應對一元二次方程試題的四種方法

摘要：一元二次方程是初中數學教學和中考考查的重點內容之一.文章結合例題分析了配方法、公式法、因式分解法、換元法四種方法的適用情形，對相關試題進行評析，并得出了解題思路.

關鍵詞：初中數學；一元二次方程；試題解法

1 配方法

例1 （2024·山東東營·中考真題）用配方法解一元二次方程x2－2x－2 023=0時，將它轉化為（x+a）2=b的形式，則ab的值為（" ）.

A.－2 024

B.2 024

C.－1

D.1

分析：本題主要考查用配方法解一元二次方程.熟練掌握配方法的步驟，是解決本題的關鍵.用配方法把x2－2x－2 023=0移項、配方，化為（x－1）2=2 024，即可.

解：因為x2－2x－2 023=0，移項得x2－2x=2 023，配方得x2－2x+1=2 023+1，即（x－1）2=2 024，所以a=－1，b=2 024，所以ab=（－1）2 024=1.

故選：D.

評析：該題考查解一元二次方程的配方法，要求將方程x2－2x－2 023=0轉化為（x+a）2=b的形式.配方法的優勢在于通過構造完全平方形式，將復雜的二次方程簡化為相對簡單的平方形式，便于求解.這種方法對學生的邏輯思維能力和代數技巧要求較高.具體到本題，首先將常數項移到方程右側，再通過配方補全平方，得出（x－1）2=2 024，因此a=－1，b=2 024.最終，求出ab=（－1）2 024=1.本題旨在考查學生對配方法的掌握，以及對運算細節的關注，體現了代數中的推理與計算能力.

適用情形：配方法用于解一元二次方程時，方程的二次項系數為1，或可以通過簡單變換化為1，此時使用配方法尤為高效.尤其在某些情況下，方程的根不是整數或無法直接因式分解，配方法可以將方程轉化為完全平方形式，使解題過程簡潔明了.配方法適用于系數較簡單的方程，或當因式分解無法直接實施時，是一種靈活且實用的工具.此外，配方法廣泛用于推導二次方程求根公式，能幫助學生理解方程結構和變形過程，進一步提升解題技巧和代數思維.

解題思路：使用配方法解一元二次方程時，首先確保二次項系數為1.如果不是，需先將方程各項除以二次項系數，使二次項系數為1.接下來將常數項移到方程右側，并對二次項與一次項進行配方，即找到補全平方的數，使左側表達式變為一個完全平方式.具體步驟是，將一次項的系數除以2并平方，然后將所得值加到方程的兩邊，確保方程保持平衡.這樣，方程左側成為一個平方形式，右側為調整后的常數.最后，通過開平方法求解未知數.配方法將復雜的二次方程簡化為容易處理的平方形式，幫助學生快速求解.

2 公式法

例2 （2024·河北石家莊·一模）若x=2±4－4×3×（－1）2×3是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，則a+b+c=（" ）.

A.－2

B.4

C.2

D.0

分析：本題主要考查解一元二次方程——公式法，利用求根公式判斷即可.

解：因為x=2±4－4×3×（－1）2×3是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，所以a=3，b=－2，c=－1，所以a+c+c=3－2－1=0.

故選：D.

評析：公式法的優勢在于普適性，無論二次方程的系數是整式還是分式，均可通過該方法精確求解.本題中由根式可以推導出方程各項的系數分別為3，-2和-1，即可得到結果.這類試題不僅要求學生掌握公式法的基礎運用，還要靈活運用逆向思維進行推理和判斷.

適用情形：公式法是解一元二次方程的常用方法，適用于各種情況下的二次方程求解，尤其是在無法通過因式分解或配方法解題時，公式法提供了通用的解題思路.無論方程有無實根、重根還是虛根，公式法都能通過判別式分析并得出精確結果.該方法適用于任何系數形式，包括小數、分數等復雜情況.因此，當方程的結構較為復雜，無法通過常規方法迅速求解時，公式法成為最可靠和簡便的途徑.此外，公式法不僅適用于求解方程，也適合用來分析根的性質，幫助學生全面理解方程.

解題思路：在運用公式法解一元二次方程時，首先要識別出方程的三個重要系數，接著計算出判別式Δ=b2－4ac，再通過求根公式求出x=－b±Δ2a.判別式能夠幫助判斷方程是否有解及解的性質.解題過程中，通過合理運用根式中的信息，可以直接得到方程的解，并從根式中推導出方程的系數.最后，依據問題的要求進行后續推理，例如，本題中通過系數相加得到結果，幫助學生形成系統的解題思路.

