初中數學最值問題解決方法探究與分析

摘要：本文中主要探討初中數學中常用的轉化思想，將線段的最值問題轉化成我們熟悉的軌跡探究問題，從而提高學生解決問題的能力，拓展學生數學思維方式.

關鍵詞：初中數學；雙動點線段；單動點線段；主從聯動性；轉化思想

初中數學中，平面幾何中的動點問題一直是學生所面臨的最大難點，其主要涉及動點軌跡的確定，單動點線段、雙動點線段等求最值問題.對于單動點線段最值問題，可以用定弦定角確定隱圓、費馬點模型、旋轉加全等或旋轉加相似等解題模型將動點問題轉為點到點、點到直線的最短距離.而雙動點線段最值問題無法用上述模型求解.雙動點線段模型最主要的特點就是所求線段的兩端點都是動點，本文中主要研究如何將雙動點問題通過所學的特殊四邊形、三角形全等、圖形平移等初中數學知識轉化我們所熟悉的單動點模型去解決.常用的解決方法有以下兩種：（1）利用三角形轉化為單動點線段；（2）利用特殊四邊形轉化為單動點線段.

1 最值問題的分類

中考中對于最值的考查，一般是線段的最值（最大值或最小值）.學生在學習中遇到這類問題常常覺得難度較大，思維方式往往比較局限.為了更好地讓學生有明確的思考方式，迅速找到突破口，本文中對這類最值問題做了如下（圖1）歸納，讓學生有一個比較系統的認識和學習體系.

由圖1可知，對于常見的線段最值，其本質是點線之間距離、兩點間距離.

2 分類例析

2.1 當線段屬于單動點情況

2.1.1 動點軌跡是直線時用主從聯動性確定直線

例1 如圖2，在平面直角坐標系中，A（-3，0），B是y軸正半軸上一動點，以AB為邊在AB的下方作等邊三角形ABP，點B在y軸上運動時，求線段OP的最小值.

分析：求線段OP的最小值，需先找出點P的軌跡（O為定點，故OP為單動點問題），根據△ABP是等邊三角形且點B在直線上運動，由主從聯動性可知，主動點B與從動點P和定點A連線的夾角固定為60°，且距離比為定比1（也就是滿足我們常說的瓜豆模型的兩個條件），故可知點P的軌跡和點B軌跡一樣也是直線.

取兩特殊時刻：（1）當點B與點O重合時，作出點P位置P1；（2）當點B在x軸上方且AB與x軸夾角為60°時，作出點P位置P2.連接P1P2，即為點P的軌跡，如圖3.根據∠BAP=60°可知，P1P2與y軸夾角為60°.作OP⊥P1P2，如圖4，此時OP長度最小，又OP2=OA=3，所以OP的最小值為32.

2.1.2 動點軌跡是圓時用定弦定角確定圓

例2 如圖5，AB是圓O的直徑，M，N是弧AB（異于點A，B）上兩點，C是弧MN上一動點，∠ACB的平分線交圓O于點D，∠BAC的平分線交CD于點E，當點C從點M運動到點N時，則C，E兩點的運動路徑長的比是.

分析：分別考慮C，E兩點的軌跡，點C的軌跡是弧MCN，其對應的圓心角為∠MON，如圖6，半徑為OM（或ON）.再考慮點E的軌跡，考慮到CE，AE都是角平分線，所以連接BE，BE平分∠ABC，如圖7，可得∠AEB=135°.考慮到∠AEB是定角，其對邊AB是定線段，根據定邊對定角，所以點E的軌跡是圓，結合∠ADB=90°，可知點D即為圓心，DA為半徑，如圖8.點E的軌跡所對的圓心角為∠MDN，是∠MON的一半，如圖9，所以C，E兩點的軌跡圓半徑之比為1∶2，圓心角之比為2∶1，故弧長的比值為2.

2.1.3 動點軌跡是其他情況時用主從聯動性確定軌跡

例3 如圖10，在反比例函數y=－2x的圖象上有一個動點A，連接AO并延長交圖象的另一支于點B，在第一象限內有一點C，滿足AC=BC，當點A運動時，點C始終在函數y=kx的圖象上運動，若tan∠CAB=2，則k的值為（" ）.

