàn)較為清晰，屬于“數(shù)與代數(shù)”領(lǐng)域中有關(guān)數(shù)與運(yùn)算主題的內(nèi)容，主要包括整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)的算理認(rèn)識(shí)及三者在四則混合運(yùn)算中的算法掌握。通過整理與記數(shù)相關(guān)的教材內(nèi)容（見表1）時(shí)發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)史是教材內(nèi)容的拓展難點(diǎn)。教材在編排一些認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)符號(hào)與掌握運(yùn)算算法的內(nèi)容中，會(huì)插入有關(guān)的數(shù)學(xué)史信息。

教材關(guān)于介紹數(shù)字1～9、數(shù)概念與運(yùn)算一致性的內(nèi)容中，編排了相關(guān)記數(shù)符號(hào)及位值制的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，在介紹十進(jìn)制計(jì)數(shù)法后，編排了計(jì)數(shù)器、算盤相關(guān)數(shù)學(xué)史內(nèi)容。這些數(shù)學(xué)史內(nèi)容都是圍繞數(shù)學(xué)符號(hào)和運(yùn)算展開的。

三、位值制記數(shù)的教學(xué)之道

通過解讀《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2022年版）》（以下簡(jiǎn)稱《課程標(biāo)準(zhǔn)》）中關(guān)于第一、第二、第三學(xué)段“數(shù)與運(yùn)算”的教學(xué)要求以及對(duì)教材相關(guān)內(nèi)容呈現(xiàn)的分析，發(fā)現(xiàn)這些都與記數(shù)活動(dòng)密不可分。根據(jù)教學(xué)要求，第一學(xué)段時(shí)，學(xué)生主要學(xué)習(xí)數(shù)的認(rèn)識(shí)和理解記數(shù)符號(hào)，并且要通過從非進(jìn)位制過渡到進(jìn)位制的階段，理解進(jìn)位制對(duì)數(shù)數(shù)活動(dòng)的重要性及簡(jiǎn)化性；第二、三學(xué)段的學(xué)生在認(rèn)識(shí)億以內(nèi)的大數(shù)之后，系統(tǒng)了解十進(jìn)制及位值制，從而把握位值制記數(shù)的本質(zhì)，并在數(shù)的運(yùn)算中建立整數(shù)、分?jǐn)?shù)及小數(shù)之間一致性的認(rèn)知，感悟計(jì)數(shù)單位在其中的作用。這三個(gè)學(xué)段的教學(xué)離不開記數(shù)活動(dòng)，教師需要梳理記數(shù)的歷史演進(jìn)，并將其與教材中的數(shù)學(xué)史內(nèi)容相結(jié)合，幫助學(xué)生更好地把握數(shù)學(xué)知識(shí)的脈絡(luò)。

（一）在“數(shù)的認(rèn)識(shí)”中立足講通原理

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中指出，教師在教學(xué)中要幫助學(xué)生強(qiáng)化對(duì)數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，關(guān)注數(shù)學(xué)概念的現(xiàn)實(shí)背景，引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)概念、原理及法則之間的聯(lián)系出發(fā)，建立起有意義的知識(shí)結(jié)構(gòu)。在數(shù)的認(rèn)識(shí)中，計(jì)數(shù)單位既是算理也是算法，學(xué)生通過基本的數(shù)數(shù)活動(dòng)認(rèn)識(shí)數(shù)字1～9，從一個(gè)一個(gè)地?cái)?shù)到認(rèn)識(shí)計(jì)數(shù)單位，經(jīng)歷從生活情境中抽象出數(shù)字符號(hào)的過程。在學(xué)生認(rèn)識(shí)“10”這個(gè)數(shù)的過程中，由于之前的學(xué)習(xí)中并沒有出現(xiàn)0，如何幫助學(xué)生認(rèn)識(shí)“0的作用”是關(guān)鍵。此時(shí)，可以引入數(shù)學(xué)史的內(nèi)容，古代數(shù)學(xué)家數(shù)完1～9的數(shù)字后又從1開始數(shù)，但為了避免與數(shù)字1混淆，便用0來占位，此時(shí)數(shù)字1進(jìn)位至十位上，說明已經(jīng)數(shù)完一輪1～9個(gè)數(shù)字，用“10”這個(gè)符號(hào)來表示“十”，含義是1個(gè)“十”，形成新的記數(shù)方式，即用十來做計(jì)數(shù)單位。這樣可以讓學(xué)生感悟位值制記數(shù)的簡(jiǎn)便性。因此，立足數(shù)學(xué)史來講解數(shù)字原理，讓學(xué)生深度學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)本質(zhì)，體會(huì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的樂趣是必然之道也是應(yīng)然之道。

（二）在“數(shù)的運(yùn)算”中把握算法本質(zhì)