3 因式分解法

例3 （2024河南洛陽一模）方程2x（x－3）+5（3－x）=3－x的根是（" ）.

A.x=2

B.x=3

C.x1=2，x2=3

D.x1=－2，x2=3

分析：本題考查解一元二次方程，熟練掌握利用因式分解法解一元二次方程是解題的關鍵.本題根據因式分解法解方程即可.

解：由2x（x－3）－5（x－3）+（x－3）=0，整理得（x－3）（2x－4）=0，則x1=2，x2=3.

故選：C.

評析：本題要求解方程2x（x－3）+5（3－x）=3－x，可以通過因式分解法來解決.首先整理方程的結構，化簡各項，通常先轉化為標準的一元二次方程形式，再通過因式分解法求解.因式分解法的優勢在于可以將二次項分解為兩個簡單的因式，從而快速找到方程的解.特別是在因式分解較為簡單的情況下，該方法效率高、思路清晰.本題通過因式分解法得出x1=2，x2=3，因此正確答案為選項C.利用因式分解法可以幫助學生訓練方程的結構識別和解的直觀尋找能力.

適用情形：因式分解法適用于那些可以化簡為標準二次方程并具備簡單因式結構的方程.當方程中的二次項和一次項之間存在明顯的共同因子，或者二次項的系數較為簡單時，因式分解法特別有效.此外，在可以直接觀察到因式分解規律的方程中，利用該方法不僅可以快速解出根，還能幫助學生更好地理解方程的內部結構.例如，完全平方形式的方程和簡單可拆解的多項式形式，都非常適合利用因式分解法.這種方法的另一優點在于其過程較為直觀，學生能夠通過逐步分解的形式找到方程的解.

解題思路：解題的第一步是將方程展開并化簡所有項，使方程轉化為標準形式.例如，本題中的方程首先通過化簡括號和同類項整理成2x2-（6+5-1）x+（15－3）=0，接下來整理成標準的二次方程形式.然后，通過因式分解法，將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積.找到這些因式后，分別令每個因式為0，從而得到方程的兩個解.因式分解法的關鍵在于熟練識別常見的分解模式，如提取公因式、平方差和完全平方公式等，利用這些技巧能有效簡化復雜方程，有利于快速求解.

4 換元法

例4 （2024江蘇聯考試題）關于x的方程（x2+x）2+2x2+2x－3=0，則x2+x的值是（" ）.

A.－3

B.1

C.－3或1

D.3或－1

分析：本題考查解一元二次方程，熟練掌握用換元法解方程是解題的關鍵.設x2+x=t，則此方程可化為t2+2t－3=0，然后用因式分解法求解即可.

解：設x2+x=t，則此方程可化為t2+2t－3=0，所以（t－1）（t+3）=0，所以t－1=0或t+3=0，解得t1=1，t2=－3，所以x2+x的值是1或－3.當x2+x=－3時，x2+x+3=0，因為Δ=1－12=－11lt;0，所以此方程無解，所以x2+x的值是1.

故選：B.

評析：本題用換元法處理方程（x2+x）2+2x2+2x－3=0，是一個非常典型的應用實例.換元法的主要優勢在于簡化復雜方程的求解過程.通過引入一個新的變量，將方程的復雜度降低，使其轉化為更易處理的形式.在這個過程中，換元法不僅能幫助考生分解問題，厘清方程的結構，還可以有效降低計算難度，提升解題效率.在實際考試中，換元法能夠幫助考生更快速地找到解決方案，特別是在處理形式復雜的方程時，顯著提高了問題的可操作性和解題的準確性.

適用情形：在教學中，換元法適用于處理那些結構復雜的方程，特別是當方程中出現了多次冪的變量或具有復雜的代數表達時.它能夠將方程轉化為更簡單、更標準的形式，從而使解題過程更加清晰和直接.換元法也適用于方程中變量之間存在復雜關系的情況，通過合理選擇替代變量，能夠顯著簡化分析和計算.在教學中，應用換元法能夠幫助學生掌握如何將復雜問題簡化，并增強他們的思維能力和解題技巧.

解題思路：解決這類問題的基本思路是先將復雜的方程轉化為一個形式更簡單的方程.首先，選擇一個合適的變量來替代原方程中復雜的部分，這樣可以將原本復雜的表達式簡化為一個單一的變量.其次，將替代變量代入原方程中，得到一個新的方程，這個方程通常比原方程簡單易解.最后，通過求解這個簡化后的方程，得到替代變量的值，再代回原方程中，求出原變量的解.換元法的核心在于通過換元來降低問題的復雜性，使得解決過程更加直接和高效.