小學生數學推理意識發展路徑的實踐研究及思考

摘 要 推理意識是小學數學教學實踐中需要落實的核心素養之一，主要是指對邏輯推理過程及其意義的初步感悟，是未來推理能力發展的經驗基礎。具體教學中可通過基于內容載體，整體架構推理意識發展時機；基于數學活動，深化感悟推理意識發展過程；基于系統訓練，整體提升推理意識發展水平等實踐路徑，發展兒童的數學推理意識，更好地促進核心素養目標的達成與數學思維的發展。

關 鍵 詞 小學數學；推理意識；內容載體；數學活動；系統訓練

引用格式 于勇，顧健.小學生數學推理意識發展路徑的實踐研究及思考[J].教學與管理，2025（05）：49-52+65.

推理作為一種數學基本思想，不僅是數學核心素養的重要構成部分及數學思維的基本表現形式，更是推動兒童數學認知發展的動力源泉，主要表現為小學階段的推理意識、初中階段的推理能力及高中階段的邏輯推理。發展、形成數學推理意識有助于兒童養成良好的數學思維習慣、思考方式及理性精神，為發展推理能力奠定經驗基礎。然而，當下小學數學推理意識發展的教學實踐，還存在重操練輕問題與猜想、重結論輕經歷與論證、重指導輕交流與表達等諸多誤區。為此，筆者重點圍繞推理載體的內容架構、推理過程的感悟與經歷、推理訓練的重點與方法等內容，開展實踐研究與系統思考，以期促進兒童推理意識的形成與發展。

一、基于內容載體，整體架構推理意識發展時機

就數學思想而言，數學推理是建立數學命題以及驗證數學命題，并以此促進數學內部發展的思維過程，是知識探究與問題解決的邏輯性建構工具及真實性學習的基本手段。小學數學推理是隱性的、潛在的，往往蘊含在知識建構與解構的過程中，在數學不同領域有著不同的存在形式及目標要求。鑒于此，教師應基于發展兒童數學推理意識的視角，聚焦、審視不同學段教材的核心內容，整體把握知識的邏輯關系與內容本質，進而明晰數學推理活動的落腳點及發展推理意識的著力點。

1.以領域主題為統領，構筑數學推理內容框架

義務教育階段數學課程四大領域作為按照數學知識特點劃分的知識模塊，各自以不同的核心內容和基本思想為主線循序漸進地編排教學內容。每個學段的主題有所不同[1]，分別承載著發展代數推理、空間推理、數據推理和實踐推理意識的基本任務。教師要結合各領域主題統領下的具體內容及思維特點，整體構筑推理生發的內容載體與存在形式，進而解決“在何處”發展兒童推理意識的實踐問題。如基于數據收集、整理與分析，在“統計與概率”領域架構的數據推理內容與存在形式框架（見表1），其教學重點是通過統計數據，基于數據分析及數據蘊含的規律解決數學問題，作出大膽推斷與預測，進行推理是該領域教學實踐的統計學要義之一。

在小學數學四大領域中，發展兒童推理意識的基本素材與有效依托較為普遍。教師可以按照上述邏輯思路，構筑小學各領域、各學段數學推理意識發展的具體內容及存在形式，形成相應的整體框架與實施圖譜，為教師整體把握發展兒童推理意識的教學時機，有的放矢地實施教學實踐提供幫助。

2.以內容關聯為視角，明晰數學推理活動指向

以領域主題為統領，整體構筑數學推理內容框架一般會局限于某個領域某一主題內部，缺乏對同一領域不同主題或不同領域不同主題之間的關聯性思考。因此，教師需要從宏觀角度降維至具體知識及其關聯的視角，對發展數學推理意識的教學實踐予以綜合考量，將推理的形式結構與具體內容融合起來加以分析，由此明晰數學推理的基本類型及教學實踐指向。如“圖形與幾何”領域的空間推理既表現為內容、結果的推理，也表現為方法的推理[3]。由此，教師可以引導學生由長方形面積計算模型類比推理出長方體體積計算的一般方法。因長方形、長方體具有明顯的關聯性與形似性，都是對各自所包含計量單位數量的探討，學生可以借助擺小正方形探索長方形面積計算方法的思路，擺小正方體探索長方體體積計算方法，這屬于探究方法的類比推理；同樣基于兩者關聯性與相似性的比較，由長方形面積計算公式s=ab，推斷出長方體體積計算公式v=abh，進而對長方體體積作出結果性類比推理，隨后進入數學論證環節。