A.2

B.4

C.6

D.8

分析：∠AOC=90°且AO∶OC=1∶2（滿足主從聯動性的兩個條件），顯然點C的軌跡也是一條雙曲線.分別作AM，CN垂直于x軸，垂足分別為M，N，如圖11所示.連接OC，OM，易證△AMO∽△ONC，則CN=2OM，ON=2AM，所以ON·CN=4AM·OM，從而k=4×2=8.

2.2 當線段兩個端點都是動點的情況

2.2.1 兩個動點軌跡都是直線時轉化為單動點軌跡

例4 如圖12，已知平行四邊形ABCD中，∠B=60°，AB=12，BC=5，P為AB上任意一點（可以與點A，B重合），延長PD至點F，使得DF=PD，以PF，PC為邊作平行四邊形PCEF，則PE長度的最小值為.

分析：線段PE的兩個端點P和E均為動點，但很明顯點P的軌跡是直線AB，所以可考慮確定點E的軌跡，從而為求解PE的最值提供便利.如圖13，記PE與CD交點為G.因為四邊形PFEC為平行四邊形，易證△PGD∽△EGC，則PGGE=PDCE=PDPF=12，所以PGPE=PGPG+GE=13，即PE=3PG.要求PE的最小值，只要求PG的最小值即可.由圖13可知，當PG⊥CD時PG取最小值，此時PG依然為雙動點情況，但我們可以通過平移將線段PG轉移到CH，利用單動點線段去解決.如圖13，過點C作CH⊥AB于點H，在Rt△CBH中，由∠B=60°，BC=5，可得sin B=CHBC=32，則CH=532，所以PGmin=CH=532.故PEmin=3PGmin=1532.

2.2.2 兩動點軌跡分別是直線和圓時用點到直線距離最短求解

例5 如圖14，正方形ABCD的邊長為6，點E，F分別在線段BC，CD上，且CF=3，CE=2，若點M，N分別在線段AB，AD上運動，P為線段MF上的點，在運動過程中，始終保持∠PEB=∠PFC，則線段PN的最小值為.

分析：線段PN的兩端點均為動點，并且清楚點N的軌跡是直線AD，所以需要先確定點P的軌跡，為后續求線段PN的最值提供思路.先證C，E，P，F四點共圓，取EF的中點O，以EF為直徑作⊙O，連接OP，ON，根據三角形三邊關系可知PN≥ON－OP，因為OP為定值，根據垂線段最短，得出當O，P，N三點共線，且ON⊥AD時，ON最小，則PN最小.如圖15，過點O作OH⊥BC于點H，延長HO交圓O于點P′，交AD于點N′，

根據垂徑定理和勾股定理求出OH長，最后根據線段間的和差關系求出P′N′長為9－132，即可得出結論.

2.2.3 通過坐標系將雙動點問題轉化為二次函數問題

例6 如圖16，E為正方形ABCD的邊AB上一動點，過點E作EF∥BC交AC于點F，G為DE的中點，連接FG，AB＝4，則FG的最小值是.

分析：由題可知，線段FG的兩個端點均為動點，我們通過建立常見的平面直角坐標系將FG的長度用含有未知數的二次函數來表示.以A為坐標原點，直線AB為x軸建立平面直角坐標系，如圖17，由正方形ABCD的邊長為4，得D（0，-4），C（4，－4），則直線AC的解析式為y=－x.設E（x，0），則G12x，－2，F（x，－x），可得FG2=x－12x2+（－x+2）2=54x2－4x+4=54x－852+45，根據二次函數性質可得答案.

3 結語

綜上所述，本文提供了常見的解決線段最值問題的方法，讓學生有一定的思路可追尋，同時讓學生能夠看透最值問題背后的本質和基本知識點.由此可知，當遇到最值問題求解的時候，我們可以引導學生觀察所求問題屬于哪種情況，然后用相應的方法去突破.因此，只有學生做到善于分析題目中的條件，深入研究數學中的轉化思想，才能快速地找到問題的本質，進而提高數學的解題能力.