《課程標(biāo)準(zhǔn)》在教學(xué)建議中指出，在教學(xué)中要重視對(duì)教學(xué)內(nèi)容的整體分析，幫助學(xué)生建立能體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科本質(zhì)、對(duì)未來學(xué)習(xí)有支撐意義的結(jié)構(gòu)化的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，還要讓學(xué)生了解數(shù)學(xué)知識(shí)的產(chǎn)生與來源、結(jié)構(gòu)與關(guān)聯(lián)、價(jià)值與意義。學(xué)生對(duì)算理的掌握更多的是通過在前經(jīng)驗(yàn)的認(rèn)知基礎(chǔ)上運(yùn)用運(yùn)算律或者等式的基本性質(zhì)對(duì)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行重組與分配；對(duì)算法的理解則是在算理的基礎(chǔ)上對(duì)計(jì)數(shù)單位進(jìn)行加、減、乘、除得到運(yùn)算結(jié)果。從數(shù)的組成角度來看，整數(shù)、分?jǐn)?shù)和小數(shù)都是基于“計(jì)數(shù)單位”這一基本概念構(gòu)建的。在學(xué)生認(rèn)識(shí)“10”這個(gè)數(shù)后，教材主要圍繞計(jì)數(shù)單位“十”的加減法簡(jiǎn)便運(yùn)算編排教學(xué)內(nèi)容，這本質(zhì)上是對(duì)整數(shù)計(jì)數(shù)單位個(gè)、十、百、千等的再運(yùn)算過程，也是數(shù)的運(yùn)算算法的體現(xiàn)。當(dāng)遷移到小數(shù)的運(yùn)算時(shí)，計(jì)數(shù)單位就換成十分之一、百分之一、千分之一等；遷移到分?jǐn)?shù)的運(yùn)算時(shí)，計(jì)數(shù)單位則是幾分之一。雖然分?jǐn)?shù)與整數(shù)、小數(shù)的計(jì)數(shù)單位不同，但尋找最小公倍數(shù)進(jìn)行通分化為相同計(jì)數(shù)單位的過程就是為了尋求進(jìn)制倍數(shù)，這本質(zhì)也是計(jì)數(shù)單位的再運(yùn)算，體現(xiàn)了算法的一致性。在這個(gè)過程中，教師需要對(duì)教材進(jìn)行整體解讀，通過引導(dǎo)學(xué)生對(duì)算理進(jìn)行把握，幫助學(xué)生利用數(shù)概念的一致性和運(yùn)用多樣化的算法解決問題。

（三）在數(shù)學(xué)史中挖掘素材

數(shù)學(xué)承載著思想和文化，通過探究記數(shù)的算理和算法發(fā)現(xiàn)，若要在教學(xué)中滲透數(shù)學(xué)的本質(zhì)內(nèi)涵，離不開對(duì)數(shù)學(xué)史內(nèi)容的挖掘與探索。教師在教學(xué)過程中，應(yīng)從數(shù)學(xué)史的角度出發(fā)，對(duì)位值制、十進(jìn)制、計(jì)數(shù)單位等關(guān)鍵概念進(jìn)行闡釋，以助學(xué)生深入理解這些概念的本質(zhì)。拓展數(shù)學(xué)史素材的關(guān)鍵在于結(jié)構(gòu)化整合，在數(shù)學(xué)符號(hào)的意義、進(jìn)位制、位值制及計(jì)數(shù)單位運(yùn)算的教學(xué)中，注重情境設(shè)計(jì)，可以穿插一些與數(shù)學(xué)史相關(guān)的故事和案例，關(guān)注數(shù)學(xué)學(xué)科發(fā)展前沿與數(shù)學(xué)文化，這樣有利于學(xué)生理解、掌握“四基”，發(fā)展“四能”，體會(huì)數(shù)學(xué)家的精神。教學(xué)素材的積累不是一朝一夕可以完成的，而是一個(gè)長(zhǎng)期滲透的過程。教師應(yīng)注重在課前、課中、課后引導(dǎo)學(xué)生自主學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)史，鼓勵(lì)他們通過查閱資料來深入了解數(shù)學(xué)史的發(fā)展過程，從而培養(yǎng)學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和探究精神。最重要的是，教師需要注重教材中所呈現(xiàn)的數(shù)學(xué)史內(nèi)容，將數(shù)學(xué)史內(nèi)容與記數(shù)活動(dòng)相結(jié)合，融入教學(xué)之中，以此拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

綜上所述，位值制記數(shù)作為小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的核心內(nèi)容，以及數(shù)學(xué)符號(hào)認(rèn)知、數(shù)運(yùn)算與進(jìn)位制等基礎(chǔ)知識(shí)體系的重要組成部分，對(duì)學(xué)生理解“數(shù)數(shù)”活動(dòng)簡(jiǎn)化形式有深刻的影響。這一方法作為“數(shù)與運(yùn)算”主題下的核心思想方法，既有助于學(xué)生理解從數(shù)量到數(shù)的形成過程，更能讓學(xué)生深化對(duì)算理的理解、掌握算法，并體會(huì)運(yùn)算本質(zhì)上的一致性。通過立足講通算理、把握算法本質(zhì)和拓展數(shù)學(xué)史素材等教學(xué)策略，教師可以幫助學(xué)生深入理解位值制記數(shù)的本質(zhì)內(nèi)涵，掌握正確的數(shù)學(xué)知識(shí)和運(yùn)算方法，并提升他們的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和綜合能力。

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（責(zé)編" " 李琪琦）