數學推理活動往往不會孤立地存在于某一板塊內容中，而會發生在同一領域的同一主題或不同主題內，還存在于不同領域的不同主題中。如乘法交換律模型的建構，可以借助長方形面積計算方法在類比推理中深化認知。關鍵是基于對教學內容關聯性因子的審視與捕捉，“溯源而上”尋找生長點，探尋知識源頭與發展脈絡，同時“順流而下”厘清知識的發展走向，解決學習“要到哪兒去”的問題，由此賦予數學思維驅動原力，尋得發展學生推理意識及數學理解經驗再生的教學時機[4]。

二、基于數學活動，深化感悟推理意識發展過程

數學推理是極具邏輯性和嚴謹性的過程性思維活動，需要將之貫穿于情境識別、觀察感悟、合理猜想、多元驗證和數理表達等學習活動中，進而為發展學生的推理意識提供腳手架。

1.創設真實情境，感知推理思維

研究表明，有效發展兒童推理意識的論證活動需要教師結合推理內容特點及存在形式有意識地設計，為學生設置數學論證活動，提供數學推理條件。教學時，教師要以培養兒童核心素養為導向，圍繞一定的育人目標，挖掘學生感興趣的事物與素材，創設真實性問題情境，營造“可猜想”的推理引力場，讓學生在觀察與探究中形成困惑或質疑的心理狀態，進而提出問題、假設或猜想[5]。

如蘇教版《數學》四年級下冊“數字與信息”的教學，重點是引導學生利用生活中的典型實例，發現其中的規律，在歸納、類比中作出推理。教學時，教師首先呈現電話號碼、門牌號等常見的數字編碼實例，讓學生說一說這些號碼各自表達的意義，同時引導學生再列舉出一些類似的例子，以激發他們進一步探究的興趣；然后聚焦身份證編碼信息，引導學生利用家庭成員、相同區域同學身份證編碼的異同點，推理發現前6位數字及第7至第14位數字編碼的基本規律，再利用男、女同學身份證編碼信息推理出第17位數字是用奇數、偶數分別表示男性、女性的編碼規律；最后，將現實情境轉化為數學問題：如果為2024級一（6）班同學編號，你想表達哪些方面的信息？準備怎樣設計？以此引發進階性推理活動，學生自然會結合前述活動中積累的經驗，同時把個人編號與其他同學的編號進行類比，進而推理發現編碼規律。從本質上講，上述推理活動就是從學結構到用結構的過程，其中的問題情境對數學推理具有誘發、孕育、催生作用，有利于學生對推理思維的意義與價值的深度感知。

2.經歷“猜想—驗證”全程，豐富推理經驗

發展推理意識是指向兒童個體的實踐活動，只有在親身實踐、全程經歷中學生才能獲得對邏輯推理過程及其意義的認識與感悟。因此，教師要設計豐富的數學活動，鼓勵學生通過觀察、實驗、歸納和類比獲得猜想，并尋求證據加以驗證，讓學生經歷提出猜想到驗證猜想的整個過程，以充分發揮猜想與驗證對發展數學推理意識的重要價值[6]。下面以蘇教版《數學》四年級下冊“乘法交換律”教學為例，具體說明。

（1）基于觀察，初步感知規律。教學時，教師引領學生在識別、理解情境信息的基礎上列出算式5×3=15（人）或3×5=15（人），進而得到5×3=3×5，同時讓學生以觀察為基礎說一說等式兩邊算式的特點，初步發現規律，由此得出“交換乘數3與5的位置，它們的積是不變的”這一結論。值得注意的是，教師要清楚相對于“兩個數相乘，交換乘數的位置，它們的乘積不變”而言，這一結論只是一個特例，有待擴大范圍去實施更進一步的驗證。

（2）舉例說明，深度體會發現。教學時，教師引領學生根據剛才的發現，寫出幾組具有相應特點的算式，目的是讓他們探尋其他實例是否也具有相同的規律。學生大多都舉出乘數比較大的乘法算式，并得出結論。教師進一步引導學生對更多實例進行觀察，發現所有等式都符合“兩個數相乘，交換乘數的位置，它們的乘積不變”的規律。同時，教師要引導學生體會到全班同學寫出的等式仍然是這一類中的個例，不具備普遍性，還需要進一步論證。

