既見樹木 又見森林：一道壓軸題的衍生與探究

摘要：以一道常見的壓軸題作為母題，讓其衍生，看它的千般變化，在變化之中看不變的本質，培養學生分析問題與解決問題的能力，發展學生的思維，提升學生的核心素養.

關鍵詞：壓軸題；母題；初中數學

數學家波利亞說，知識就象蘑菇一樣，是成串生長的.一道數學壓軸題的編制何嘗不是這樣的，將一些數學壓軸題進行解構，發現它們都是由一些基本模型組合而成的.將一道試題改變條件，強化或弱化條件，可以得到一道新題，或將試題進行組合、轉化也可以得到一類新題.筆者以一道常見的壓軸題作為母題，讓其衍生，看它的千般變化，在變化之中看到不變的本質.

1 試題呈現

如圖1，拋物線y=－14x2－34x+52與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線y=kx－32過點A，與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，設P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A，D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，求PM的最大值[1].

分析：令y=－14x2－34x+52中y=0，得－14x2－34x+52=0，解得x1=-5，x2=2，可知拋物線與x軸兩交點的坐標分別為（-5，0），（2，0），所以點A的坐標為（2，0）.把點A（2，0）代入y=kx－32，得k=34，所以直線AD的解析式為y=34x－32.此題可以采用“設坐標法”，由點P是直線AD上方的拋物線上一動點，設點P的坐標為t，－14t2－34t+52.根據PM∥y軸，可知點M的橫坐標也為t，又點M在直線y=34x－32上，所以點M的坐標為t，34t－32.因為點P始終在點M的上方，則PM=－14t2－34t+52-34t－32=－14t2－32t+4=－14（t+3）2+254，所以當t=-3時，PM取得最大值254.

點評：如何表示函數圖象一個動點的坐標？方法就是設動點的橫坐標為t，再把x=t代入函數解析式，就可以得動點的縱坐標，如拋物線y=ax2+bx+c上動點的坐標就是（t，at2+bt+c），直線y=kx+b上動點的坐標就是（m，km+b）.此題如果仔細觀察可以發現一個奇妙的結論，點M的橫坐標“-3”，剛好是點A，D橫坐標2，-8的平均數，即當M是線段AD的中點時，PD達到最大值，也就是說我們只要求得拋物線與直線AD的交點坐標，則兩交點連線段中點的橫坐標作為點P的橫坐標，此時PM達到最大值.

2 試題衍生

衍生1：三角形面積最值問題.

如圖2，拋物線y=－14x2－34x+52與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線y=kx－32過點A，與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，設P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A，D重合），求△PAD的面積的最大值.

分析：如圖3，過點P作PM∥y軸交AD于點M，過點D作DG⊥x軸于點G.由母題，可知直線AD的解析式為y=34x－32，聯立y=－14x2－34x+52，y=34x－32，可解得x=2，y=0，x=－8，y=－152，則A（2，0），D-8，－152，所以DG=152，AG=10.故S△PAD=S△PDM+S△PAM=12PM·GN+12PM·AN=12PM（GN+AN）=12PM·AG=5PM.因為S△PAD=5PM，所以當PM取最大值時，S△PAD有最大值.由母題可知，若設點P的坐標為t，－14t2－34t+52，則點M的坐標為t，34t－32，于是PM=－14t2－34t+52-34t－32=－14＼5（t+3）2+254，所以當t=-3時，PM取得最大值為254.所以S△PAD的最大值為1254.

點評：求拋物線內三角形的面積，通常這樣的三角形是斜放的，即它的各邊都不與坐標軸平行，此時要使用“寬高公式”計算三角形的面積，即過動點縱向切分三角形，也可橫向切分三角形，將這個三角形分割為兩個三角形的和或差，而分得的兩個三角形其中有一邊與坐標軸是平行的，據此可以推得原三角形面積計算的寬高公式.

衍生2：平行四邊形存性問題.

如圖4，拋物線y=－14x2－34x+52與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線y=kx－32過點A，與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，作DE⊥y軸于點E.設P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A，D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M.是否存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形？若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由.

分析：如圖5所示，由上述兩題的解答可知，若設點P的坐標為t，－14t2－34t+52，則點M的坐標為t，34t－32，PM=－14t2－34t+52-34t－32=－14t2－32t+4，點D的坐標為-8，-152.由y＝34x-32，可得到點C的坐標是0，-32，所以CE＝-32--152＝6.由于PM∥y軸，要使四邊形PMEC是平行四邊形，必有PM＝CE，即-14t2-32t+4＝6，解方程得t1＝-2，t2＝-4，符合-8＜t＜2.當t＝-2時，y＝-14×（-2）2-34×（-2）+52＝3；當t＝-4時，y＝-14×（-4）2-34×（-4）+52＝32.因此，直線AD上方的拋物線上存在這樣的點P，使四邊形PMEC是平行四邊形，且點P的坐標分別是（-2，3）和-4，32.

點評：使四邊形PMEC是平行四邊形，仍然需要用含點P橫坐標的代數式表示PM的長，然后根據平行四邊形性質，建立一元二次方程求解.看來用含點P橫坐標的代數式表示PM的長是一個始終繞不過去的坎，這是學生必須掌握的基本模型.此題還可以弱化條件，將“點P是直線AD上方拋物線上的一點”改為“點P是拋物線上一點”，此時需要建立絕對值方程，結果還會需加兩種情況.

衍生3：三角形周長最值問題.

如圖6，拋物線y=－14x2－34x+52與x軸交于點A，與y軸交于點B，直線y=kx－32過點A，與y軸交于點C，與拋物線的另一個交點為D，設點P是直線AD上方的拋物線上一動點（不與點A，D重合），過點P作y軸的平行線，交直線AD于點M，作PN⊥AD于點N.設△PMN的周長為l，求l的最大值.

分析：由上述幾道題的解答，知OA=2，OC=32.在Rt△AOC中，由勾股定理，得AC=52，所以C△AOC=6.因為PM∥BC，所以∠PMN=∠OCA.又∠PNM=∠AOC=90°，則有△PNM∽△AOC，所以C△PNMC△AOC=PMAC，從而C△PNM=25PM×

6=125PM.由母題，若設點P的坐標為t，－14t2－34t+52，則點M的坐標為t，34t－32，PM=－14t2－34t+52-34t－32=－14t2－32t+4，所以C△PNM=125－14t2－32t+4，即l＝-35t2-185t+485.由l＝-35t2-185t+485＝-35（t+3）2+15，又-35＜0，可知l有最大值，所以當t＝-3時，l的最大值為15.

點評：本題通過相似將△PNM的三邊之和確定下來，要求△PNM周長的最大值，只需求一邊長的最大值即可，于是把△PNM的周長轉化為用PM表示的形式，最后通過二次函數的模型求得周長的最大值.本題又一次把問題轉化到求線段PM的長度上，這就是母題的核心作用.掌握了母題的解題思路，其他的問題只需要轉化即可.

近幾年，中考試題以能力立意，以培養學生的素養為導向，著重理性思維的考查，體現創新性，通常以考查學生的核心素養為基礎，以考查數學思想方法為導向，以情境為載體，注重綜合性與層次性[2].而試題的衍生與拓展體現了轉化、數學建模等數學思想，培養了學生分析問題與解決問題的能力，契合中考命題的一個導向，有利于發展學生的思維，落實學生的核心素養！

參考文獻：

[1]邱小航.圖形平移規律在平行四邊形存在性問題中的應用[J].中學數學雜志，2014（6）：55-57.

[2]吳歡.數學核心素養視域下的中考情境題評價研究[D].蘇州：蘇州大學，2022.