（3）基于歸納，引發猜想。歸納是獲得猜想的重要方式，是以特殊為前提，推出猜想性結論的推理。教學時，教師要引導學生明晰，雖然所列舉實例都具有前述共性，但仍不能說明這一共性適用于所有兩個數相乘的情形。關鍵是教師要引領學生基于對這一類算式共性的歸納，提出合理猜想，即“兩個數相乘，交換乘數的位置，積不變”。

（4）多元驗證，確認結論。當學生提出猜想后，教師應積極鼓勵學生利用符號、自然語言、圖示等多種形式加以驗證。學生在判斷有關乘法交換律的猜想為真時，往往會借助長方形的面積模型、乘法的意義等邏輯方法論證。教學時，教師還要提示學生注意：判斷一個猜想為假需要舉例，只要找到一個反例就能說明猜想是錯誤的，在還沒有找到反例的情況下，暫時可以將之作為結論來使用[7]。

上述教學基于“猜想—驗證”的基本活動模塊，引領學生經歷歸納推理的整個過程，把知識的接受過程變成探究推理過程，較好地發展了學生的推理意識。

3.有理有據表達，培養推理習慣

有條有理、有根有據的數學表達是發展學生推理意識與推理思維物化外顯的主要形式，啟發學生對理的表達是發展學生推理意識的重要手段與基本途徑，而推理意識的發展又伴隨著數學表達的提升[8]。因此，要想有效發展學生的推理意識，除經歷觀察、實驗、猜想、驗證等推理活動外，還要引導學生對推理的過程與確認的結論予以清晰、完整的表達，力求做到言之有據、表達有序、用語精準。例如，在教學整十數乘一位數20×3時，教師要鼓勵學生理解并口頭表達20×3的算理。在學生感受計算本質的一致性以及對幾十乘一位數算理與算法的表達交流中，發展數學推理意識。

此外，教師還要鼓勵學生嘗試利用數學符號、圖示等方式表達自己的思考過程、思考結果，由此逐步發展學生的推理意識，豐富推理活動經驗。如一個三角形與一個平行四邊形的底相等，平行四邊形的高是三角形高的2倍，平行四邊形的面積是三角形的面積的幾倍？在解決此問題的過程中，學生先是提取文本中的關鍵信息，再將之轉化為圖示（如圖1），對條件之間的邏輯關系予以直觀表征，最后結合等底等高的平行四邊形與三角形面積間的關系予以有理有據的解釋。

三、基于系統訓練，整體提升推理意識發展水平

推理意識的形成是一個緩慢、長期和系統的過程，只有教師有意識、有規劃地為學生提供推理探索空間與系統訓練，有效避免碎片化、無序化數學思維，才能整體化、邏輯化地培養學生的推理意識，進階式提升學生的推理意識水平。

1.關注年段特征，提升訓練效能

小學生推理意識發展有年齡階段的邏輯重點與基本規律。一、二年級處于推理意識發展的啟蒙階段，重點是引導學生初步掌握觀察方法，學會根據一定的標準對事物進行分類；在解決生活情境問題過程中體會數和運算的意義，形成初步的推理意識；讓學生感知加減法運算要在相同數位上進行，體會簡單的推理過程[9]。因三年級兒童處于從具體形象思維向抽象邏輯思維轉型的過渡期，是發展學生推理意識的關鍵階段，教師應結合教材中的知識點，有意識地組織學生開展邏輯推理的系統訓練，將重點放在發展合情推理意識上。隨著學生年齡的增加與認知要素的不斷豐富，可以適當增加訓練材料的難度，同時還要關注所提供訓練材料的廣泛性及關聯度。由上述分析可見，因不同年段學生的知識經驗、認知規律不同，不同學段發展學生數學推理意識的目標指向、教學側重也存在差異。在教學實踐中，教師要持續關注學生的年段特征及知識理解需要，做實推理訓練，不斷提升訓練效能。

如利用計算器算出15×15，25×25，35×35，……95×95的積后，探索發現相關規律。此問題適用于不同的學段，有著不同的目標指向與訓練重點。第二學段重點是引導學生觀察積與乘數的關系，運用歸納推理發現各算式結果所蘊含的基本規律，即積的后兩位是25，用十位上的數乘比它大1的數，所得的結果做積的前兩位（或前一位），接著再讓學生結合具體算式對該推理結果作出解釋和說明，如45×45=2025=4×5×100＋25。而第三學段重點是引導學生利用字母表示數、乘法運算定律等知識，嘗試利用演繹推理的方式對上述規律予以論證：如果用字母n表示正整數，則題目中的乘數可以表示為10n＋5，（10n＋5）×（10n＋5）=100×n2＋2n×10×5＋25=n×（n＋1）×100＋25。上述教學實踐充分利用同一內容載體，針對不同學段推理意識發展的著力點，在從特殊到一般的過程中對學生的邏輯推理進行訓練，是一種發展學生推理意識的有效形式。

2.指向推理策略，提升推理技能

兒童的數學思維、知識積淀、經驗積累等特點決定了觀察、猜想、驗證、說理等數學推理關鍵環節必須以合理的思維方法、推理技能為支撐，幫助學生能推理、會推理，并促進推理活動的順利實施。學生在運用、感悟數學推理方法與技能的同時，發展推理意識。在小學階段，發展學生推理意識的教學實踐方法眾多，如改變問題情境、特殊化策略、數形結合思想、列表格整理、直觀圖示等。教師要結合知識特點與推理意識發展需要，選擇適宜的方式、方法引導學生經歷推理過程，發展其推理意識，提升其推理技能。

如百分數教學中的解決問題：沿著同樣路線從家到學校，哥哥小勝要用8分鐘，弟弟小信要用10分鐘，小勝的速度比小信快百分之幾？在解決該問題時，由于學生沒有意識到情境中的已知信息是時間關系，而非速度關系，結果給出了錯誤解法：（10-8）÷10=20%。教學時，可以引導學生借助線段圖將問題情境中的時間關系轉化為兩人相同時間內所走路程的關系，間接獲得解決速度問題的方法。除此之外，此問題還可以通過改變問題情境的方式予以解決。假設哥哥小勝、弟弟小信均步行40分鐘，按照各自的速度，小勝可以走5趟（1趟的路程：即從家到學校的路程），小信可以走4趟，由此可以得出：（5-4）÷4=25%。對上述兩種推理方法予以比較，可以發現它們的本質是一樣的，都是把題目中的時間關系轉化為路程關系，再通過路程關系與速度關系間的關聯獲得解決問題的一般方法。不同的是，線段圖法基于數形結合思想，將暗含的數量關系變得直觀可視，后者基于原有問題的意義本質，改變情境敘述方式，使數學推理變得易于理解與接受。

3.開展系列訓練，以求推理進階

數學知識具有嚴謹的結構性，但教材的編寫不可能將結構性的知識統一、集中編排，而要根據學生的年齡特征和認知規律將之劃分在不同學段，分階段安排[10]。正是由于教材編排體系與教師傳統教學設計意識的制約，導致學生數學推理意識的發展往往局限于知識點教學過程中，缺乏系列規劃與關聯性設計。然而，數學推理意識作為小學階段重要的核心素養之一，需要構建一個適合學生的發展序列，意在通過系統編排與有序訓練對邏輯推理作梳理、總結與提升。一般而言，小學數學推理意識的訓練途徑有以下三類：一是階段性訓練，主要是結合學生在一個階段內所學習的相關內容，對學生推理意識發展做集中訓練與鞏固提升，內容載體、推理形式較為多樣；二是主題性訓練，往往是圍繞一個內容主題開展由易到難、螺旋上升的訓練，一般指向歸納推理；三是跨主題訓練，主要是針對不同領域存在相似性、關聯性的不同內容開展的訓練，重點指向類比推理。

總之，教師應基于對推理教學內容的本質表現、推理活動的基本類型及發展過程等問題的正確認知，通過序列化的長程實踐活動，在數學各領域對推理活動實施潛移默化的有序滲透，進而促進學生推理意識的不斷生長。

參考文獻

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[10] 張勇成.核心素養視域下數學長程教學的內涵、設計與實施[J].教學與管理，2023（14）：36-39.

[責任編輯：陳國慶]

*該文為全國教育科學 “十三五”規劃2020年度教育部重點課題 “基于核心素養培育的數學思想方法滲透教學實踐體系研究”（DHA2003Y4）的研究成果